解题教学要尽可能“生动形象”

作者简介：徐茜敏（1981—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

[摘 要] 习题教学在初中数学教学中占有相当的比例.比如日常作业中的习题讲评，有些教师因为课前对较难习题的钻研不够深入，导致习题讲评只是让优秀学生进行解法展示，这些解法展示如果跳步严重，则不利于更多学生对解法的理解，解题教学的效果往往是订正了答案，却仍然不懂解题过程，更不能从这样的习题讲评中达到“学解题”的高要求.

[关键词] 解题教学;生动形象;新定义习题;“学解题”

最近笔者听到的几节新授课基本上教学环节完整，注重了概念的生成，也能体现以学生为主体的教学理念，但听到的一些练习讲评课，暴露出一些问题，如年轻教师对习题的理解不够深刻，只满足于答案核对、过程展示，没有形象生动地揭示思路的发生发展过程，也没有向学生传递“如何思考”的解题教学更高目标. 本文以听课过程中遇到的一道七年级新定义习题为例，先概述年轻教师的听课与随感，再给出笔者围绕该习题的“再设计”，提供研讨.

从一道七年级新定义习题讲评的

听课说起

习题：在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c.定义：若

a-b

=2

a-c

，则称点B为点A，C的双倍绝对点.

线段DE在数轴上，点D，E分别表示数-4、-2，a=3，

a-c

=2，线段DE与点A，C同时沿数轴正方向移动，点A，C的速度是每秒1个单位长度，线段DE的速度是每秒3个单位长度.设移动的时间为t（t>0），当线段DE上存在点A，C的双倍绝对点时，求t的取值范围.

听课记录：教师没有画图，只是提醒学生用含t的式子分别表示点A，D，E运动后的数，点A对应着数t+3，点D对应着数3t-4，点E对应着数3t-2. 然后让学生独立研究，几分钟后，教师请一个做得比较快的学生上台投影他的解法，并讲解思路如下：

先考虑

t+3-3t+2

=4，解得t=或t=（舍去），所以t≥;再考虑

t+3-3t+4

=4，解得t=或t=（舍去），所以t≤，所以t的取值范围为≤t≤.还有一种情况，就是把上面舍去的两种情况“找回来”，得到另一个取值范围≤t≤.

教师很满意学生的解法，表示肯定，并让还没有来得及做完的学生，课后进一步完成过程的整理，就“匆忙”进入下一道题的讲评（更多的是在与学生一起核对答案）.

听课随感：在处理这道题的讲评过程时，教师基本上“以优秀学生的嘴代替了教师的讲授”，效果可能还不如教师本人讲解. 因为优秀学生的讲解过程出现了太多的跳步，使得关键步骤、解题难点都没有说明，听课观察很多学生的表情，能看出基本都没听懂. 本着教学研讨的精神，以下给出这道习题的解题教学微设计.

解题教学“再设计”

教学环节1：组织学生理解题意

出示“习题”之后，教师安排学生先独立思考一段时间，然后可提出以下一些引导问题.

（1）同学们，你们能求出c的值吗？（c的值为1或5）

（2）线段AC的长是多少？线段DE的长为多少？（它们的长度均为2）

（3）点A，D，E运动t秒后，分别对应的数是多少？（用含t的式子表示）

（4）请画出一个草图，演示一下线段DE上有一点满足新定义“点A，C的双倍绝对点”.

教学环节2：结合图形分析思路

在“上一环节”学生画出草图演示之后，进一步组织学生优化图形分析，可以安排学生小组合作，完善出运动过程中的一些临界图形，挑选出一些“生动形象”的图形分析，投影展示，并上台讲解. 教师可提前做成课件演示，预设如下（如图1～图6所示）.

图1演示的是距离点A左、右各4个单位长度的点B1，B2，这两点B都是符合要求的“点A，C的双倍绝对点”;图2是线段DE从左向右平移运动过程中，右端点E1第一次“碰”到点B1，这是一次临界情形.

图3演示的是运动过程中线段DE“覆盖”着点B1，这时线段DE上必然存在着“点A，C的双倍绝对点”;图4是又一次临界情形，线段DE的左端点D2与B1重合，这时点D就是“点A，C的双倍绝对点”;

图5演示的临界位置是线段DE的右端点E3与点B2重合，这时点E“又一次”成为“点A，C的双倍绝对点”;继续运动到图6的临界位置，线段DE的左端点D4与B2重合，这时点D“又一次”成为“点A，C的双倍绝对点”.

教学环节3：完善步骤书写过程

在进行了充分的“图形分时”演示之后，结合运动t秒时各个点所对应的数，可以列出方程，求出相应的临界位置的t的值.

比如，图2对应的临界位置是点B，E重合，就有（t+3）-4=3t-2，解得t=. 图4对应的临界位置是点B，D重合，就有（t+3）-4=3t-4，解得t=. 图5对应的临界位置是第二次点B，E重合，就有（t+3）+4=3t-2，解得t=. 图6对应的临界位置是第二次点B，D重合，就有（t+3）+4=3t-4，解得t=. 综上，满足条件的t的值为≤t≤或≤t≤.

在此解法基础上，再让上文提到的“优秀学生”给出他的解法，让学生对比理解，就可以从“形、数”的角度帮助学生理解，印象更加深刻.

教学环节4：解题小结反思回顾

小结问题1：解决这道与数轴有关的新定义习题时，你觉得有哪些关键步骤？

小结问题2：解决这道习题之后，你收获了哪些解题经验？结合具体解题过程说说.

教学组织：教学时至少要预留5分钟左右，让学生在以上两个小结问题的引导下先进行小组内的交流讨论，然后每个小组派代表进行全班汇报交流，教师在学生交流时还要进行必要的追问，以便让学生将自己的收获或观点表达得更加清楚.

关于解题教学的进一步思考

第一，解题教学之前需要教师深度解题研究

对一些有难度的习题来说，教师在教学之前不能只是满足于答案的获得、思路的贯通就直接走上讲台开展解题教学，像上文听课案例中的教学处理是低效的甚至是无效的. 我们认为，教师在开展教学之前，应该对该题进行深度研究，包括一题多解的分析，特别是结合数轴进行图形直观的分时分析，这样才能对问题看得更透、想得更清，有利于进一步开展解题教学设计. 关于更加重视“图形直观”的教学，这里可提及史宁中教授关于“平面几何教学价值”一段论述：“一个人如果能够借助图形来思考问题，便称这个人具有几何直观，这里所说的思考问题包括描述问题、探讨本质、启发思路、预测结果等等”. 从七年级开始，就强化“以形助数”的分析策略，不但能让一道题的讲评达到“生动形象”的教学效果，也将有利于学生在八、九年级直到高中阶段的函数学习.

第二，解题教学的关键是促进学生“学解题”

其实学生的主要任务并不是解题，而是‘学解题’”. 如果像上文听课案例中那样只是让优秀学生来说一遍自己的解题步骤，而缺少教师的追问、点评，包括引导其他学生的参与、讨论、辨析，这样的解题教学是不完整的，也是低效的. 我们给出的解题教学“再设计”也是积极践行让学生“学解题”的理念. 比如，先引导学生学会审读题意，然后构造草图分析，进一步优化草图（使图形更加精确），并分析出不同的临界位置，再列出方程求解. 在这种“以形助数”的分析之后，再给出“以数驭形”的“绝对值方程”的不画图的“盲解”，让学生对比理解，整个过程也就达到了“学解题”的教学目标.