学材整体建构:聚焦核心素

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划初中专项重点资助课题——初中数学“学材再建构”研究（E—a/2016/06），江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“核心素养视角下初中数学‘整体建构’研究”（21A06SXSZ118），苏州市教育科学“十四五”规划重点课题“指向学科育人的初中数学学材整体建构研究”（2021/C/01/004/05）.

作者简介：戴秀琴（1979—），吴江区学科带头人，中学高级教师，从事初中数学教学研究工作.

[摘 要] 学材整体建构，就是帮助学生用整体的观点来学习知识的“各部分”，同时在学习“部分”时又明确它在整体中的作用，即从整体上关注知识、方法、过程、思维、习惯等教学点，促使核心素养的培养进行整体规划、逐步实现，从而将数学育人落实到位.

[关键词] 整体建构;核心素养;数学育人;思维品质

2021年5月苏州市青年教师优秀课评比在常熟举办，规定的比赛课题是“5. 1二次函数”（苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册），许多教师通过重构“学材”，很好地注重了学生数学核心素养，关注了数学育人. 笔者根据“学材再建构”操作要义，结合一些具体的课堂片段及“二次函数”的整体教学实施，谈谈数学课堂是如何发展数学核心素养并指向数学育人的.

课堂片段和评析

片段1

出示：“小球滚落”问题（书本章头图）.

提问：（1）距离s是时刻t的一次函数吗？是反比例函数吗？为什么？

（2）距离s与时刻t有什么样的函数关系？

（3）投影展示课本中“水滴激起波纹”“圈养小兔”和“加工长方形镜子”问题.

追问：以上三个函数表达式有何共同特征？……

评析 利用课本上的现实问题，引导学生建立二次函数模型，感受二次函数的意义和存在的广泛性. 按照常规建构概念的套路（引导学生由多个具体的例子归纳概括一个定义的过程，即“多到一”的归纳概括过程），训练了学生数学抽象和数学建模素养. 但对于已有一定知识、技能和方法的学生而言，更多的要训练学生的迁移类比和逻辑推理素养. 显然，“多到一”的归纳概括过程稚化了初三学生的思维，不利于优化学生的思维品质.

片段2

1. 判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a，b，c的值.

c=2πr;y=-x（1-x）;y=;y=;y=2（x+1）2-2x2;s=πr2;y=-2x2+3x-1;y=mx2+nx+p.

2. 如果关于x的函数y=（m+1）·xm 2-3m-2+2是二次函数，求m的值.

评析 通过两个小题将概念具体化，突出二次函数的一般形式中的条件“a≠0”，强化对二次函数的定义的认识，发展了思维的严密性.但第1题中“指出其中常数a，b，c的值”及第2题大可不必呈现，因为在学习一元二次方程时类似的问题都出现过，这里再次出现，显然冲淡了二次函数的本质.

片段3

写出下列各函数关系，并求出自变量的取值范围.

1. 菱形的两条对角线的和为26 cm ，求菱形的面积S（cm2）与一条角线长x（cm）之间的函数关系.

2. 体育用品店销售一批运动服，零售价每件20元. 如果一次购买超过10件，那么每多购1套，所购运动服的单价降低6元，但单价不能低于150元. 现决定购买x（x>10）件，请写出总售价y与x之间的函数关系式.

评析 通过例题，把实际问题数学化，感受二次函数是描述一类现实问题中数量关系之间的数学模型. 通过求自变量的取值范围，让学生明确“受到实际意义的限制”. 但是用配方法求“二次函数的最大值”让学生无所适从，建议通过列表的方式让学生尝试寻找二次函数的最大值更为直观.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性. 以上“片段”体现了设计者在“用教材”教的指引下，对“学材”进行了一定的再建构行为，对学生数学核心素养的提升或多或少有一定的积极作用. 但以上片段表明没有把“5.1二次函数”这一棵“树木”放在“函数”这片“森林”里，从而学生获得的是更小的一棵“树木”. 教师给学生的是“先森林，后树木”还是“先树木，后森林”，本无多大区别，但教师自己必须“先森林，后树木”！这样在“用教材”教的过程中，才能更多地考虑“知识的结构和体系”“局部知识与整体知识的关系”“感受数学的整体性”，更多地聚焦核心素养并且指向数学育人.

优秀范例和点评

与以上课堂教学片段相比，一等奖获得者朱敏彦老师的课堂教学实践，注重了知识的“生长点”与“延伸点”，对“学材”进行了适当的再建构，既给学生一颗“树木”又给学生一片“森林”，较好地发展了学生的数学核心素养.

环节1：情境创设

问题：在长200 m、宽140 m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路（如图1所示）.

（1）小学里我们如何解决这个与图形有关的计算问题？（将两条小路分别平移到左边和上面，如图2所示）

（2）设道路宽为x（m），随着x值的变化，图中哪些量也随之发生变化？这些量是道路宽x的函数吗？是x的什么函数？

（3）分别设两条道路重叠部分的周长为C（m），合在一起的绿地的边长为l1（m）和l2（m），绿地总面积为S（m2），请分别写出C，l1，l2，S与x之间的函数表达式.

（4）C，l1，l2是x的什么函数？

追问：什么是一次函数？正比例函数和一次函数有何关系？

强调：用自变量的一次式表示的函数就是一次函数，即形如y=kx+b（k≠0）的函数是一次函数;特别的，形如y=kx（k≠0）的函数，叫正比例函数. 正比例函数是特殊的一次函数.

点评 借助具体的情境回顾函数、一次函数等概念很有必要，一方面为二次函数的学习做好铺垫，有利于学生能够较顺利地接受二次函数的概念等相关内容;另一方面可以反过来进一步深化对函数和一次函数的理解和掌握.

环节2：模型建构

师：对于S=x2-2x+28000，S是x的什么函数呢？（众生：二次函数. ）

追问：为什么S是x的二次函数？

生1：用自变量的一次式表示的函数是一次函数，那么用自变量的二次式表示的函数就是二次函数. 所以S是x的二次函数.

生2：在S=x2-2x+28000中，若给定S一个具体的数值，那它就是一个一元二次方程. 这与一次函数和一元一次方程之间的联系是一样的.

师：同学们学得很扎实，尤其是能充分利用自己已有的知识经验得到二次函数的定义. 二次函数和一次函数、反比例函数一样，也是用来描述现实问题中数量关系的一种数学模型.

根据以上的交流，我们应该如何定义二次函数呢？什么样的函数叫二次函数？

生3：用自变量的二次式表示的函数叫二次函数.

生4：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫二次函数.

点评 没有按照常规套路，而是引导学生充分通过类比迁移进行理性推理，比较深刻地认识二次函数的本质属性. 这样的提炼、归纳得到的知识是深刻的、牢固的、合乎逻辑的发展结果，有利于学生学习素养和智慧的提升.

环节3：巩固拓展

例1 下列函数中，哪些是二次函数？

y=6x2;y=+x2-x;y=x2-（x+1）2;y=x（7-x）;y=600-x2;y=mx2+px-1.

追问：（1）你是怎么判断的？

（2）若x表示周长为14的矩形的一边长，那么矩形的面积y就可以表示为y=x（7-x）. 对于其他二次函数，你能分别赋予它们一个实际背景吗（用生活中的实例来描述）？

方式：学生先独立思考，再在小组内交流，最后全班交流. 教师要求学生课后进一步交流包含二次函数的实例.

（3）因为二次函数是用自变量的二次整式表示的函数，因此二次函数y=ax2+bx+c的自变量取值可以是一切实数. 对以上赋予实际背景的二次函数，自变量的取值范围分别是什么？

强调：如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量时，那么它的取值范围会受到实际意义的限制.

例2 小敏想在自家院子里用24 m长的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，一边利用院墙（墙长16 m），如图3所示. 设长方形生物园的一边AB长为x（m），面积为S（m2）.

（1）写出S与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围.

（2）若AB长为6 m，求S的值;若S=54 m2，求x的值.

（3）AB长为多少时，可以使长方形生物园的面积最大？

列表表示长方形生物园的面积随AB的变化而变化的情况：

[x/m 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x/m2 ]

你能根据表格中数据的变化趋势做出猜想吗？

方式：在学生独立思考的基础上小组合作，最后全班交流展示. 对于第（3）小题，学生通过列表，不难发现面积的最大值及两者之间的变化趋势. 当学生回答“当AB增大时，S先增大再减小”后，教师随手画出图形（如图4所示）.

点评 通过例1的辨别，强化对二次函数本质的认识，同时适时、自然地将自变量取值范围的讨论融于其中;利用例2巧妙地进行二次函数的图象、最值和增减性的渗透，用发展的观点把学生带到“最近发展区”，启动了学生的积极思维，而且全面依靠学生自己探究解决. 学生在体验分析问题、发现结论的探索过程中，直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模等素养都得到提升.

环节4 反思总结

围绕以下问题引领学生思考回顾，并形成知识框图如图5所示.

对于二次函数，我们研究了哪些内容？怎么研究的？还要研究哪些内容？如何去研究？

点评 采用“问题化”引领学生对二次函数的定义从本质、方法和过程等方面进行总结，鼓励学生从获得知识、形成技能、发展能力等方面谈谈自己的收获或体会. 这样不但把握二次函数的实质，还能用语言刻画思维过程. 同时，通过类比猜想“二次函数”的其他相关内容，促使学生将已知的内容很自然地迁移到未知的内容上去，不仅提升了学生的思维能力，激发了学生的学习积极性，而且促进了学生自主建构并良好优化的、富有弹性的“森林式”的认知结构，促进了学生的全面发展.

教学思考

1. “二次函数”蕴含的数学核心素养

从数学核心素养的角度来看，“二次函数”内容蕴含了数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学建模等核心素养，它们在发展学生思维能力和优化思维品质方面具有非常重要的价值.

二次函数作为现实生活中普遍存在的数学模型，应该集中起来研究其具有的本质特征，然后根据这些特征归纳出概念，即二次函数概念体系的建立可以培养学生对数学概念表征的抽象能力. 从数学知识之间的内在联系看，二次函数概念体系的建立，需要以一次函数和一元二次方程为逻辑起点，基于一次函数的本质和一元二次方程，通过迁移类比，初步发展并建构相应的概念体系. 通过迁移联想，引导学生自主搭建深入学习的支架，形成“抛物线平移”体系，从而培养学生逻辑推理素养.

在描点画二次函数图象的过程中，用运动变化的观点，数形结合的思想，直观而形象地感受到函数图象的轴对称性、图象的变化趋势及最高（低）点，强化了函数思想（式、数、形之间的内在联系）. 用描点法画二次函数图象，引导学生观察发现关于某条直线对称的点的坐标之间的关系，想象出该直线是二次函数图象的对称轴;另外，从函数的视角出发，审视二次函数与方程（组）的关系，根据图象，直观地探索抛物线与直线的交点坐标，进而建立二次函数与方程（组）的内在联系，很好地发展了几何的直观性.

二次函数是研究某些变量最优化问题的常用数学模型，教学中通过大量案例，从数量关系分析入手或从图形中获取有效信息，把实际问题数学化，进而求出最优解的全过程（如面积最大、利润最大、能耗最小等）. 在建立二次函数这个数学模型的过程中，拓展了学生的数学知识，提升了数学能力，尤其是有效训练了学生数学建模素养.

2. 在整体规划中发展数学核心素养

核心素养的培养具有有序性、系统性、连贯性、整体性和结构性等特点. 这就要求“学材再建构”时遵循初中数学知识逻辑与学生认知规律，以构建学生结构性知识体系与能力发展价值体系为目的，促进学生的整体发展和素养提升[1]. 为此帮助学生用整体的观点来学习知识的“各部分”，同时在学习“部分”时又明确它在整体中的作用，这对完善学生的认知结构有积极的作用. 即从整体上关注知识、方法、过程、思维、习惯等教学点，从而将数学育人落实到位.

知识、技能碎片化的教学方式，导致了思维和素养提升的碎片化或者得不到落实. 为了将数学核心素养的培养真正落实到课堂中，落实到“二次函数”教学中，重组教材，合理安排“二次函数”整章教学单元显得尤为重要. 根据教材和课程标准，由学生学习的基础条件，确定教学目标，并对“二次函数”整章教学进行“整体建构”和单元规划. 具体可将整章分为三大教学单元：二次函数及其图象和性质、二次函数与一元二次方程、实际问题和二次函数. 考虑到学生已有知识经验及整体实现发展数学核心素养的目标，将“二次函数及其图象和性质”这个大教学单元划分为三个小教学单元，即二次函数及二次函数y=ax2的图象和性质、抛物线y=ax2的平移、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质[2].

特别地，将教材中“5.1 二次函数”和“5.2 二次函数的图象和性质第1课时”合二为一作为一个教学小单元更为合理. 具体实施时，首先类比一次函数的定义研究二次函数的定义，从而节约研究时间，提高效率;其次二次函数y=ax2的图象和性质，在研究图象、性质的过程中，把重点放在强化“数形结合”思想上. 学生在深刻理解函数图象及性质的本质，并掌握了研究方法的前提下，加快了研究进程，提高了学习效率. 显然，这是注重了知识的结构和体系，有利于学生从整体上把握. 当然，这样的过程尤其突出研究方法的引导，引导学生通过类比的方法自主研究，并通过“问题”引领学生积极思考，养成良好的思维习惯.

显然，对“二次函数”整章教学进行“整体建构”和单元规划，将相关教学点纳入一个结构或框架中形成模块化体系，学生收获的不仅仅是数学知识，而是基于旧知生长新知的过程中，学习方法、学习方式、数学思想和活动经验等都有收获. 这样，学生的理性思维、学科能力、人文素养、核心价值观等都会得到同步发展，育人成效得到明显体现. 这样的再建构才有可能将核心素养的培养进行整体规划、逐步实现.

参考文献：

[1]施俊进. 基于“原有基础”，引导“整体架构”，促进“协同发展”——“二次根式”教学实践与反思[J]. 中学数学，2013（02）：4-7.

[2]施俊进. 学材再建构，在结构中教与学——以“一元二次方程”单元教学设计为例[J]. 中国数学教育，2018（Z3）：12-15.