数学探究让思维之花绽放

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“促进初中生数学建模素养发展的教学策略研究”（D/2020/02/349），江苏省中小学教学研究第十三期立项课题“移动互联时代提高初中生自主学习能力的实践研究”（2019JK13-L314）.

作者简介：林松（1974—），本科学历，正高级教师，多次参加扬州市义务教育学业质量监测命题和中考命题工作，主持江苏省第三、四、五届乡村骨干教师培育站工作.

[摘 要] 数学探究是一个学习过程，是学生获取新知的一条有效途径. 文章通过“定弦定角”模型的探究教学片段实录和分析，说明在探究教学中教师一定要培养学生的问题意识，用问题引发学生积极思考;要加强师生共同合作，激发思维的碰撞，让探究不断深入;要促进知识建构，实现思维生长，让思维之花竞相绽放.

[关键词] 问题;探究;猜想;推理;思维;变式;思维;最小值

数学探究就是“学生遇到某个数学问题或数学情境时，通过观察、分析、推测数学事实，提出有意义的数学问题，并寻找、验证数学事实及结论，给出相关规律或结论的解释或证明，同时反思所得结论以期形成新问题”[1]. 因此，教师在探究教学中要培养学生的问题意识，用问题激发学生的探究欲望，引发学生思考，让学生在探究中学习、反思、建构，促进学生创新思维意识和能力的发展，让思维之花在课堂绽放. 下面以一节“定弦定角”模型的习题教学为例，谈谈笔者的实践与思考.

教学片段实录

习题呈现 如图1所示，正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以点B为顶点作正方形BFGH，其中F，G两点都在直线AE上，当点E到达点B时，F，G，H三点与点B重合. 则点H所经过的路径长为____，点G所经过的路径长为____.

教学过程

师：请大家阅读题目，思考如何解决此问题.

学生读题并动手画出点E在不同位置的图形（如图2所示）. 学生直观感觉到点H和点G所经过的路径都是圆弧.

生1：我认为点H和点G所经过的路径都是圆弧.

师：为什么点H所经过的路径是圆弧？

生1：因为∠H为定角90°，BC为定弦，根据“定弦定角”模型可知，点H所经过的路径是以BC为直径的四分之一圆.

生2：生1说得不对！我们不知道C，G，H三点是否共线，所以不能确定圆周角∠CHB就是∠GHB.

师：有道理！那大家能证明C，G，H三点共线吗？

生1：连接CG，证∠CGA=90°.

师：大家试试看！

学生尝试证明，没有人能证出∠CGA=90°.

生3：老师，能不能连接CH，证明∠CHB=90°？

师：你当然可以试试！

生3尝试证明，发现不能证明∠CHB=90°.

教学分析 学生动手画图是一种实践操作，它让学生以实验者的身份进行操作探究. 学生通过画图、观察、归纳，发现点经过的路径可能是圆弧. 这种从“实验操作”到“归纳猜想”的经验获得非常重要，是科学探究的重要方法. 但仅有猜想还不够，还需要科学的论证. 在以上教学活动中，“点经过的路径是什么”是学生必须思考的问题，这一问题必然会引发学生思考，而当学生猜想可能是圆弧时，又必须面对如何进行科学论证这一问题.

一段时间后，生4举手发言.

生4：刚才的两种思路都不太好证明，我有一个新的思路. 延长HG交BC于点C′，利用“ASA”可证△ABF≌△C′BH，所以C′B=AB. 所以点C与点C′重合. 所以C，G，H三点共线（如图3所示）.

师：非常好！这样我们就可以判断点H所经过的路径是以BC为直径的四分之一圆了. 那么，点G所经过的路径为什么是圆弧呢？

生5：如图2所示，因为在点E从点C到点B的运动过程中，∠AGC一直为90°，而∠AGC所对的线段为定线段AC，所以点G所经过的路径是以AC为直径的四分之一圆.

师：非常好！

教学分析 数学菲尔茨奖获得者、著名数学家托姆提出：“数学的学习主要应是一个自发探究的过程. ”生4用“同一法”证明了“C，G，H三点共线”，生5在生4结论的基础上，根据“定弦定角”模型判断出“点G所经过的路径是以AC为直径的四分之一圆”，这两个学生在实践操作的基础上，通过自发探究，从理性上论证了猜想的正确性.

师：大家还有什么考虑吗？

生6：老师！我不需要证C，G，H三点共线，就可以判断点G所经过的路径是弧. 连接BG，则∠AGB=45°，在点E运动的过程中，∠AGB保持不变，所对的线段AB保持不变，根据“定弦定角”模型可以判断点G在过A，B，C三点的圆上，且在从点C到点B这一段劣弧上（如图4所示）.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2023数学教学通讯中旬（12期）＼2023数学教学通讯中旬（12期） c＼12-136.tif>[图4][B][D][C][E][A][F][G][H]

师：太棒了！过A，B，C三点的圆的直径是不是就是线段AC？由此是不是可以判断直径AC所对的圆周角∠AGC为90°了？

生（齐）：是的！

师：这说明了什么？

生（齐）：C，G，H三点共线！

师：是的！这样就用另一种方法说明了C，G，H三点共线.

教学分析 生6另辟蹊径，用自己的方法判断出点G在过A，B，C三点的圆上. 通过教师的引导，学生发现了另一种证明“C，G，H三点共线”的方法. 这些结论的探究会让整个课堂充满生机，活力四射，会让学生的获得感油然而生，会让数学方法和结论不断呈现.

师：大家还有什么思考吗？（稍停）既然点H所经过的路径是以BC为直径的弧，那么BC的中点Q到点H的线段是不是半径？

生（齐）：是！

师：那反过来，如果我们能证明BC的中点Q到点H的距离恒为BC，是不是也能说明点H所经过的路径在以BC为直径的☉Q上？

生（齐）：是！

师：请大家尝试证明！

学生尝试证明，生7板演如下：取AB的中点P，连接FP，QH. 易得PB=QB，∠PBF=∠QBH，FB=HB，所以△PBF≌△QBH. 所以QH=PF. 而在Rt△AFB中，因为P为AB的中点，所以PF=AB. 所以QH=BC. 所以点H在以BC的中点Q为圆心、BC的长为半径的圆上（如图5所示）.

师：完全正确！我们是否也可以同样地思考点G的运动路径问题？

生8：在Rt△ACG中，斜边AC的中点O到点G的线段的长为AC，所以点G在以点O为圆心、AC的长为半径的圆上（如图6所示）.

师：回答正确！根据以上探究我们可以明确“点H和点G所经过的路径都是圆弧”. 这就能很方便地求出相应的弧长了.

教学分析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.[2]”数学教学活动应经历数学化、探究、再创造的过程. 从“猜想”到“论证”是一个顺向的过程，通过这个过程，师生共同探究，根据“定弦定角”模型确定点运动的路径是圆弧. 作为教师，不能止步于此，既然已经能够证明运动路径是圆弧，那是不是可以根据圆的定义来证明呢？因此，教师就此展开引导，抛出新的问题让学生去思考并解决，让探究在课堂中更加深入.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2023数学教学通讯中旬（12期）＼2023数学教学通讯中旬（12期） c＼aa-1.jpg> 教学思考

1. 培养问题意识，引发积极思考

探究始于问题，学生探究学习的主动性和积极性主要源于一个个充满疑问的问题. 亚里士多德说过：“思维是从疑问和惊奇开始的. ”因为疑问能使学生从心理上感到茫然，产生认知上的冲突，从而激发学生的探究欲望，促使学生积极思考. 因此，培养和强化学生的问题意识在探究教学中尤为重要，它是造就创新人才的关键. 在本案例教学中，学生阅读题目后首先考虑的问题是“点经过的路径是什么”，学生通过动手操作，猜想“点H和点G所经过的路径都是圆弧”. 为什么是圆弧？为什么点C，G，H三点共线？不证明三点共线是否可以判断“点H和点G所经过的路径都是圆弧”？……这一系列问题的出现让学生的思维一下子活跃了起来，学生的探索热情随之迸发，于是他们立刻围绕问题自主寻求或自主建构答案与理由.

问题意识是学生认识活动中意识到一些解决的、疑惑的问题时产生的一种怀疑、困惑、焦虑的心理状态. 这种心理状态使学生积极思维，不断地提出问题和解决问题[3]. 教学中学生时刻会在心里产生新问题，也会思考不同的解决问题的方法. 教学中，因时间关系不可能一一让学生进行展示，这时教师就要相机诱导，让学生去探索和思考最有价值的问题. 例如，用证明BC的中点Q到点H的距离恒为BC来说明点H所经过的路径在☉Q上. 这个问题学生可能一时想不到，但经过教师的点拨，学生会觉得这个问题很有意义，而且经过大家的共同努力，也确实证明了这一结论的正确性. 这样的教学能有效地培养学生的问题意识，能让学生充分体会到数学来源于问题，问题是数学的心脏.

2. 加强师生合作，激发思维碰撞

“水本无华，相荡乃生涟漪;石本无火，相击而生灵光. ”要想全面认识问题，仅凭个人的力量一时难以解决或不够全面，此时需要师生合作探究，发现问题并提出问题，思考问题并解决问题. 在上述教学中，核心问题是研究点H和点G所经过的路径是什么，师生通过“实验操作—归纳猜想—验证或证明”这一过程进行探索. 生1根据“定弦定角”判断点H和点G所经过的路径是圆弧，生2立刻提出反对意见，理由是“不知道C，G，H三点是否共线”. 在生4和生5的积极参与下，大家终于形成一致意见——点H和点G所经过的路径都是圆弧. 生6则另辟蹊径，用自己的方式判断出点G在过A，B，C三点的圆上，同时也让大家发现了另一种证明“C，G，H三点共线”的方法，让探究进入高潮. 最后，作为课堂的组织者，教师又从另一个视角进行了引导——根据路径是圆弧这一结论，让学生从圆的定义角度去思考. 这种从“结论”找“方法”的思考，让学生耳目一新，取得了非常好的探究效果. 在整个教学过程中，师生合作，并在教师的点拨和引导下，在学生独立思考和互动的共同作用下，学生之间相互影响，探究不断深入和拓展，学生的思维品质得到了提升. 课堂因师生的合作而生彩，思维之花竞相绽放.

3. 促进知识建构，实现思维生长

知识不能急于拿给学生，而要让学生经历知识的探究与发现过程. 学生在知识建构过程中，可以经历“特例→猜想→归纳→猜想一般结论→验证或者证明一般结论”的过程，这些直接体验能帮助学生形成良好的数学直观，建构真正的数学理解. “定弦定角”问题是一类有固定解题思路和方法的数学问题，这类问题的解决建立在学生认真分析，通过“定弦定角”找“隐圆”的基础之上. 当然，也可以反向思考，即想得出答案，就必须具备怎样的条件，在猜想的基础上一步步找出隐含条件，以解决问题. 所以我们探究教学的目的不仅要教探究活动的结果（答案），而且要呈现探究活动的必要过程——暴露数学探究的思维活动. 只有这样，才能让探究教学成为师生再发现与再创造的过程，才能让学生在知识的建构中实现思维的不断成长.

结语

数学教学的本质是“教学生学会思考”. 数学探究教学要积极培养学生的问题意识，要让学生在情境中发现问题和提出问题，并利用观察、猜想、实验、推理、验证等方法分析问题和解决问题;要充分发挥学生的主观能动性，让学生主动探索，放飞思维;在师生合作中，教师要点而不破，道而弗牵，让学生用心去感悟，用自己的方式去思考. 数学教学要站在数学的学科价值高地，以数学学科的情怀去构筑数学思想方法及学生的活动经验，让学生自主探寻解决问题的路径和方法，让学生的思维之花竞相绽放.

参考文献：

[1]徐斌艳. 高中数学教材探究内容的分析指标体系及比较研究[J]. 课程·教材·教法，2012，32（10）：35-49.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]任恩刚，张卫苹. 问题探究教学能力的培养[M]. 呼和浩特：内蒙古大学出版社，2009.