解题探究:从“考题突破”到“教学微设”

作者简介：王鑫（1990—），本科学历，二级教师，从事初中数学教育教学工作.

[摘 要] 解题探究建议围绕中考真题分两个环节来构建：一是思路突破，解后总结;二是围绕核心知识，开展教学微设计. 文章以2023年江苏无锡的一道反比例函数中考题为例，探索问题解法及隐含模型，开展教学微设计.

[关键词] 解题探索 ;“一线三直角”模型;教学微设计

由考题思路突破及模型探索

说起

考题 （2023年江苏无锡中考卷第17题）已知曲线C，C分别是函数y=-（x<0），y=（k>0，x>0）的图象，边长为6的正三角形ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C在x轴上（点B在点C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C上时，点A恰好在曲线C上，则k的值为______.

思路突破 由条件可知，点A在y轴上，点B，C在x轴上，考虑到△ABC是等边三角形，并且AO⊥BC，于是有∠BAO=30°. 所以tan∠BAO=tan30°==. 可按照如下步骤作图：分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为E，F，如图1所示. 因为AO⊥BO，∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，所以∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO. 于是有△BFO∽△OEA. 由相似性质，可得=

2=，又S==1，所以S=3. 最后结合反比例函数k的几何意义，可得k=6.

解后反思 本题是反比例函数的综合题，涉及三角形旋转、三角函数等知识，属于解析动态几何与函数问题. 突破问题时要把握几何运动过程，提取其中的特殊模型，再结合函数与几何的相关性质求解. 其中问题涉及“一线三直角”相似模型，即“K”模型，如图2所示.

在图2中，存在如下几何关系：∠F=∠E=∠AOB=90°，从而可推知如下结论：△BFO∽△OEA. 在解题过程中，若学生能准确把握复合图形中的几何特征，提取其中的特殊模型，则可以直接利用模型结论，简化解题过程.

对于“一线三直角”相似模型，有如下三大应用，解题探究中可以灵活运用：（1）根据特征确定模型，利用模型结论直接解几何问题;（2）在平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直，求解与函数相关的几何问题;（3）用于运动型问题中，根据点运动构建直角，结合模型结论串联条件.

围绕考题开展教学微设计

1. 教学环节一：基础热身

例1 如图3所示，在矩形ABCD中，AD=8，折叠矩形ABCD，使得顶点B落在CD边上的点P处，已知折痕经过点A，且与边BC交于点O.

（1）求证：=;

（2）若OP与PA的比为1 ∶ 2，求边AB的长.

教学预设：选取上述几何问题作为热身探究素材，引导学生把握关键条件，结合折叠特性推导条件，根据问题条件来确定、提取模型，结合模型结论再逐步求解. 整体上按照“条件解析→模型提取→结论利用”的思路来引导.

（1）引导学生理解题意. “折叠矩形ABCD，使得顶点B落在CD边上的点P处”，根据折叠特性可知△POA≌△BOA，从而可推得∠APO=∠ABO=90°. 综合可得∠APO=∠D=∠C=90°，从而可提取其中的“一线三直角”相似模型，于是有△OCP∽△PDA，利用相似三角形的性质可得=.

（2）该问求线段的长，同样需要充分利用模型结论进行推导. 根据“一线三直角”相似模型，可得△OCP∽△PDA，所以有=. 结合条件“OP与PA的比为1 ∶ 2，AD=8，可得=，所以PC=4. 在直角三角形中利用勾股定理构建方程求解：设AB=x，则DC=x，AP=x，PD=x-4. 在Rt△APD中，因为AP2=AD2+PD2，所以x2=82+（x-4）2，解得x=10，所以AB=10.

2. 教学环节二：拾0db2a095eb7743316a575cc8d8aee5bd0b0681ac49ba1dfe14d11f86d7189bc9级而上

例2 如图4所示，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G. 若AB=8，AD=6，BG=2，则AE的长为（ ）

A. B.

C. D.

教学预设：本题为复合型几何问题，具有一定的难度. 题目中没有直接构建“一线三直角”相似模型，教学中教师可以引导学生分析问题条件，通过作辅助线来构建模型，再利用模型条件求解.

作图建模：过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，如图5所示.

条件推导：四边形AMNB是矩形，故∠AMN=90°，AB=MN= 8，AM=BN，MN∥AB. 从而可证△DME∽△DAB，所以有=.

设定线段：设ME=x，则EN=MN-ME=8-x. 所以=. 所以DM=x，BN=AM=AD-DM=6-x，GN=BN-BG=4-x.

模型分析：由条件知∠AME=∠GNE=∠AEG=90°，显然存在“一线三直角”相似模型，于是有△AME∽△ENG，所以有=，即=，解得x=，x=8. 经检验，x=，x=8都是原方程的根，但x=8不符合题意，舍去. 所以ME=，AM=6-x=. 由勾股定理可得AE===，故答案为B.

3. 教学环节三：深入拓展

对于其中的“一线三直角”相似模型，若存在一组对应边相等，则可以生成特殊的“一线三直角”全等模型，如图6所示. 教学中教师可以先展示模型，再预设问题探究.

在图6中，存在如下几何关系：∠F=∠E=∠AOB=90°，FO=AE，于是可推得结论：△BFO≌△OEA.

例3 如图7所示，在△PMN中，PM=PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，-2），则点M的坐标是（ ）

A. （-2，0） B. （-2，0）

C.（-2，0） D.（-4，0）

教学预设：本题为“一线三直角”全等模型问题，其特殊之处在于引入了平面直角坐标系. 教学探究中教师需要引导学生探索模型成立的两大条件：一是等直角，二是对应边相等，然后在此基础上提取模型，利用模型推导线段长.

线段推导：过点N作y轴的垂线，垂足为D，如图7所示. 已知P（0，2），N（2，-2），则OP=2，OD=2，DN=2，从而可得PD=4.

模型提取：教师引导学生分析其中的角度与线段等量条件，则有∠MOP=∠MOD=∠PDN=90°，PM=PN，则有△MOP≌△PDN.

解题推导：根据模型结论有OM=PD=4，则点M的坐标为（-4，0），故答案为D.