“加减乘除”及其“和差积商”说解

万献初

数学的四则运算中，“加减乘除”的结果是“和差积商”。为什么这样命名？需要从字源构成和词义发展上作透彻的解析。

加法，指两个或两个以上的数、量合成一个数、量的计算，运算符号为“+”，进行加法运算是以加号（+）将各项连接起来。

加（jiā），《说文》：“加，语相增加也。从力从口。”金文作，义指诬枉、夸大。段玉裁注：“诬人曰‘譄，亦曰‘加，故‘加从力……谓有力之口也。”以口（口）着力（力）将夸大诬枉之词强加于人，故“加”从力从口。《左传·庄公十年》：“牺牲玉帛，弗敢加也，必以信。”杜预注：“祝辞不敢以小为大，以恶為美。”由诬言加于人转指置此于彼之上，即添上原无者，《论语·乡党》：“加朝服，拖绅。”扩展指增益、更加，《论语·子路》：“加我数年，五十以学《易》，可以无大过矣。”再指两个以上物或数目合在一起，与“减”相对，《九章算术·均输》：“加一斛粟价，即致一斛之费。”于是有了算术上的“加法”。加法运算的结果是“和”。

和（hé），又作“咊”，《说文》“咊，相譍也。从口禾声”，《广韵·过韵》“和，声相应”。金文“和”作，作，小篆作。《周易·中孚》“鸣鹤在阴，其子和之”，《后汉书·黄琼传》“阳春之曲，和者必寡”。“和”从禾得音义，《说文·禾部》“禾，嘉谷也”，甲骨文作，金文作，庄稼结实低头之形，本指粟（小米），扩展为禾苗、庄稼的总称。初民有“嘉谷天授、瑞麦天来”的观念，有天的风调雨顺和人的辛勤耕作，才有“禾”的收成，因此“禾”字象形表示庄稼，也寓意“天人合一”，有“和合”的基本义素。如《吕氏春秋·必己》“以禾为量”，高诱注：“禾，中和。”此义后加皿为“盉（hé）”，《说文·皿部》“盉，调味也。从皿禾声”，金文作、，意为在器中（皿）调和五谷之味（禾），即“五味和羹”。

“和”字有两读两义：表示动作读hè，《广韵》胡卧切，匣母过韵去声。“从口禾声”表“声音相应和”，即和谐地跟唱或伴奏。转有“附和、响应”义，又有“以诗歌酬答”义，扩展有“答应、允许”等义。作形容词读hé，《广韵》户戈切，匣母戈韵平声，有“和谐、协调”义，本作龢，段玉裁《说文解字注》“经传多借和为龢”。龢（hé），《说文》“龢，调也。从龠禾声，读与和同”，甲骨文作，金文作。朱骏声《说文通训定声》“《一切经音义》六引《说文》‘音乐和调也。《周语》‘声应相保曰龢。……经传多以和为之”。龠（yuè），《说文》“龠，乐之竹管，三孔，以和众声也。从品、侖；侖，理也”，管乐器名，甲骨文作、、，构字意图为“用口吹排管”。龠同“樂—”，《说文》“樂，五声八音之总名”，罗振玉谓“（樂）从丝附木上，琴瑟之象也”，即弦乐器。“龠”表示管乐，“樂”表示弦乐，后“樂（乐）”通用而“龠”只作构字部件。众乐器声音相和，故“龢”从龠禾声。

“盉—龢—和”三字音同，形义本有分工：盉，在器皿中调和粮食味道；龢，音乐和调；和（咊），人声应和。后用“和”兼表三者：《申鉴·杂言上》“嘉味以济，谓之和羹”，是以“和”代“盉”；《尔雅·释乐》“大笙谓之巢，小者谓之和”，是以“和”代“龢”。“和”统三义之后，“盉”退而只表装食品的盒子，“龢”则废弃不用。

“和”的义项较多：和谐、协调→适中、恰到好处→和顺、平和、和融→和解、和平→温和、温暖→调和、调治→汇合、结合→加法的结果→伴随、连同→连词。

“和”指和谐、协调，《礼记·乐记》：“其声和以柔。”指适中、恰到好处，《周礼·天官·大司徒》：“一曰六德：知、仁、圣、义、忠、和。”郑玄注：“和，刚柔适也。”作动词指调治、调和，《周礼·天官·食医》：“食医掌和王之六食、六饮、六膳、百羞、百酱、八珍之齐。”“和”是两个以上物或数目叠加调和的结果，故用于数学名词，就指两个以上的数相加所得的总数。勾股术中有“勾股和”之称，明徐光启《勾股义》：“勾股和，求股求勾。”清罗士琳《勾股截积和较算术》：“有勾股和，有截阔截长和，有截积，求勾。”

减法，是从一个复数中减去另一个数的运算。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算为减法，其运算是以减号（-）将各项连接起来。

减（jiǎn），本从氵作減，《说文》：“減，损也。从水咸声。”金文作、，小篆作。咸（xián），《说文》：“咸，皆也，悉也。从口从戌。戌，悉也。”甲骨文“咸”作、，从戌从口，戌为斧钺类兵器。上古战争多，部族竖立武器（戌）呼集（口）全体部落男子参加（咸—喊），有“皆、悉”义，故“咸”从口从戌。作副词表示范围，相当于“都、全”。“鹹（xián）”指盐味，盐为“鹵—”，咸盐味是最普遍之味，饮食不可缺少，故“鹹”从鹵咸声。鹹味太重则苦，《尔雅·释言》：“鹹，苦也。”郭璞注：“苦即大鹹。”郝懿行义疏：“鹹极必苦。”太咸（鹹）苦难食，加水使变淡可食，故“減”从水咸声。后省“氵”为“冫”成“减”。

“减”由损盐分扩展指去掉一部分，《礼记·乐记》：“故礼主其减，乐主其盈。”宋玉《登徒子好色赋》：“东家之子，增之一分则太长，减之一分则太短。”转指减轻、降低，《左传·昭公十四年》：“三数叔鱼之恶，不为末减。”杜预注：“减，轻也。”用于数学运算方法，就指求两数之差的“减法”，为加法的逆运算。《周髀算经》“夏至之日中与夜半，日光九万六千里过极相接”，赵爽注：“倍日光所照，以夏至日道径减之，馀即相接之数。”减法运算的结果是“差”。

差（chā），《说文》：“差，贰也，差不相值也。从左，从。，籀文从二。”金文作，作，小篆作。“—垂”（chuí）是一树花朵（玉兰花）下垂状态，加手（右左）揉擦使脱落分开，同“搓”，“差—搓”古今字。由搓擦义转指差错、不当，《荀子·天论》：“乱生其差，治尽其详。”杨倞注：“差，谬也。”作副词表示程度较小、略微，《汉书·食货志下》：“白金三品……二曰以重差小，方之，其文马，直五百。”用于数学术语，表示两数相减之间的结果差别，如五减去三之差就是二。

乘法，是加法的简便运算，是将相同的数加起来的快捷方式，是加法的量变导致的质变结果。乘法的运算符号为“×”，以乘号（×）将各项连接起来。

乘（chénɡ），《说文》：“乘，覆也。从入、桀。”李孝定《甲骨文字集释》：“乘之本义为升为登，引申之为加其上。许训覆也，与加其上同意，字象人登木之形。”甲骨文作，金文作，一个人翘着脚板爬到树（木）顶上，有“攀高、登上”义。《诗经·豳风·七月》“亟其乘屋”，人登上屋顶就是“乘屋”，转指登、升。《周易·同人》：“乘其墉，弗克攻，吉。”《国语·晋语》“郤叔虎将乘城”，晋国大夫郤叔虎要登上翟柤的城墙。由人翘足登上树类比：腾身驾云是“乘风”，骑上马背是“乘马”，登上车厢是“乘车”，四匹马拉一车称为“驷”，也称“乘”，读shèng，“千乘之国”是拥有很多战车的大国。

乘字的本义是登、升，就是到了高的地方，走上去、爬上去、送上去都可以，登上高处就能覆盖下处，故《说文》训“乘，覆也”。由登上、覆盖转指翻倍，用于运算方法，两数相倍为“乘”，即今算术的乘法。《周髀算经》卷上：“勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”《三国志·吴志·赵达传》：“且此术微妙，头乘尾除，一算之法，父子不相语。”乘法是以迭代算法对两个变量进行移位、加减得到积，其逆运算的除法是以迭代算法对两个变量进行移位、加减得到商和馀数。乘法的运算结果为“积”。

积（jī），繁体作“積”，是形声字。《说文》：“積，聚也。从禾責声。”为禾谷聚集。朱骏声《说文通训定声》：“禾谷之聚曰积。”金文作，小篆加禾作，简化字从禾只声作“积”。《诗经·大雅·公刘》：“乃积乃仓，乃裹餱粮。”《说文》：“責，求也。从貝朿声。”本义为索取。王筠《句读》：“责，谓索求负家偿物也。”索取是强制性求取财物（貝），如刺（朿）人般给人带来伤害，故“責”从貝朿声。甲骨文“責”作、，从貝朿声。朿（cì），《说文》：“朿，木芒也。象形。读若刺。”本义为木芒，后加刂（刀）作“刺”。小篆“朿”作，徐锴《系传》：“从木形，左右象刺生之形也。”甲骨文作、，像木上多刺形，或谓像戟、矛等有刺武器。“積”字构形指聚集禾谷，谷物必先收取（責）方能聚集，故“積”从禾責声。

“积”指积聚、贮藏粮食，《管子·牧民》：“积于不涸之仓，藏于不竭之府。”作名词指积聚之物，《左传·僖公三十三年》：“居则具一日之积。”杜预注：“积，刍米菜薪。”作动词通指累积、堆叠，《荀子·劝学》：“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉。”累积则增多，故也指多，《周礼·地官·遗人》：“掌邦之委积，以待施惠。”郑玄注：“少曰委，多曰积。”又指数量的累积，《周易·升》：“君子以顺德，积小以高大。”用于运算，指若干个数相乘的乘法结果，即倍数的累积，《九章算术·商功》：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？”

除法，是乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，就是除法。用乘法做的任何事情，都可以用除法撤消。

除（chú），《说文》：“除，殿陛也。从，余声。”石鼓文作，小篆作。

甲骨文“阝”作，为山阜台阶形。余（yú），《说文》：“余，语之舒也。从八，舍省声。”用为语气词，后用为第一人称代词。语气分散方能平舒，“八”有分散义；房舍四平八稳，梁柱分散受力，亦有平舒意，故“余”从八，舍省声。甲骨文“余”作，金文作，像梁柱撑起屋顶的房舍形，与“舍”同义，由梁柱上撑房顶转指语气上出舒展义。

台阶（）可拾级上下，故“除”指宫殿的台阶，即“殿陛”，《史记·魏公子列传》：“赵王扫除自迎，执主人之礼。”《汉书·王莽传下》：“群臣扶掖莽，自前殿南下椒除。”颜师古注：“除，殿陛之道也。”又由顺台阶而下转指去除、清除，《尚书·微子之命》：“抚民以宽，除其邪虐。”又指数量上除去、不计算在内，北魏贾思勰《齐民要术·作酢法》：“取七日水，十五日作。除此两日，则不成。”用于数学计算方法，指均分某数为若干份，与“乘”相反，是乘法的逆运算，《汉书·律历志下》：“推日月元统，置太极上元以来，外所求年，盈元法除之，余不盈统者，则天统甲子以来年数也。”《旧唐书·历志一》：“乃以十二乘之，以时法六千五百三除之，所得为半辰之数。”除法的运算结果为“商”。

商（shānɡ），本作，《广韵》式羊切，书母阳韵平声。《说文·贝部》“，行贾也，从贝，商省声”，段玉裁注谓“，俗作，经传皆作商，商行而废矣。浑言之则贾可互称，析言之则行贾曰”。甲骨文“商”作，金文作，释为地名、人名、方国名，或谓本为器名转作地名。《玉篇·口部》“商，五音金音也”。参考出土器物，“商”像悬挂的钟类乐器，下加口示其发声。故乐律五声“宫商角徵羽”中有商声。

殷商的始祖契封于商地（今商丘），因地名国，故有商代，盘庚东迁改商为殷。吴晗认为：周武王灭商后，“商人”指失国而为周子民的殷商遗民，他们失国失家失地，无以为生计，故用在殷商时善经营的长处，跑买卖而挣脚力钱糊口，久而久之，商人就成了远途贸易者的代名词。因初时殷商遗民本钱缺乏，只能“徙有之无”贩运而从中获得薄利，因而定下“通物曰商”的性质，商与旅从此分不开，《周易·复》“商旅不行”即是（参吴晗《灯下集·从商品生产想到中国商人的起源》，生活·读书·新知三联书店，1960）。商周用贝币，通物者作从贝的“”字正合理，然商周之商字经典习惯用商不用，经商也就随之用“商”。《管子·小匡》“今夫商负任担荷，服牛骆马以周四方，料多少，计贵贱，以其所有易其所无，买贱鬻贵”，是对行商的典型描述。因“商人”起源于殷商遗民，从事周贵族看不起的跑买卖行业，其时被贬称“顽民”，故传统为官者与读书人都轻贱商人，官府多重農抑商，与此种思想背景大有关系。

商，由乐器转指商地商朝，再由商朝义转为商人，字形或从言作“謪”，扩展出的词义很多。有“经商、贩卖”义，《商君书·垦令》“重关市之赋，则农恶商”；郭璞《江赋》“泝洄沿流，或渔或商”。有“商人”义，指贩卖货物的人，《商君书·垦令》“商欲农，则草必垦矣”；唐韩愈《送僧澄观》诗“越商胡贾脱身罪，珪璧满船宁计资”。有“商讨、商量”义，《周易·兑》九四“商兑未宁”，王弼注“商，商量裁制之谓也”；《后汉书·宦者传论》“成败之来，先史商之久矣”，李贤注“商谓商略”；唐韩愈《贞曜先生墓志铭》“兴元人以币如孟氏赙，且来商家事”。有“计量、计算”义，《尚书·费誓》“我商赉尔”，孔传“我则商度汝功，赐与汝”；《汉书·食货志上》“时大司农中丞耿寿昌以善为算能商功利得幸于上”，颜师古注“商，度也”。古漏壶中箭上所刻的度数（递减），《仪礼·士昏礼》贾公彦疏：“郑《目录》云：‘士娶妻之礼以昏为期因而名焉。必以昏者，阳往阴来。日入三商为昏。……商谓商量，是刻漏之名。”《诗·齐风·东方未明》“狂夫瞿瞿”，唐孔颖达疏：“《尚书纬》谓刻为商。郑作《士昏礼目录》云‘日入三商为昏，举全数以言耳。”

“商”由商讨、计量、递减刻度转用于数学名词，表示除法的结果，指一数除以不为零之数的结果，如6÷2=3，6是被除数，2是除数，3就是商数。除法计算结果称为“商”，是由其“商量、比较、计算、递减刻度”义延展出来的。

当除数变成一个基准值，被除数变成一个数据值，商数就可以变成一系列数据值的比较标准。基于这个标准，现代人设计一些实验来制定这个基准值，并用基准值作为测量的标准。“智商”（IQ），即智力商数，就是用此法来验测一个人在普遍社会智力水平上的位置。同样的，情绪商数（EQ）、逆境商数（AQ）、创造力商数（CQ）等，都是这样的商数。