选编“形异质同”题

作者简介：李井凡（1979—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教育教学工作.

[摘 要] 传统的几何专题课有开放式专题课、数学思想方法的专题课、阅读理解专题课等，近年来以“一图一课”“微专题课”等为代表的专题教学渐渐得到很多教师的实践与研究. 这类课型主题聚焦，求深、求透，能有效提升解题教学效率.

[关键词] “形异质同”;几何专题课;一图一课;回顾反思

近年来几何专题课得到不少教师的关注和研究，这类专题课常常聚焦某一个基本图形或某一类设问方式，切口较小，有教师将其描述为“微专题课”“一图一课”等. 下面是笔者整理的最近在备课组内开设的一节“探究两条线段之间的数量关系”专题研讨课的教学流程，并跟进了一些教学思考，供大家研讨.

“探究两条线段之间的数量

关系”专题课教学流程

教学环节1：从经典问题出发

问题1：如图1所示，四边形ABCD是正方形，连接对角线BD，作∠CBD的平分线交CD于点E.

（1）求证：DE=CE.

（2）过点D作DH⊥BE，交BC的延长线于点G，垂足为H.

①求证：H是DG的中点;

②若BH上有一点P，满足PB=PD，探究PD与BE之间的数量关系，并说明理由.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2023数学教学通讯中旬（12期）＼2023数学教学通讯中旬（12期） c＼12-165.tif>[图1][B][D][C][E][A]

解法预设与教学组织：教师出示正方形ABCD之后，不要急于出示小问，可以先让学生回顾基础问题“若正方形ABCD的边长为1，求其对角线BD的长”，然后依次研究第（1）（2）问. 对于第（1）问，学生可以有不同的解法，比如面积法、角平分线的性质等，教师可以通过追问让学生分享他们的不同思路. 对于第（2）①问，需要学生补全图形后，证明△BDH≌△BGH，从而得H是DG的中点;对于第（2）②问，当点P满足PB=PD时，可知△PDH是等腰直角三角形，从而得PD=DH，结合△BCE≌△DCG，可得BE=DG=2DH，于是BE=PD.

教学环节2：以正方形为背景的题组

问题2：如图2所示，正方形ABCD的对角线BD所在直线可以看成正方形ABCD的一条对称轴.

（1）画出正方形ABCD的所有对称轴.

（2）如图3所示，以点B为圆心、BC的长为半径的圆弧交其中一条对称轴于点E，连接OE，DE.

①求∠DCE的度数;

②分析OE与DE之间的数量关系.

解法预设与教学组织：第（1）问比较基础，让学生从轴对称的角度思考正方形问题，这为第（2）①问构造并发现等边三角形BCE做铺垫，于是可得∠DCE=30°. 解决第（2）②问的关键是将解题目光聚焦在△DEO中，分析出该三角形有两个特殊的锐角30°，45°，从而想到过点E作EH⊥DO，垂足为H，得到DE=OE.

教学环节3：以等腰直角三角形为背景的综合题

问题3：如图4所示，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，AC=BC，连接AP，BP，CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°后得到线段CP′，连接PP′，AP′.

（1）求证：∠CAP′=∠CBP.

（2）当∠APB=135°时，

①求∠PAP′的度数;

②若Q为AB的中点，连接PQ，分析PQ与PP′的数量关系，并说明理由.

解法预设与教学组织：第（1）问只需证明△ACP′≌△BCP即可. 第（2）①问可运用第（1）问得到的结论，将求∠PAP′的度数转化为求∠PAC+∠PBC，再借助△ABC中一个重要的“二级结论”——∠APB=∠PAC+∠PBC+∠ACB得到∠PAP′的度数为45°. 对于第（2）②问，有不同的构造思路，如图5所示，延长PQ到点M，使MQ=PQ，连接BM，接下来重点攻克△APP′≌△BMP，条件可找“BM=AP，BP=AP′，∠PAP′=∠MBP=45°”. 顺便指出，如果延长PQ到点M，使MQ=PQ，连接AM，则可证△APP′≌△APM，条件类似. 以上方法可看成“倍长中线”法. 还可以延长AP到点G，使PG=AP，连接GB，则GB=2PQ，再证△APP′≌△PGB，得GB=PP′，代换即可得到结论.

教学环节4：回顾反思，布置作业

小结问题1：在本课学习中，你积累了哪些基本图形及性质？请举例.

小结问题2：请结合本课所学习的“问题1～3”，挑选其中某个你认为比较有挑战的问题，将其稍作改编，提出一个不同的问题，先在组内交流，组内讨论后选一个问题在全班展示.

布置作业：

1. 如图6所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以点B为圆心、BC的长为半径画弧，交BA的延长线于点E，过点A作AD∥BC，交于点D，连接CD，分析AD，CD之间的数量关系.【对应“问题2”的第（2）问】

2. 如图7所示，P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC=120°，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°后得到AP′，连接PP′，BP′. 设Q为边BC的中点，连接PQ，分析PQ与AP之间的数量关系，并说明理由.【对应“问题3”的第（2）问】

对几何专题课的教学思考

1. 几何专题课的备课素材重在平时归类收集

教师在平时的解题研究中要注重对同类问题（同类方法、同类设问等）进行归类收集，待到要开设几何专题课时，这些学材就能很快找齐. 对于专题课来说，最有价值的是将一些“形异质同”问题关联在一起开展教学，这样能提高学生的解题能力，能促进学生识别具有相同或相近深层结构问题的能力.

2. 几何专题课的教学流程应该由易到难展开

开展几何专题课教学时，教师宜先从学生熟悉的经典问题出发，让更多的学生在开课阶段便能理解、参与，然后进行一些变式、提升与拓展，把学生的思维卷入有挑战的课堂问题中. 教师在课前预设的一些铺垫问题有时可以“密集”一些，但是在实际教学时要根据学生的学情相机呈现，比如学生的学情较好时，有些铺垫问题就不急于给出，而是要让学生独立面对挑战，如果有少数优秀学生能贯通思路，则教师可以通过追问暴露其思维过程，让那些理解稍慢的学生也能跟上班级节奏. 这里可提及印发给学生的“学案”的设计技巧. 一般来说，像上文课例中的“问题”的“题干”和“基础图形”均可以印制在“学案”上，但是后续设问一般不“和盘托出”，而是借助课件渐次呈现或相机出示，这样的学案就是所谓的“留白式学案”.

3. 几何专题课的小结与作业布置要精心预设

曹才翰、章建跃两位先生在《中学数学教学概论（第二版）》一书中关于解题教学曾指出：“在解题过程中，关键是能灵活地将问题转化为自己熟悉的表述方式，而转化的过程就是寻找问题的条件、结论的等值语言表示，连接相关通道的过程. 因此，加强‘多元联系表示’思想的运用是提高解题能力的基本途径”. 从上文课例中可以看出，几何专题课同样需要教师精心预设课堂小结. 上文课例运用两个小结问题，促进学生全面回顾、反思本课所学，特别是“小结问题2”，更是让学生参与问题的设计与改编. 想来，这也是在积极实践“多元联系表示”思想吧！