日本小学《新算数》教材“尺规作图”内容编写的启示

2022年版课标在小学阶段“图形与几何”领域新增了“尺规作图”的相关内容及要求，即用圆规和无刻度直尺完成作图。作为新增加的内容，小学数学教材在编写时该如何设计合理的结构？如何选择适切的材料？如何运用恰当的方式呈现？这些都是当下小学数学教材编写需要思考的问题。另外，教材内容编写会直接或间接地影响教师的教学价值取向、教学设计与实施等。基于此，我们探析日本小学《新算数》教材“尺规作图”内容的编写，以期对我国小学数学教材编写提供启示与借鉴，同时，也关照基于教材的“尺规作图”内容的教学。

一、《新算数》教材“尺规作图”内容的编写结构

（一）日本《学习指导要领》中“尺规作图”的内容要求。

2017年，日本文部科学省颁布了新修订的《小学数学学习指导要领》（以下简称《学习指导要领》），其地位相当于我国的课程标准，其基本思想是培养学生的数学素养和能力。基于《学习指导要领》，东京书籍出版社编写了最新版本的《新算数》。

《学习指导要领》对每个年级的学习目标和内容进行了阐述，相关内容的划分也比较明确。每个年级的学习内容划分为五个领域，其中，一至三年级为“数与计算”“图形”“测量” “数据的活用”“数学活动”，四至六年级为“数与计算”“图形”“变化与关系”“数据的活用”“数学活动”。同时，所有年级均设置了“注意事项”板块，用以指导教育教学实践。在“图形”领域相关学习内容的设置上，更加注重培养学生通过具体操作思考图形构成的能力。因此，作为常用的作图方式，尺规作图成为引导学生了解图形及其关系的重要技能和手段。

根据《学习指导要领》的相关要求，在三年级时将初步开展圆及圆规相关知识的学习，并设置了“了解等腰三角形、等边三角形等图形，通过作图了解它们之间的关系”这一学习内容，明确提出“重视利用直尺、圆规等绘制和识别图形的教学活动”这一注意事项，用以指导学生利用尺规作图了解图形的性质，关注图形构成的方法。同时，注意事项中要求“每个年级的学习内容，在下一年级以后要根据需要继续指导”，即注重知识之间的衔接，因此，在四至六年级的内容中，虽未明确要求使用尺规作图的方法，但在后续了解图形的性质和构成方法的学习过程中，都十分重视学生的实践操作，且在圆的基础上进行学习，以引导学生通过已经掌握的尺规作图技能进行作图，不断深化作图技能的操作与运用，同时着眼于利用尺规作图解决实际问题。

（二）《新算数》教材“尺规作图”内容的编写结构。

“尺规作图”的相关内容在《新算数》教材的不同年级多次出现，如表1所示。

可以看出，该教材在“尺规作图”相关内容的编写结构上具有如下特点：

第一，“尺规作图”内容的编排体现融入性。通过对相关内容的梳理，我们不难发现，该教材中“尺规作图”的内容并非孤立编排的，而是融入图形的认识内容之中，在对图形的认识与性质进行探索的学习过程中，尺规作图发挥着重要的价值，学生通过动手操作，对图形的构成可以有更深入的思考，对图形的性质产生更清晰的认知。当然，这样的融入并非简单的加入，而是既有利用尺规作图技能进行实践操作的显性融入，也有拓展尺规作图的方法和思维解决问题的隐性融入。

第二，“尺规作图”内容的编排体现贯通性。在《新算数》教材中，从认识圆和圆规、获得基本的尺规作图经验，到逐步了解尺规作图的方法并不断扩充尺规作图的应用情境，“尺规作图”内容的编排环环相扣，在“图形”领域的学习中起到重要的衔接作用。尤其在新图形学习的过程中，尺规作图往往作为探索图形性质的有力工具，在已有经验和新知识之间起到不可或缺的串联作用，在帮助学生高效、直观地探究、认识图的特点的同时，促进前后知识之间的贯通。

第三，“尺规作图”内容的编排体现进阶性。从直观感知到动手实践再到使用情境的拓展，《新算数》教材内容的编排通过“认识—实践—产生新认识”的进阶模式，逐步提高学生尺规作图和图形学习的能力，也有助于数学思维的进阶，即逐步感受数学的严谨性，并在此基础上倡导探究性学习。同时，内容的编排注重由小学到初中的过渡，小学结束前，通过大量的实践，学生已经能够掌握尺规作图的方法，为后续初中教材中难度更大、步骤更烦琐，且作为解题方式呈现的尺规作图的学习打下了坚实的基础。

二、《新算数》教材“尺规作图”内容的编写特征

（一）真实问题视角下感悟“尺规作图”中的推理与严谨。

推理在尺规作图的过程中是不可或缺的，通过推理，可以使脑海中的想法趋于完美并付诸实践。推理的过程往往伴随着大量的实践，在操作的过程中进行学习，即做中学。学生通过画图、操作和修改等活动，在教师引导下发现作图方法的不足或优点，并扬长避短，最终掌握作图方式。《新算数》教材中与尺规作图有关的学习内容多设置在一个真实、具体的问题情境之中，让学生通过大量的实践活动进行推理，通过解决教材中真实的问题来感受数学在生活中的意义与价值。同时，教材中的情境也往往是实景拍摄，便于学生进行模仿。

图1是在三年级上册正式进行圆规的学习之前，教材从生活和数学学习中的实际问题出发，在学生已有经验的基础上，编写了使用图2所展示的这一类似于直尺的工具画圆的学习任务，利用之前接触过的数学工具画圆，能够帮助学生在学习初期掌握圆的性质，直观地感受圆各部分之间的关系，同时通过探索用这样的工具能够画出圆的原因，为学习使用圆规画圆打下基础。

图3是在三年级上册学习用圆规画圆后，教材通过出示生活中的实际问题情境，在抽象的基础上，引导学生了解圆规两端截取的线段长度相等这一特性。教材编写的内容及顺序符合学生的学习实际，对于初学圆规的学生来说，在面对线段长度比较的问题时，用尺子测量仍然是第一选择。学生初次体验用尺规作一条线段等于已知线段的过程，这一过程中相对容易出现测量误差，可以让学生在操作和推理中更为深入地体会尺规作图的严谨性。使用尺规作图不仅能够更为精准地截取线段，同时可以将不共线的线段画到一条直线或线段上，为后续整体问题情境的解决提供了更为直观的方式和方法。

（二）可视化视角下体会“尺规作图”的思路与过程。

在尺规作图的过程中，清晰的解题步骤可以更好地呈现学生的作图思路，从想象到推理再到直观的可视化呈现，能够帮助学生深入地理解该领域的数学问题，助力学生数学思维的自然生长。《新算数》教材中所有关于尺规作图的内容都保留了解题的具体操作过程或作图的痕迹，为学生将自己的数学思维以直观的形式表达出来提供了模板，为学生在动手操作中建构知识奠定了基础，同时，对于学生良好数学学习习惯的养成起到了不可或缺的作用。

图4呈现的是三年级下册“已知底的位置和长度、腰的长度补全等腰三角形”这一问题情境及解题思路，从利用常常使用的尺子找到顶点到用圆规画弧找到顶点，教材中出示的这一过程符合学生的学习发展规律，既是对学生解决这一问题思路的提示，也是在引导学生更为高效、准确地解决数学问题。较为优化的尺规作图方法，在呈现时保留了具体的操作过程，为学生的实际操作提供了范例，这样的内容编写为学生后续独立完成用尺规作图起到了潜移默化的作用。

后续教材中的相关内容一以贯之，图5是在六年级全一册教材中利用圆规的性质完成与原图形状相同的放大图，在提供可视化方法的基础上，继续强调圆规的性质及尺规作图在解题过程中的作用。在学生掌握基本的方法后，紧接着呈现画缩小图的问题情境，逐层深入，帮助学生不断掌握尺规作图的方法，拓展尺规作图的应用情境，构建利用尺规作图解决“图形”领域相关问题的思维方法。

（三）前后衔接视角下贯通“尺规作图”的应用与延伸。

《新算数》教材中的“尺规作图”内容往往以探究的形式呈现，探究的过程往往通过“问题串”的形式进行串联，在逐步剖析问题本质的过程中，学生能够逐渐探明尺规作图的意义。同时，在内容的编写上，尺规作图这一作图方式贯穿在“图形”领域的学习之中，在新图形的学习过程中，尺规作图起到了重要的衔接作用，同时有助于“图形”领域相关知识的整体延伸。

图6出自四年级下册教材，在利用尺规作图引导学生了解平行四边形特征的基础上，利用圆的知识及圆规进一步了解菱形这一特殊四边形的特征，探索图形与图形之间的关系，并在此基础上，进一步延伸拓展，引导学生在已有线段的基础上画出菱形。多种形式的探究过程帮助学生更好地了解各种特殊四边形的特点，同时将尺规作图有机融合，注重了知识与知识之间的衔接及“图形”领域教学板块的整体延伸。

在五年级下册教材中，如图7所示，相关的学习内容进一步升级，要求学生利用尺规作图探究在一个圆中画出的多边形是什么样的多边形，这一过程需要学生做出合理的解释，递进的探究过程有助于发展学生的思维。知其然，更要知其所以然。从作图到探究图形与图形之间的关系，再到让学生多角度思考作图的方法，学生对于相关图形知识的掌握更加清晰，同时能体会到尺规作图的意义，为后续应用尺规作图解决问题奠定基础。

三、《新算数》教材“尺规作图”内容编写的启示

我国的2022年版课标中，在小学阶段增加了三个与尺规作图有关的内容，分别是“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长”“经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三条边”。由2022年版课标的相关内容不难看出，小学阶段的尺规作图并不是初中阶段严格意义上用来解决数学问题的尺规作图，而是作为一种几何学习的手段，用以帮助学生更好地研究几何图形的形状特点，在动手操作的过程中体会数学学习的价值。如何在教材中编写尺规作图的内容，并用以指导实际课堂中“尺规作图”内容的教学呢？《新算数》教材能带给我们许多思考与启示。

（一）依据学生的认知逻辑设计“尺规作图”内容的结构。

根据2022年版课标的相关要求，“尺规作图”的学习内容集中在3～6年级，因此，可以在相应年级的教材中，将尺规作图合理融入图形的认识内容中，如融入线段的认识、两点间的距离、三角形的认识与性质等。同时，在具体内容的编排上，应适当安排探究性的活动、设置引导性的语言，以逐步达成作图技能的掌握和严谨思维的形成，作图的方法及其中蕴含的思维也可以拓展到所有新图形的认识中，以尺规作图为媒介，在感受尺规作图重要价值的基础上，感悟各种图形之间的联系。

此外，内容之间的连贯性也是必要的。我国现行的教材多在一年级平面图形的认识中直观认识圆，直到六年级才安排圆规的使用和圆的认识，前后知识内容的衔接需要进一步调整。因此，可以适当考虑将圆规的使用等内容重新安排，并在不同年级教材中安排进阶性的学习内容，强化尺规作图的使用，拓展尺规作图的应用情境，这样更加符合学生的认知逻辑，也能够帮助学生在大量有衔接的操作中，逐渐掌握其中蕴含的思想方法。当然，也需要注意小学和初中学习内容之间的衔接，初中阶段的尺规作图相较于小学阶段更为复杂，且对学生的能力提出了全新的要求与挑战，如何挖掘知识间的联系，促进数学学习的结构化，也是值得思考的问题。

（二）提供真实素材彰显“尺规作图”内容的价值。

无论是字斟句酌的定义，还是严格论证的推理，都体现着数学的严谨性。然而，在以往的小学数学教材“图形与几何”领域的学习内容中，由于学生年龄及经验的限制，学习的内容往往是描述性的[1]。如在现行教材中，探究三角形三边关系时多提供“摆一摆”的方法，探究三角形内角和时多提供“撕一撕、拼一拼”的方法，这样的方法更适合小学生直观地理解和感受，但其中会出现较大的误差，同时，这样的数学学习方式也不利于学生良好学习习惯的养成，进而影响学生在初中阶段严谨论证逻辑的形成。因此，在教材编写时，需要充分关注尺规作图的价值，因为利用尺规作图构建的图形更为精准，有助于学生更好地体会数学的特点。

在新版教材的编写中，需要进一步结合当下学生的年龄特点和已有认知经验，提供更多来源于真实生活的数学问题情境和素材，以此引导学生完成实践性的数学活动，逐步掌握尺规作图技能。在探究真实问题情境的过程中，教材应结合学生的实际发展情况，呈现水平递进的作图方式，如由用直尺找三角形的顶点，到用尺规作图找三角形的顶点，这一由粗略到精细的过程，将更有助于学生体会尺规作图的严谨性，感受尺规作图的重要价值。当然，教材也可以提供作图过程的实景拍摄图片，为学生的操作提供参考，这将有助于学生了解工具的使用方法。因此，教材编写既要从数学和生活的实际出发，也应当符合学生的实际情况，进而引导学生更好地感受尺规作图的重要价值，建立起利用尺规作图解决问题的意识，这对增强学生的空间想象能力和推理意识，促进学生核心素养的发展具有重要意义。

（三）呈现直观视图展示“尺规作图”内容的操作。

在尺规作图中，圆规发挥着“定长”的本质功能，而并非“画圆”这一附属功能[2]。教材的编写应突出圆规的这一功能，《新算数》教材中多次呈现了尺规操作过程的直观视图，清晰地展示了圆规的工作原理，以及直尺和圆规在尺规作图中的作用，如在等比放大图的教学中将两个圆规并列，通过两个圆规开口对应的两条长度一致的线段，体现了圆规的本质功能，既展示了扩大图的绘制方法，也为学生进一步完成等比缩小图提供了理论基础。扩大或缩小对应视图的呈现，不仅能够帮助学生明确尺规作图的原理及具体操作过程，对学生几何直观能力的提升起到了一定的作用，也为动脑思考、动手做的挑战性创造奠定了基础。

学生学习尺规作图不只是为了获得一项数学技能，更是为了感悟其背后的数学思想方法[3]。尺规作图作为一个操作性的过程，引导学生在主观上进行知识建构应当是尺规作图内容的落脚点。由此，教材中尺规作图的内容更要强调“做中学”的本质，而提供操作过程的直观视图则可以进一步强调这一本质。教材可以将学生在面对相关问题时，从低级到高级的解题思路及不同类型的作图方式与过程清晰地呈现出来，使学生在模仿和比较中不断感受尺规作图的乐趣，在思维的进阶中不断感受尺规作图的价值，尝试尺规作图的应用。在应用的过程中，学生不但可以积累作图的基本活动经验，而且可以发展逻辑思维能力。值得注意的是，不能一味地将其作为数学技能而编写内容，只给出对应的画法或答案，而忽略尺规作图的本质，这一点需要教材编写者慎思。

（四）基于教材联结“尺规作图”内容的教学。

事实上，教材与教学有着密不可分的联系，教材是教学必不可少的工具与资源。因此，对《新算数》教材“尺规作图”内容的分析，也可以联结“尺规作图”内容的教学，以此促进教师对其教学设计与实施的深度思考，比如：

《新算数》教材关于“作图痕迹”的处理，提示教师教学中要关注学生尺规作图能力习得的差异性。对于一个班级的全体学生而言，仅凭一节课的操作，将尺规作图的道理与流程一次到位学好，实属挑战性很强的任务，程度好的学生也许能完成，但对大部分学生而言，光凭短时间模仿，较难完全领悟每个作图痕迹的由来，也可能无法彻底理解每个作图步骤的作法。面对学生的差异，要充分利用教材提供的“作图痕迹”，进行作图分解动作教学的指导，或者运用现代信息技术，把每个作图步骤都以动画呈现，并搭配相对应的作法说明，让有困难的学生能以非线性的方式进行反复探究。

《新算数》教材呈现了从作图到探究图形之间关系的进阶设计，这提示教师不能把“尺规作图”当成纯粹的作图技能训练课，而应让学生在作图过程中感悟图形的性质与关系。例如，基于给定线段画三角形，就要引导学生感悟三角形边与边之间的关系，感悟圆规画“弧”的价值，体会“不是任意的三条线段都能作出三角形”，进而体会用尺规作一个三角形背后的道理，而不是停留在作图步骤的操作层面。

《新算数》教材中尺规作图内容的编写是递进贯通的，体现了“经验积累—应用实践—拓展情境”的序列过程。这也指引教师在教学中应合理设计学习内容及顺序，注意前后内容之间的衔接，引导学生在不断的实践与拓展中将尺规作图的技能与背后的道理进行内化。另外，尺规作图是典型的“做中学”，教学时应当注重对学生实际操作的引导，使其在尝试、出现问题、修改、重新尝试、找出最优作图方式的迭代过程中，掌握尺规作图的程序性知识，体会其背后的推理逻辑。

参考文献：

[1]位惠女.为什么要在小学增加“尺规作图”内容：马云鹏教授、吴正宪老师访谈录（八）[J].小学教学（数学版），2022（12）：4-7.

[2]郑惠强.追根溯源，让尺规作图彰显深意[J].中小学数学（小学版），2022（11）：49-52.

[3]芮金芳.关注尺规作图 指向素养发展：小学数学教学中尺规作图的价值与策略思考[J].福建教育，2022（36）：43-45.

【本文系吉林省高等教育教学改革研究课题“基于教师职业能力标准的小学师资培养实践教学体系改进的研究”（编号：20213F29M68006M）的成果之一】

（作者单位：东北师范大学教育学部）