聚焦专题选编题

作者简介：胡君妍（1992—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学工作.

[摘 要] 以等边三角形为背景的补图综合题是一类高频考题，文章选取一些相关考题并将其改编成3组“问题串”，开展专题教学，使得聚焦专题开展训练. 教学过程中，教师要舍得花时间让学生独立思考、补全图形，因为“补图不准”，后续继续求解则无意义.

[关键词] 专题教学;等边三角形;补图问题;关键步骤

最近一次中考模拟练习时，学生对一道以等边三角形为背景的补图综合题适应性不好. 为了做好讲评工作，笔者选取等边三角形为背景的多道综合题，将其改编成3组“问题串”，研发成一节专题课，在学校备课组内集中开展了听评课活动，取得较好的教学效果. 本文整理该课主要教学活动和设计意图，提供课例研讨.

活动1：在等边三角形的内部

补图探究

问题1 如图1所示，在等边三角形ABC中，D，E是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点D在点E的左侧，且AD=AE.

（1）请提出一个问题并解决，然后小组内交流;

（2）设点F在边AC上，且CF=CE，点M为AE的中点，连接FM并延长交AB于点G，连接DF，DG. 依题意将图1补全，猜想△DFG的形状，并证明.

设计意图 第（1）问是开放式问题，学生可能会提出“求证BD=CE”“求证∠BAD=∠CAE”之类具有对称性的问题，其能促进学生对题干条件下的问题进行准确的理解. 解决第（2）问时，先让学生独立补图，得到图2后，再证明△DFG为等边三角形. 如果学生没有思路，教师要启发学生由条件“CF=CE”想到辅助线“连接EF”，得到等边三角形CEF，这对于后续证明“△AGM≌△EFM”起到了重要的作用. 接着，当得到AG=EF=FC=CE=BD之后，再证△DFG为等边三角形就是之前教材上曾经练习过的一道基础题了.

活动2：基于等边三角形的补图

与对称最值探究

问题2 如图3所示，△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，点E在中线AD上运动（E不可取A点，可取D点），点E关于直线AC的对称点是点F. 连接AF，EF，BF.

（1）在图3中补全图形，并证明△AEF是等边三角形;

（2）当BF为最大值时，先找出点F，并连接AF，BF，BF与AC交于点P. 在AF上存在一点Q，使PQ+QC的值最小，比较该最小值与线段BP的大小;

（3）在边AC上存在一点M，同时满足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，请指出此时MC与AC的数量关系，并说明理由.

设计意图 第（1）问是基础题，学生容易补图成图4，能初步感知题干条件. 对于第（2）问，学生需要先分析出∠BAF是直角，△ABF是直角三角形，当斜边BF最大时，AB为定长，则只需AF最大即可，而根据对称性质，AF=AE，故当AE=AD时AF取得最大值，于是可构造出图5. 再运用“光线的镜面反射性质”（也称“将军饮马”），在图5的基础上构造出图6进行分析，PQ+QC的值最小时即PC′的长，结合对称性质可得到图6中△ACC′也是等边三角形，从而PC′=BP. 第（3）问需要分步理解，先构造图7分析，满足BM-ME的值最大时，应该延长BE交AC于点M;而满足BM+ME的值最小时点E关于AC的对称点F. 连接BF交AC于点P，当P，M重合时同时满足上述条件，即图8的情形，此时点B，E，M，F四点在同一直线上，容易看出MC与AC的数量关系是AC=2MC.

活动3：围绕等边三角形的不同

位置关系补图与求值问题

问题3 如图9所示，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线l，点D在该垂线l上，连接CD，以CD为边在其右侧作等边三角形CDE，连接AE，BD.

（1）在图9中找出与△ACE全等的三角形，并说明理由;

（2）设AB=a，求△CDE的面积的最小值（用含a的式子表示）;

（3）若AD=，AE=. ①求△ABC的周长;②求△CDE的边长.

设计意图 第（1）问，在图9中容易看出△BCD与△ACE全等. 第（2）问求△CDE的面积的最小值，想CD取得最小时，符合要求. 即过点C作CD⊥l，垂足为D. 此时CD=AC=a，相应地S的最小值为a2. 第（3）问需要考虑点D不同位置的图形（如图10、图11所示）. 根据（1）中两个三角形全等的解题进展，可得BD=AE=. 在Rt△ABD中（如图10、图11所示），都有BD2=AB2+AD2，可解得AB=2，即△ABC的周长为6. 如图10所示，当点D在点A右边时，过点C作CH⊥l于点H，由∠HAC=30°，可得CH=AC=，AH=AC=3，则DH=AH-AD=，在Rt△CDH中运用勾股定理可解出△CDE的边长CD=;如图11所示，当点D在点A左边时，类似地可得CD=.

活动4：课堂小结

小结问题1：本课关注的等边三角形综合题探究，不少问题都需要先补全图形，你在补图过程中积累了哪些经验？

小结问题2：以等边三角形为背景的综合题探究过程中，有时准确、快速识别出繁杂图形中的特殊三角形，往往能快速打开思路. 你在本课学习时，哪道习题中的哪个特殊三角形形给你留下了较深的印象？说说你是如何理解的.

小结问题3：有些补图问题如果忽略分类讨论，则会漏解. 你觉得本课“问题3”中要想严谨解题，在阅读题干条件时要重视哪些关键词句？