提炼思想方

作者简介：宋晓东（1975—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.

[摘 要] 微专题课以建构知识体系、强化知识理解、探究数学本质为目标，能够有效提升学生的数学学习能力. 教师应认真研究教材，深入理解试题本质，采用灵活的教学方法逐层引导学生进行探究，使学生在掌握数学知识的同时有效发展思维能力，从而落实核心素养.

[关键词] 数学思想;微专题课;核心素养

试题是数学知识的载体，在解题应用中能够深化学生对知识的理解，能提升学生运用知识的能力，但是数学学习不能陷于解题的窠臼，使学生沦为解题的“机器”. 教师要善于在解决问题中引导学生总结思想方法，抓住数学本质，使学生真正掌握知识的内涵，学会研究的方法，从而落实核心素养的培养. 微专题课以相似的数学知识为教学内容，以专题研讨的教学模式迅速帮助学生建构知识体系，以实现高效学习.

何谓微专题研讨课

数学微专题课是将知识体系、思想方法相互关联的内容作为一个专题进行专项研讨的课程. 微专题课程首先要确定研究的专题，并选择能够反映专题研究目标的典型试题，进行循序渐进、由表及里的探究，同时进行相应的巩固练习和变式提升，使学生逐渐掌握数学研究的思想方法，落实核心素养的培养目标. 微专题课对于学生解决同类问题，帮助学生抓住数学本质特征，建构数学模型起着关键性的作用，是提升学生数学能力的重要手段.

本文以二次函数试题为抓手，开展“抛物线的几何性质”专题研讨课，渗透数学思想方法，帮助学生更加深入地理解抛物线的知识，提升知识运用能力.

教学活动

1. 操作实践，导入课题

问题：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，我们已经熟知二次函数的解析式和相关性质，如顶点、对称轴以及抛物线的增减性等. 那么二次函数的图象还具有哪些性质和特征呢？抛物线究竟是一条怎样的曲线？下面让我们通过操作来进行探究.

操作1：如图1所示，将一张纸进行折叠，使折叠后的点A，B，C，D，E，G，H，M，N分别与点F重合，折痕分别与直线a，b，c，d，e，g，h，m，n相交于点A，B，C，D，E，G，H，M，N.

学生纷纷动手操作.

师：观察折叠后的纸张，假设我们用光滑的曲线将这些点连接起来，能够得到什么样的曲线呢？

生1：像一条抛物线.

师：是的，让我们进一步观察纸张的折痕和点A，B，C，D，E，G，H，M，N，请问这些折痕和点具有怎样的几何特征？

生2：折叠之后的每条折痕分别是线段AF，BF，…，NF的垂直平分线，因此可以得到AA与AF相等，BB与BF相等，……，NN与NF相等.

师：讲得非常好，下面我们用几何画板将刚才的操作过程还原出来.

操作2：如图2所示，现在有一个定点F和一条不经过点F的定直线l. 首先在直线l上取一个点H，连接HF，接着作HF的垂直平分线m;再次，过点H作直线l的垂线HM，与垂直平分线m相交于点M;最后连接MF.

师：假设我们移动点M，这些点M满足怎样的几何条件？移动的点M形成了一条怎样的曲线？

生3：我们发现MH与MF相等，并且点M在平面上形成了一条抛物线.

师：你观察得非常仔细. 根据刚才的操作和观察，我们可以将抛物线进行如下定义——平面内有一个定点F和不经过点F的直线l，与这一定点和直线距离相等的点的集合便为抛物线.

设计意图 本环节通过两个操作活动将学生引入学习抛物线的状态. 学生通过自己的实际操作，对抛物线产生了更加直观的认识，进一步了解了抛物线的形成，初步建构起了抛物线的几何模型，这就为接下来进一步研讨抛物线的性质奠定了基础.

2. 数形结合，建构模型

师：研究抛物线的性质时，我们通常采用数形结合的方式，通过建立平面直角坐标系来求抛物线的函数解析式，将几何与代数进行相互转化，通过“数”的计算，将“形”与“数”相结合. 那么，我们应该建立什么样的平面直角坐标系才更加符合要求呢？

生4：如图3所示，我们可以根据函数y=ax2建立平面直角坐标系的方式，利用经过点F并且与直线l相垂直的直线FP（点P在直线l上）为y轴，将线段FP的垂直平分线作为x轴建立平面直角坐标系，由此抛物线的顶点便落在坐标原点.

师：非常好！现在我们能否根据抛物线的几何性质求抛物线的解析式？

生5：我们可以设点F的坐标为（0，p），直线l的解析式为y=-p，点M（x，y）是抛物线上的任意一点，根据MF与MH相等，可以得到（x-0）2+（y-p）2=（y+p）2，化简后可以得到抛物线的解析式为y=x2.

师：解答得非常好，根据这个解析式我们可以知道这是一个二次函数. 当然，我们还要注意，建立平面直角坐标系的方法是不唯一的，我们还可以将EF所在的直线作为x轴，将直线l作为y轴建立平面直角坐标系.

设计意图 本环节引导学生通过数形结合的方式求抛物线的解析式，将“数”与“形”的结合进行了具体的应用，初步渗透了数学研究的思想，不仅让学生掌握了求解函数解析式的方法，而且让学生初步掌握了图形问题中的数学运算思想.

3. 探究性质，深刻理解

（1）几何性质1

师：抛物线还有哪些几何性质呢？下面我们一起来探究. 如图4所示，过点F（0，p）的直线与抛物线相交于A，B两点. 假设AB与x轴平行，连接AP，BP，你可以得到哪些结论？

生6：我们可以得到线段AF与BF相等，AP与BP相等，∠APF与∠BPF相等.

师：如图5所示，过点F（0，p）的直线与抛物线相交于A，B两点. 假设直线AB与x轴不平行，那么上述结论还成立吗？

生6：只有∠APF与∠BPF相等这个结论可能成立.

师：由题意我们可以得到抛物线的解析式为y=x2，直线AB的解析式为y=kx+p（k≠0），于是设点A的坐标为

x，

，点B的坐标为

x，

. 我们能证明∠APF与∠BPF相等吗？

生7：根据全等三角形或者锐角三角函数值来进行说明. 因为tan∠APF==-，tan∠BPF==，所以我们只需要证明这两个角的正切值是否相等，即证明tan∠APF=tan∠BPF能否成立.

师：那么怎么验证这两个角的正切值是否相等呢？

生7：根据刚才的分析，我们已经将两个角的正切值表示出来了，那么我们只要用作差法进行证明就可以了，即证明--=0是否成立.

师：这种方法是我们常用的一种证明方法，但是由这个算式我们可以看到计算量非常大，似乎很难求解. 那你们还有其他的计算方法吗？

生8：证明两个角的正切值相等也可以通过作商来比较，即证明=-=1是否成立.

师：这个算式让我们想到了什么？

生8：想到了韦达定理. 联立方程

y=x2，

y=kx+p， 化简后可以得到x2-4pkx-4p2=0，于是有x+x=4pk，xx=-4p2. 所以=-==1. 所以∠APF与∠BPF相等.

（2）几何性质2

师：抛物线的性质还不止于此，根据抛物线上点的坐标的特殊性，我们还能继续探究它的其他性质. 如图6所示，经过点A作直线l的垂线AC，垂足为C，连接OC，OB，你发现C，O，B三点之间具有怎样的关系了吗？

生8：我们可以通过证明点C的坐标符合直线OB的函数解析式，得到C，O，B三点共线这一结论.

师：很好，你能说一说证明过程吗？

生8：由题意可知点C的坐标为（x，-p），直线OB的解析式为y=x，对于y=x，令x=x，可得y===-p，所以点C在直线OB上，即C，O，B三点共线.

师：非常好，除此之外，还有其他的证明方法吗？

生9：我们还可以通过三角形相似的性质或者斜率来进行证明.

（3）几何性质3

师：如图7所示，过点B作BD⊥l，垂足为D，你能用刚才的类似证明方法证明线段AC，FP，BD之间的数量关系吗？

学生合作讨论.

生10：根据刚才证明三点共线的方法，我们也同样可以证明A，O，D三点共线. 因为AC，OP，BD相互平行，所以有=，=. 所以+=1. 又因为FP=2p=2OP，所以AC，FP，BD之间的数量关系为+=.

设计意图 教师进一步引导学生探究抛物线的性质，通过问题引导，由浅入深地引导学生进行深入思考. 本环节教师首先以开放性的问题引导学生展开数学猜想，紧接着引导学生进行数学证明，渗透了从猜想到论证的一般数学研究方法. 从研究角的关系到点的位置，最后到线段的数量关系，层层深入，发展学生思维的深刻性，提升了学生对问题的认识.

4. 变式练习，深度学习

如图8所示，若抛物线的解析式为y=ax2，点Q（0，b）是y轴正半轴上任意一点，直线l的解析式为y=-b，那∠APQ与∠BPQ是否相等？C，O，B三点共线的结论还成立吗？AC，QP，BD之间有着怎样的数量关系？请同学们在课后进行拓展学习.

设计意图 本环节以变式练习的形式进行知识拓展延伸，促进学生深度学习，考查学生的知识掌握情况，将课堂学习延伸到了课外，有效提升了学习效果.

5. 联系生活，拓展延伸

假设我们在抛物线上确定一个定点F，将这一定点命名为焦点，即光线的聚焦点，由此可知，抛物线不仅具有几何性质，还具有光学性质. 下面我们一起来观看一个视频，通过视频可以知道从焦点发出的光线经过抛物线上的一个点反射后，反射得到的光线与抛物线的轴平行.

师生共同观看视频，发现呈自由落体的小球落在抛物面上后经过反射，能够全部击中铃铛（如图9所示）. 在日常生活中我们看见的探照灯、汽车远光灯等都是利用了抛物面的这一光学性质.

设计意图 本环节将数学知识与生活进行联系，丰富了学生的认识，使学生认识到数学知识在生活中的具体应用，激发了学生的数学学习兴趣，提高了学生学习的积极性.

教学反思

微专题研讨课是基于相类似的数学知识在不同试题中的应用而进行的研讨，能使学生更加全面和深刻地掌握数学知识的本质，提升知识迁移能力，完善知识体系，从而实现解题能力的提升.

总之，微专题课教学要基于教学目标和学情进行设计，并选择合适的问题以及教学模式引导学生在专题探讨中获得知识和能力的提升，并由此掌握数学思想和方法，实现数学学习能力的提升.