关于“全等三角形”的教学探讨

作者简介：孙锴（1989—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

[摘 要] “全等三角形”这一章节的内容是几何知识体系的重要组成部分，教学中，教师需要准确定位核心知识，围绕知识重点合理设计教学环节，引导学生逐步感知、探索体验，归纳总结，自然而然地完成知识生成，掌握定理. 文章围绕“全等三角形”开展教学探讨，针对学生的能力提升与素质培养提出相应的教学建议.

[关键词] 全等三角形;概念;生成

“全等三角形”是苏教版八年级上册的内容，是几何知识体系构建的关键，教师需要引导学生掌握全等三角形的定义、性质、判定条件等内容. 本章节内容的探究性极强，教学中教师需要准确定位知识核心，合理设计教学环节，让学生的知识与能力获得同步提升，下面进行深入探讨.

章节梳理中定位核心知识

“全等三角形”编排在教材的第十八章，课标从知识内容与情感能力上均对学生提出了要求. 教师需要在探究中引导学生梳理章节内容，开展知识定位，让学生把握知识重点. 对于“全等三角形”，教学中教师要把握两条主线，如图1所示. “横向主线”是关于全等三角形的“概念生成”到“实际应用”，而“纵向主线”是全等三角形的性质、定理串联，是探究应用的重要思路. 教材采用主线交错构建的方式，实现了概念与性质定理的融合. 这种编排方式是基于“教学生成”与“学生学情”的双重考虑，同时为后续的探究教学提供了参考.

“横向主线”以“全等形→全等三角形→解决问题”来展开，概念教学是重点，学生已经掌握了线段、角、相交线、平行线等与三角形相关的知识，这就为全等三角形的学习储备了知识基础. 教学中，教师需要引导学生关注生活中的全等，以全等图形作为切入点，引导学生关注全等图形的特征，并逐步过渡到全等三角形的概念，完成概念的生成，掌握全等三角形的相关知识，达到知识应用的效果，故“从生活中来，到生活中去”是该知识主线的核心.

“纵向主线”围绕全等三角形的概念，将性质定理和判定定理串联在一起，这是常见图形关系探究的核心知识，对后续几何知识的学习有借鉴作用. 在实际教学中，教师要立足概念，开展性质探究和判定定理探究，使学生掌握定理的基本证明过程，指导学生掌握基本的推理证明方法，提升学生的推理思维. 同时，其中隐含的“全等证明→性质推导”思路，对学生后续的探究解题有重要的参考意义.

基于上述章节知识剖析，教学中教师要将全等三角形的要素、性质特征作为重点，围绕判定定理开展知识探究. 同时，探究过程要注重提升学生的探究能力，培养学生的几何直观，要让学生养成主动探究、勤于思考的习惯.

探究活动中生成知识

“全等三角形”的概念、性质、定理是教学的重、难点，教学中建议教师采用活动探究、知识生成的方式，即引导学生参与探究活动，体验探究过程，自然而然地领悟知识，掌握性质定理.

对于概念与性质教学，建议教师分“实践观察”和“变换探究”两个阶段，从生活中提取全等素材，让学生观察图形，辨析特征，直观感知全等，以此为基础给出“全等”的概念. 同时利用图形变换活动来引导学生深入体会全等三角形的性质.

1. 实践观察——感知概念

教学中教师可给出如图2所示的生活图案，让学生指出图案中形状和大小相同的图形，并进一步列举生活中相似的图形，从而引导学生感知生活中的“全等”. 在此基础上，教师设置实践活动，让学生准备一张纸，先对折，再在纸上画一个三角形，用剪刀将三角形剪下来，观察两个三角形的形状和大小有何关系. 教学中，教师还要引导学生总结图形的形状、大小，从而引出图形全等的概念，给出三角形全等的概念.

2. 变换探究——体会性质

在“变换探究”中，教师要引导学生从图形平移、翻折、旋转等视角直观感知全等的性质，可设计侧重图形动态变换的活动. 教学时，教师可先从平移入手，演示三角形平移，即如图3所示，平移△ABC，得到△DEF;再引导学生进行三角形翻折，即如图4所示，在图纸上任意作△ABC，将△ABC沿着直线AB翻折后得到△ABD;最后，可结合多媒体，动态展示△ABC绕着点B旋转的过程，如图5所示.

教学中，教师要引导学生实践操作、观察猜想，分析三角形平移、翻折、旋转前后图形的位置变换，形状和大小变化，感知全等三角形. 同时，教师要引导学生关注三角形变换前后对应角和对应边的大小关系. 以图5的几何旋转为例，△A′BC′可视为是△ABC绕点B旋转而来，教师要引导学生指出两个三角形中的对应角和对应边，同时可设置思考问题：如何证明∠A′BA=∠C′BC？

模型分析中训练思维

在“全等三角形”的判定定理教学中，教师需要训练学生的推理思维. 全等三角形的判定定理较多，主要有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，以及直角三角形的“HL”. 教学时教师需要关注两点，一是使学生感知“S”与“A”的对应内容，二是掌握应用技巧. 从实践应用、思维培养视角来看，立足几何模型，开展思维训练，更有利于学生掌握判定定理. 在实际教学中，教师可借助以下几类模型进行探究指导.

1. 基本模型

基本模型，即常规的全等三角形模型，两三角形的位置排布较为一般，不存在边或角的重叠关系：如图6所示，C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证∠B=∠D.

该模型直观呈现了两三角形的三边三角，教学中教师只需要引导学生梳理三个基本条件，根据条件来选取对应的判定定理，进而做出推理证明即可. 教学时，教师要注意引导学生建立“条件分析→全等证明→性质推理”的思维，规范过程.

2. “共边”模型

“共边”模型，即两个全等三角形含有一组公共边：如图7所示，对于△ABC和△BAD，AC和BD相交于点E，已知AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证AC=BD.

上述模型直接给出的相等要素为两个，显然无法直接证明两个三角形全等，此时需要教师引导学生关注两三角形的公共边，即AB，这是隐含的关键条件. 进行推理证明时，教师要指导学生将该条件呈现在推理过程中，直观呈现证明全等三角形的三大条件，进而由判定定理“SAS”完成推导过程.

3.“共角”模型

“共角”模型，即两个三角形有一组公共角，所以这两个三角形在位置上具有“叠放”的特点：如图8所示，在△ADC和△ABE中，点B和点D分别在AC和AE上，且AB=AD，AC=AE，求证∠C=∠E.

该模型同样隐含了条件，即公共角∠A，与两个等线段条件相结合可证明△ADC与△ABE全等. 教学时教师要引导学生关注两个三角形的共角特点，挖掘隐含条件，由判定定理“SAS”完成推导过程.

总之，利用常规的三角形全等模型开展思维训练，要立足“全等证明→性质推导→应用判断”的解析思路. 全等证明环节要充分把握定理，由定理构建全等，理清知识原理，逐步培养学生的解析思维.

图形剖析中培养几何直观

几何直观在几何问题解析中有着重要的作用，有利于学生理解图形，发现特征，其也是几何内容教学需要重点培养的核心素养. “全等三角形”的章节教学同样需要注重对学生几何直观能力的培养. 教学中教师可从如下两个方面来培养学生的几何直观能力：一是实践操作联想探究;二是利用辅助线分析问题.

在定理探究的实践操作环节，教师可以培养学生的几何直观能力. 以三角形为基础作平行四边形为例，教学中教师先示范用圆规和直尺将三角形补成一个平行四边形，接着引导学生辨析四边形对角线所分割的两个三角形的关系，把握“全等”这一特征. 在此基础上引导学生思考其他作法. 以图9为例，已知△ABC，请再找一个点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形. 教学时教师可按如下设问对学生进行思维引导.

设问1：请根据“对边分别平行的四边形为平行四边形”这一定理思考确定点D的方法.

设问2：你还有哪些可以确定点D的方法？请说明理由.

设问3：观察图中三角形的特点，思考平行四边形对角线所分割的两个三角形是什么关系.

解几何图形时，利用辅助线分析问题，同样是培养学生几何直观能力的重要方式. 所以教师在教学中要引导学生灵活运用辅助线思考问题，从而逐步提升思维.

以图10所示的六边形为例，已知∠B=∠E，AB=DE，BC=EF，CD=AF，求证：CD∥AF.

教学中教师要引导学生明确已知条件与待证结论，发现其中隐含的条件. 首先，教师要让学生通过添加辅助线将隐含条件直观呈现，即连接AC，DF，构建“证明△ABC≌△DEF→推导AC=DF→证明四边形ACDF为平行四边形→证明AC∥DF”的解析思路. 教学中，教师要鼓励学生深度挖掘题目，利用辅助线构建已知与未知的联系.

总之，“全等三角形”在几何中有着重要的地位，相关知识、定理较多，教学时，教师要注意做到以下几点：教学探究要梳理知识，准确定位内容;实践探究要以知识生成的方式引导教学;要利用几何模型训练学生的思维，重视学生几何直观能力的培养.