巧设问题探本质 关注生成促思维

作者简介：罗彪（1987—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教育工作，江北区骨干教师，曾获“重庆市优秀班主任”等荣誉称号.

[摘 要] 教师基于二次函数的最值问题进行设计，引导学生进行解法探究，解法辨析，同时对问题进行发散和变式，鼓励学生提出问题，解决问题. 充分关注课堂生成性问题，激发学生的兴趣和积极性，从而促进数学思维和解题能力的提升.

[关键词] 二次函数最值;一题多解;一题多变;课堂生成

问题的提出

二次函数作为初中阶段学习的重点和难点，同时也是初升高衔接的关键内容，在全国近几年的中考中频繁出现，而且几乎都占据了压轴题的位置，所以在教学中其重要性不言而喻.

全国中考对二次函数的考查不尽相同，但试题的考点几乎都指向了“最值”，而且大部分题目都涉及了突出函数特点的代数最值. 求抛物线背景下的代数最值就是二次函数考查中的这类热点题型. 它集函数、几何于一体，考查方式灵活，综合性强，难度较大，解答时常常要进行比较复杂的代数式运算、不等式分析和分类讨论. 这类题目以能力立意，考查了“数学运算”“数学分析”等核心素养，对考生的“阅读”“理解”“推理”“解答”都存在着巨大的挑战. 同时，也给后面的教学带来一定的困难.

怎样教学生“分析”？怎样教学生“辨析”？怎样教学生“理解”？怎样教学生“表达”？怎样教学生“应用”？带着这些问题，本文谈谈在教学中处理这类问题的一些教学策略和教学反思.

教学实践

1. 试题呈现

如图1所示，抛物线经过点A（-3， 0），B（1，0），C（0，3）.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，使得△PAC的面积最大，求点P的坐标和△PAC的最大面积.

2. 解法探求

思路1 化动为静，将三角形进行割补，探求三角形的面积与动点P横坐标或纵坐标的关系，建立二次函数，利用函数的值域求出最大值.

解法1 （1）因为抛物线经过A（-3， 0），B（1，0），可设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），将C（0，3）代入上式，得a=-1，所以抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.

（2）如图2所示，因为点P在抛物线上，所以设点P的坐标为（t，-t2-2t+3）（-3<t<0）. 过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，由题意可求得直线AC的解析式为：y=x+3，所以点Q的坐标为（t，t+3），所以PQ=y-y=-t2-3t，S=PQ·（x-x）=-t2-t= -

t+2+，所以当t=-时，△PAC的面积最大为，此时P

-，

. 这种求三角形面积的方法也称为“铅垂线法”.

解法2 如图3所示，与解法1相同，先设点P的坐标为（t，-t2-2t+3）·（-3<t<0），连接OP，则S=S+S-S=-

t+2+，所以面积最大为，点P的坐标为

-，

.

思路2 要使△PAC的面积最大，观察知AC是定值，所以只需要P到边AC的高最大即可. 平移直线AC，直到与抛物线相切，切点P即为所求.

解法3 如图4所示，易知直线AC的解析式为y=x+3，故设直线l的解析式为y=x+b，联立直线l和抛物线得 -x2-2x+3=x+b①. 由于直线l和抛物线相切，所以Δ=9-4（b-3）=0，解得b=. 再代回方程①解得x=-，则点P的坐标为

-，

，此时A，C，P三点坐标已知，易求得面积最大为.

3. 解法反思

解法1和解法2都体现了数学解题中“转化”的数学思想，因为△PAC是两定点一动点构成的三角形，又三边都不平行于坐标轴，直接求解难度较大，故考虑“改斜为直”，转化成若干三角形的面积的和与差. 在教学的时候还可以鼓励学生从解法本质和多解归一的角度提出问题，培养学生的数学眼光和数学思维. 比如，我们可以尝试提出以下问题供学生思考：

（1）由解法1可知△PAC的面积本质上由什么决定（线段PQ）？

（2）解法1中的“铅垂线法”为什么要选择动点P作y轴的平行线？

（3）解法1、解法2、解法3它们的相同点和不同点在哪里？

（4）哪一种解法才算通性通法？

（5）你能否设计类似的问题？

4. 课堂生成

在分析完三种解法之后，有学生提出这样一个问题：当△PAC最大时，求出来的点P刚好处于AC“中间”，即x=，这是否是一种巧合？

为了回答这个问题，笔者马上找了一个类似的题目来进行验证，发现当面积最大时，抛物线上的动点确实处于两个定点的“中间”. 笔者很快意识到，这个猜想有可能是对的，那么，对于这个很有价值的问题，我们更应该从特殊到一般，用严谨的数学方法予以证明. 此时，课堂进入了思维的高潮，很多学生都跃跃欲试，环境变得安静了，思维却流动了起来. 在师生的共同努力下，得到了以下证明：

如图5所示，抛物线y=ax2+bx+c（不妨设a<0）与直线y=kx+n（k≠0）相交于点A和点B，P是直线AB上方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求证：x=.

证明：参考解法3，过点P作直线l∥AB，当l与抛物线相切时，点P即为所求. 设l的解析式为：y=kx+m，联立抛物线和直线l，得y=ax2+bx+c，

y=kx+m，消去y整理，得ax2+（b-k）x+c-m=0. 因为直线l和抛物线相切，所以Δ=0，利用求根公式可得x==. 另一方面，联立直线AB和抛物线得y=ax2+bx+c，

y=kx+n，消去y整理，得ax2+（b-k）x+c-n=0. 利用韦达定理，得x+x=，所以x=，得证.

这个课堂偶然所得的结论，一方面可以用来简化这类题目的运算，另一方面可以用来检验结果. 这次发现让所有学生都惊叹不已，而参与证明的学生更是终生难忘，这是主动发现与主动学习，充分体现了学生的主体性. 高效的课堂一定是关注课堂生成的课堂，这就需要教师拥有一双慧眼，敏锐地发现、捕捉、利用这些资源. 当课堂上出现动态教学资源信息时，教师的第一反应应该是辨识其价值，去伪存真，并做出教学决策. 只要教师在课堂教学中，能够关注“生成性”， 让“生成”打破自己的教学预设，那么课堂教学将会绽放异样的光彩.

5. 问题变式

变式教学是教师通过变换问题中的条件与结论，改变问题的内容或者形式，更换问题的非本质特征，促进学生掌握数学本质的一种教学方式. 这种教学策略能增强数学思维的深刻性，提升学生的学习积极性，具有低起点，高思维，大容量的特点. 以下是二次函数面积最值问题的一些变式，供大家参考.

【变式类型一： 变化问题设置】

变式1：如图6所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是抛物线在第二象限部分上的一动点，如果四边形PABC的面积最大，求点P的坐标和四边形PABC的最大面积.

变式2：如图7所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是抛物线在第二象限部分上的一动点，连接AC，过点B作BD∥AC交抛物线于点D，连接AD，CD. 如果四边形PADC的面积最大，求点P的坐标和四边形PADC的最大面积.

分析 变式1可以将四边形PABC的面积转化成△PAC和△ABC的面积之和，由于△ABC的面积为定值，故四边形PABC的面积最值本质上就是求△PAC面积的最值. 变式2中，因为BD∥AC，所以S=S，所以S=S+S，而△ABC的面积为定值，故四边形PABC的面积最值本质上还是求△PAC面积的最值.

【变式类型二：变化条件设置】

变式3：如图8所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PQ∥x轴，交直线AC于点Q，当PQ最大时，求点P的坐标和PQ的最大值.

变式4：如图9所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PM⊥AC，交直线AC于点M，当PM最大时，求点P的坐标和PM的最大值.

变式5：如图10所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PM⊥AC，PN∥y轴交直线AC于点N，当△PMN周长最大时，求点P的坐标和△PMN周长的最大值.

分析 如图11所示，易知变式3中PQ=PN，变式4中PM=PN，变式5中△PMN的周长=（1+）PN，所以三种情况的最值最终都由PN的最值决定.

【变式类型三：变化条件和问题】

为了发挥学生的创造性，同时促进学生学习积极性，在学习完以上内容后，笔者鼓励学生设计类似的最值问题，经过合作与讨论，得到了以下让人欣喜的问题.

变式6：如图12所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）. 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PN∥y轴，交直线AC于点N，求PN+CN的最大值及此时点P的坐标.

变式7：如图13所示，抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）. 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PN∥y轴，PM∥BC交AC于点M，求PM-CM的最大值及此时点P的坐标.

分析 变式6，易求得抛物线解析式为y=-x2-2x+3，直线AC的解析式为y=x+3. 设点P的坐标为（t，-t2-2t+3），则点N的坐标为（t，t+3），所以PN=y-y=-t2-3t，CN=（0-t）= -t，所以PN+CN=-t2-5t= -

t+2+，所以当t=-时，最大值为.

变式7的解答同变式6，可得PN=y-y=-t2-3t，解△PMN得PM=·PN，MN=PN，CM=CN-MN=t2-t，所以PM-·CM=-3t2-7t=-3

t+2+，当t=-时，最大值为.

这两个问题的演变从最基本的线段PN最值变成了复杂的线段和与差组合最值，并且深刻理解了问题的本质，能够合理设置问题，真正做到了知识的灵活应用. 学生在原有问题的基础上得到了思维的发展，由教师引导，学生自主提问和发现的方式，更能激发学生的探究热情，学生的数学核心素养才能得到真正的培养.

教学反思

1. 注重解法发散和解法辨析，促进学生分析问题的能力

一个问题如果能做到多解，往往能激发学生的学习兴趣，发展学生的思维能力，调用不同的知识模块，对学生积极思考和总结归纳都大有裨益. 但是仅仅做到“一题多解”而没有“多解归一”或者“多解辨析”，往往就会停留在论而不深的层次. 在教学时既要注意从多解中教会学生通性通法，又要教学生欣赏“优解特解”，前者突出本质，重视基础，接近最近发展区，后者更加灵活，更富有新意.

2. 巧设问题变式，发展学生解决问题的能力

多元智能理论的主要创建者加德纳认为，课堂上真正地理解来自对少数主题的深入研讨，而不是对许多内容的“泛讨论”，变式教学贵在不变，就是抓住“少”的本质，才能衍生出“多”的变化. 变式教学也贵在变之有道，即变化应遵循数学知识发生、发展的逻辑链条，体现学生认知链的合理延伸，变式不是简单重复，而要注重思维层面的提升，帮助学生寻找变化中不变的本质.

3. 设计开放性问题，培养学生提出问题的能力

爱因斯坦曾说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要. 解决问题是被动完成任务，而提出问题是主动思考和创新思维. 尽管这里学生只是模仿性地编题，其思维价值也不能低估. 提出一个好的问题，需要学生在理解问题本质的基础上多角度思考，有利于促进学生深度学习，从而提升数学的核心素养.