关于函数教学的几点思考与建议

王云，熊庆林，郭晓俊

（重庆市育才中学校，重庆 400050）

一、平稳衔接，关注知识储备结构

任何学习都需要有一定的知识储备，学习者以原有的知识经验作为新知识的生长点，通过与外界的相互作用来建构新的理解。教师需要准确把握初高中教材中相关内容，着力关注学生已有知识结构，力求以学生熟悉的知识经验为起点展开教学，以求消除学生对抽象知识的陌生感和焦虑情绪，以求教学的有效性。

案例1 函数的概念抽象难懂是学习者在函数学习中的第一个拦路虎，初高中关于函数概念的介绍不尽相同，为了说明方便此处将这两个定义摘抄如下：

初中函数定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时称y是x的函数。

高中函数定义：设A、B是两个非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A。

教学中虽然教材和教师在介绍函数概念时做了不少努力，比如设置各种情景、作为输入—输出黑箱等帮助学生理解函数概念，但现实的情况是最终还得面对学生说下函数抽象的概念，教师还需把这种严格的定义强加给毫无认知准备的学生，学生没有经历理解定义的过程。

教学中，教师应充分挖掘二者定义的区别与联系，可以通过这种方式介绍高中函数概念：“在一个变化过程中对于x的每一个值”就构成集合A（函数的定义域），“与每一个x都唯一与之对应的值y”就构成函数的值域C（在映射中没有要求B中的元素都有原象），“对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应”说明存在一个对应法则f，如此类比，初高中函数定义就无缝对接了，让学生感到高中的函数定义就是从初中函数定义中过渡过来的，实质没有发生变化。

此外，为了消除学生的陌生感和面对新知识的焦虑情绪，教师所列举函数尽量确保学生熟悉，比如，讲授函数对称性的时候最好以二次函数为例，讲授函数单调性的时候，最好以一次、二次、反比例函数为例，这样既保证了新知识有较好的生长点，也确保了学生良好的心理准备态势。

二、螺旋上升，结合学生心理特征

螺旋上升原理符合人的认知特点和身心发展规律，心理学研究成果表明，人的大脑接受外界信息以后，都有一个自我消化、梳理的过程。

《普通高中数学新课程标准(实验)》（以下简称《课标》）指出像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握并灵活应用。为此，教师要改变教学理念，变传统的讲授、机械训练为主的单一教学模式，为学生从事数学活动提供足够的时间与空间，以丰富学生的学习经历、改进他们的学习方法，让具有不同潜能的学生学习不同层次的数学[1-3]。

螺旋式上升教学原理是将同一块知识安排在不同阶段学习，以函数为例，为让学生充分理解函数概念，初中安排了函数板块，初步接触函数概念，初步学习一次、二次、反比例函数等简单函数，高中阶段要求学生以运动变化的观点认识函数、理解函数的要素、认识几类基本初等函数、掌握函数基本性质等，随后通过不等式、数列、向量等知识加强学生对函数的理解，加深函数与不同知识间的联系，最后运用导数研究函数局部性质，提高学生从微观认识函数的能力。

针对高一学生学习函数困难这一现状，教师在某些重要知识、重要思想方法等不能一步到位的重要节点的教学上也应遵循螺旋上升的原则，以求教学效果最大化。

案例2 求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

教学中，可以在采用分段讨论绝对值求解不等式后顺便延伸出两个问题，①让学生画出函数y=|x-1|+|x+3|和y=6的图像，②结合二者图像，求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

此处，虽然还未介绍分段函数的概念，但是分段讨论去绝对值求解不等式的过程让学生已经萌芽了分段讨论的意识和能力水平，同时训练了作图能力，在学生头脑中初步树立了分类讨论和数形结合等重要数学思想，为后续进一步学习提供基础。

三、数形结合，图像支撑函数学习

高中生的思维水平虽然已经逐步开始由以形象为主的思维向以抽象为主的更高的思维水平发展，但是形象思维在其学习过程中仍起着不可估量的作用。华罗庚先生有一首广为传播的打油诗：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

教师要积极引导学生，通过对学生作图、读图能力的培养，提高学生用图像解决函数问题的能力，帮助学生理解函数问题的本质。比如，在介绍完指数函数、对数函数后，应要求学生准确画出二者图像，在记住图像的基础上记忆函数的基本要素及一般性质：定义域、值域、单调性、恒过定点等，以形记数，做到心中有图。在介绍抽象程度高不易理解的函数单调性、对称性等概念时，应时刻紧抓函数示意图，定能取到不错的效果。

案例3 在学习函数单调性之后，可以从定量定性角度引导学生作出函数y=x+(k> 0)图像。首先，虽未学习奇偶函数相关概念，但是据分析可以发现函数的图像关于原点对称，由此可知只需画出函数在x>0部分的图像即可，其次，通过函数单调性的定义可以发现函数分别在(0,k),(k, +∞ )内单调递减和单调递增，最后，可以发现x→0+时函数值趋于正无穷，又，由此可知函数图像始终在直线y=x（x>0）的上方，并且x(x→+∞)，故函数有渐近线y=x。最后可以让学生自行画出函数的图像。在作图的过程中让学生充分感受数与形的紧密联系，增强对相关概念的理解，同时认识到学习函数相关性质的目的和意义。

总之，学生的抽象能力发展水平与函数图象的形象直观属性直接决定着函数教学离不开图像的支撑。因此，教师要在数学课堂中有意识地培育和渗透物、形意识，构建抽象的数学概念、定理与形象生动的实物、图形之间的无缝连接，简单地讲就是让数学课堂与实际生活紧密联系起来，深刻体现数形结合的数学思想，形象直观地展现知识，这对培养学生思维能力、减轻学习负担、打造高效课堂是十分必要的，必须引起高度的重视[4-6]。

四、问题铺垫，搭建支架破解难点

什么是“学习支架”？它来源于构建主义理论指导下比较成熟的教学模式：支架式教学。支架式教学以维果茨基的“最近发展区”的概念为核心，这个发展区存在于学生已知与未知，能胜任与不能胜任之间，是需要支架帮助的区域。威林厄姆在《为什么不喜欢上学》中提到，努力解决难度恰当的问题是有好处的，但是解决太简单或太困难的问题，是不会让学生开心的。

案例4 （1）二次不等式的解法教学中，应准确把握二次函数、二次方程、二次不等式三个二次关系间的紧密联系，可设置以下问题，为自然生成一般形式一元不等式的解法搭建支架：请作出二次函数y=x2-5x的图像，请回答：一元二次方程x2-5x=0的两根为？一元二次不等式x2-5x>0的解为？一元二次不等式x2-5x<0的解为？问题：如何求解一般形式的一元二次不等式呢？

（2）函数的表示法中有一类常见问题——方程思想求解函数解析式，比如已知函数f(x)(x≠0)满足3f(x)+=x，求f(x)的解析式。常规教学中是将x换成代入上式得到另一个方程，再解方程组即得f(x)的解析式。实践表明，这样的灌输式教学效果并不明显，学生只是将其作为一个解题技巧记忆下来，甚至对其合理性产生怀疑。经分析，笔者认为可以设置以下问题为学生搭建理解的支架：①求f(3)的值；②求的值（促进学生形成方程组求值的方法萌芽）；③求f(x0)的值（x0为某非零常数）；④求f(x)。经过问题串的设置，学生逐渐意识并理解方程组求解的可行性，同时也渗透了赋值法的教学，最后还可以设置问题；⑤是否求解每一个函数值都需解方程组？（计算f(1)、f(-1)只需赋值一次即可）。

五、数学思想，渗透教学贯穿始终

《课标》指出，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分明确提出来，这不仅是对数学思想方法的重视，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证，是提高教学质量的基础[7-8]。

本章教学应逐步渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想，提高学习效率与思维层次。教学中教师要把握渗透数学思想的时机，选择适当的方法，化显为隐、循序渐进，依据不同阶段和不同内容的特点精心设计教学程序与方法，让学生深度参与领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决数学问题。

案例5 方程与不等式是函数的两种特定状态，二次不等式教学中充分体现了数学结合、函数与方程的思想。

六、提升理解，夯实数学阅读能力

阅读是学生自主获取知识的一种学习过程，它不仅仅是读的过程，而且是动口动手动脑有机结合，统一协调的过程。数学阅读由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，有不同于一般阅读的特殊性，它是一个完整的心理活动过程，与文学阅读最大的区别是数学阅读要包含文字、数学符号、术语公式、图表图像等阅读对象、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动等因素，同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。研究表明，阅读能力差是构成一些学生学习数学感到困难的因素之一。

案例6 定义在R上的函数y=f(x)满足f(-2)且f(x+3)=-f(x-1)，求f(2018)的值。

教师在指导学生审题的过程中应注意从本质上而非形式上理解题意，比如针对条件“f(x+3)=-f(x-1)”，一般处理方法是：将x→x+1，即得f(x+4)=-f(x)，再将x→x+4即得f(x+8)=-f(x+4)，由此可得，f(x+8)=f(x)，即f(x)是周期为8的函数。如此一来，基础较差的学生就会犯糊涂了，为什么要如此变换？如果教师从条件本身所表达的含义入手，抓住条件本质含义，引领学生阅读并翻译条件，则学生理解起来就轻松多了，可以设置如下问题串：

问题1：f(x+3)=-f(x-1)中x+3与x-1两个值有何关系？（相差定值4）

问题2：那这个条件想告诉我们函数f(x)满足一个什么关系？（相差定值4的两个点处函数值异号）

问题3：因此条件f(x+3)=-f(x-1)还可以写成什么形式？f(x+4)=-f(x)，此式与原式本质一样吗？（一样）

问题4：x+8与x+4间有何关系？（相差定值4）那么f(x+8)与f(x+4)间有何关系？f(x+8)=-f(x+4)，

问题5：因此f(x+8)与f(x)间有何关系？（f(x+8)=f(x)）

形式化的表述是学生学习函数的一大难点，教师应从细节入手，适当关注形式化，但更应注重本质具体化、形象化，以求帮助学生轻松学习，这也是一线广大数学教师的不懈追求。

七、注重应用，函数建模学以致用

任伟芳在《课堂教学设计与评析中》给出了一首数学应用的赞美诗：数学精微何处寻，纷纭世界有模型；描摹万象得神韵，识破玄机算古今；岂是空文无实效，能生妙策济苍生。我们要更加注意数学和现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为日后进一步学习或在工作、生活中的应用打下更加坚实的基础。