最值问题教学“三步走”:建模、运用与变式

作者简介：殷成叶（1981—），本科学历，一级教师，从事初中数学教育教学工作.

[摘 要] 中考几何最值问题是各地热点考题，学校备课组在复习备考期间都会加强对这类问题的复习研究.如果能将一些同类的最值问题“集中”在一起，根据由易到难、由特殊到一般的逻辑顺序展开教学，并注重预设“启发式问题”促进学生自主发现思路，这样做不但能让学生掌握一类最值问题的解答策略，还可以促进学生明辨形异质同的同类问题，发展学生的数学思维.

[关键词] 几何最值问题;微专题教学;形异质同;启发式问题

中考几何最值问题是各地中考试卷中的热点问题，如何开展这类问题专题训练与复习备课，成为不少学校备课组集体备课的一个重要课题. 在最近一次集体备课活动中，笔者承担了一节中考几何最值微专题的主备任务，经过全组教师的交流讨论，最后打磨成一节具有特例引路、变式巩固、拓展挑战的几何最值微专题课例. 本文整理该课教学设计，并给出教学立意的阐释，提供研讨.

教学环节1：特例出发，积累模型

问题1 如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D在BC上，且BD=AC，连接AD，分析AD的最小值.

教学预设 由∠ACB=90°联想到点C在直径AB的圆上运动，如图2所示，取AB的中点O，连接OC，过点B作BQ⊥AB，使BQ=OA，连接QD，可证△QBD≌△OAC，得QD=OC=QB，即点D在以Q为圆心，QB为半径的圆弧上运动，连接AQ，则AD≥AQ-DQ=-1. 即AD的最小值为-1.

同类再练 如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=AC，连接AD，当AB=4时，求AD的最小值.

教学预设 图3与图1相比，只是图形位置发生了变化，本质仍然是同类问题，如果学生解答有困难，可提示他们将图形“适当旋转”，就可转化为“问题1”. AD的最小值为2-2.

教学环节2：变式呈现，运用模型

问题2 如图4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，连接AD. 分析的最小值.

教学预设 与“问题1”相比，本题没有提供三角形的边长，待求中，分子、分母都是“变量”，让我们先“控制”其中一个变量AB. 取AB中点O，连接OC，过B点作BQ⊥AB，使QB=AO，连接DQ，由“问题1”的分析经验，不妨设AB=2c，AO=BQ=DQ=c，ADS7gZyTGyvAlSkBR/cgX8lNHZj4zeAytupS26tBLnAsg=≥AQ-DQ=（-1）c. 于是AD的最值为（-1）c. 即的最小值为.

同类再练 如图6所示，四边形ABCD是正方形，点P在直线AD上，连接BP，CP. 分析的最小值.

教学预设 如果学生感觉有困难，预设如图7所示的图形位置，用虚线隐去正方形，补出垂线段PH，可发现PH=BC，这样问题就转化为图4、图5的“结构”，分析的最小值仍然是.

教学环节3：走向一般，成果扩大

问题3 如图8所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在AC上有一点D，且CD=AB，连接BD，分析BD最小值.

教学预设 首先联想到△ABC的外接圆，如图9所示，设它的圆心为P，连接AP，BP，CP，可得∠BPC=2∠BAC=120°，所以BP=PC=2，过C作CO⊥BC，使OC=PB，连接OD，导角得到∠OCD=∠PBA，这样可证△OCD≌△PBA（SAS），于是OD=PA=PB=PC=2，在Rt△BCO中，BO=4，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值为2.

变式 如图10所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在边AC上有一点D，且CD=AB，连接BD，分析BD的最小值.

教学预设 思路与“问题3”类似，只是构造出的△OCD∽△PBA，相似比为，这样在Rt△BCO中，BO=，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值为-1.

成果扩大 如图11所示，在△ABC中，BC=a，∠BAC=θ，在边AC上有一点D，且BD=k·AB，连接BD，分析BD的最小值（用含a，k，θ的式子表示）.

教学预设 与前面“特例图形”的思路类似，构造如图12所示分析，BP=，OC=k·BP，OB2=BC2+OC2=BC2

+1，进一步可求出BD=OB-OD=（-k）.

教学环节4：课堂小结，布置作业

小结问题1 本课研究的系列问题中，前后都有一定的关联，你是如何理解它们之间的联系的？举例说说.

小结问题2 你对本课中哪道问题印象较深？你能否对它做一些变式，提出一个同类问题，并让你的同桌说说解题的思路？

布置作业 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，在边BC上有一点P，且BP=AC，连接AP，分析AP的最小值.

解法预设 构造如图13所示，△PBO∽△CAK，则∠CAB=30°+∠CAK，∠ABC=90°-∠CAB，OP=OB=AK=2，∠ABO=∠ABC+∠PBO=90°，AO=2，AP≥AO-PO=2-2.

对于微专题教学，教师要重视同类问题的研究，要促进学生辨明“形异质同”，要善于预设“启发式问题”.