数学建模思想下概率论与数理统计教学优化分析

胡俊红

(晋中师范高等专科学校 数理科学系,山西 晋中 030600)

0 引言

数学基础理论在高等教育中的地位非常重要,它是现代科技发展的基础。在应用型大学中,概率论与数理统计是一门重要的数学应用类课程[1]。概率论与数理统计是高等数学的重要组成部分,其实践运用面广,社会价值较大。但因课程之内大量用到微积分、线性代数等方面的相关知识,理论内容多,对于学生来说难以理解掌握。因此,如何把课程知识化难为易、化抽象为具体,引导学生把所学知识运用到实践中,解决实际问题,是教学的重要目标。作为一名概率论与数理统计课教师,在教学实践中,结合数学建模思想,对课程讲授方式开展积极探索。通过对数学建模思想的运用,能激发和提高学生学习概率论与数理统计的兴趣,更好地理解和掌握课程知识,优化了课堂教学方式,提升了课堂教学效果。

1 应用数学建模思想能够优化概率论与数理统计课程教学的理论分析

人们日常生产生活发生大量的事件,一部分事件之间在特定条件下存在因果关系,可以称之为确定性事件;而另一部分事件之间在特定条件下不存在因果关系,它们之间存在随机性,可以称之为不确定事件。不确定事件难以用因果关系进行阐释,其主要缘由是事件之间的因果联系因偶然事件引发的,因而这些事件被称为偶发事件或随机事件。概率论与数理统计就是研究随机事件的学科。因为现实生活中随机事件大量存在,所以概率论与数理统计可以广泛应用于工业、农业、经济、管理等很多领域。但是这个课程在大学学习的三门公共数学课程中,是排在微积分、线性代数之后学习的第三门课程,学习它要以前面学习的微积分和线性代数为基础,因此学生普遍感觉理论多,难以理解和掌握,所以教师在授课时,要积极考虑怎样把抽象不容易理解的知识具体化、形象化。将理论知识和实际生活相融合是一个好办法,运用数学建模思想围绕实际生活去建立模型,应用概率统计知识去解决问题,能够激发学生学习概率统计的兴趣,积极、主动地运用所学知识解决工作与生活之中的问题,提升自己的数学思维能力与数学素养。

数学建模是把生活中的实际问题构建为数学模型,对数学模型进行求解,这为生活中各种问题的解决提供科学理论依据。数学建模思想注重本学科工具及计算机专用软件的运用,对于工业、农业、自然科学、社会行为等问题运用恰当的数学方法进行深入分析研究,把既有的信息数据作简化处理,依托数学语言与符号建构数学模型,进而分析其内在运行规律。人们运用数学建模思想,必须进行深入调查研究,整理与分析所得数据,依据数据进行假设与探究事件的内在规律等,而后才可以进行建模。这一系列过程,就是把抽象、复杂的现实问题简单化,使之成为一个可以解决的数学问题,这也为概率论与数理统计课程知识的学习提供一个很好的抓手。利用它既可以提高教师的数学建模能力和科研能力,优化概率论与数理统计课堂教学结构,又可以激发学生学习概率论与数理统计的兴趣。

2 引入数学建模思想对优化概率论与数理统计课程教学的重要意义

数学建模不是单一的空间结构,而是事物量变与质变描述的复杂结构,是人类文明不断演进的智力成果。同时,数学建模具有严谨性与科学性的表征。因此,高校教师把其运用于概率论与数理统计课程知识结构中有助于学生学习能力提升,更好地掌握与运用知识,促进教学相长,共同进步,对提升教学质量具有重要价值。

2.1 激发学生学习兴趣,提升学以致用能力

学生积极性不高、兴趣低下是概率论与数理统计课程教学中面临的最主要难题。产生这种学习状况既有学科本身理论性与抽象性高,需要学生有很强的逻辑思维能力,又有要记忆、理解与灵活运用大量的概念、公式与定理,学生有畏难情绪等方面的原因。加上高校给予概率论与数理统计课程教学时间有限,教师不得不采取灌输的方法进行知识传授,课堂知识容量大,导致学生难以对教师所授知识完全消化吸收,而且缺乏必要的实践应用拓展,难以开展实践应用。如教师把数学建模思想有效融入课堂教学之后,不但可以让学生感受到概率论与数理统计在社会生产生活中的运用价值,不断提升其学习兴趣,而且学生也可以全面学习与掌握建模思想,针对实际问题,主动建模,解决实践中的问题,提升自己的能力。教师可以把日常生活中与概率论与数理统计课程相关的问题融入课堂教学之中,如场馆人流分布、核酸分组检测、购买彩票等例子,引导学生运用所学知识进行建模,提升其分析问题与解决问题能力。

2.2 增强师生互动,优化教学结构

依托数学建模思想,教师在概率论与数理统计课堂上不再唱“独角戏”,突破了死板沉闷、枯燥乏味的课堂气氛,师生互动增加,课堂学习氛围浓厚。教师通过建模,把实际生活例子引入课堂,抽象化、理论化的知识点变得简单化、生活化。同时,学生也可以依据自己生活中遇到的问题,自己建模,在课堂学习之中请老师指导来解决问题,也可以组成学习小组协同解决。为了优化课堂教学流程,提升学生的学习效率,教师可以在每一节知识学习前,引导学生预习,学习基本知识,厘清学习的重难点。课堂上,教师对本节课的重难点进行建模,让学生分小组协同解决,教师做好必要的引导。此外,概率论与数理统计课程学习完成后,教师依据学生生活实践与专业要求留一些个性化的建模作业,鼓励学生个人或小组相互协作解决。而后,教师安排学生在课堂中进行成果汇报,师生共同进行评价,由此,师生互动不断增强,共同研讨问题。只有学生积极参与、教师配合,师生双方共同努力,才能提升概率论与数理统计的教学效果[2]。

2.3 有助于提升教师的数学建模能力与教学能力

教师优化课堂教学结构,提升教学效率就必须有较高的数学建模能力,因此,掌握数学建模的基本要求十分必要。数学建模具有循环性与复杂性的表征,这需要教师有严谨思维与逻辑推理能力,在数学模型构建成型后,应小心反复检验,如出现验证不准确的情况,应立即回溯到假设,对假设进行调整,直至验证无误,建模才能成功。基于数学建模这样的表征与流程,教师应多读专业书籍,提升数学建模能力与教学能力,进而依据教学实际,精选合适的概率论与数理统计课程问题进行建模。在课堂教学中,教师要精心设计教学流程,包括如何导入实际问题,如何把知识的讲授与数学建模有效契合,如何设计师生互动,如何评价学生的学习效果,如何布置作业等,进而让学生的知识学习与学生的能力提升融为一体,提升学生的实践能力。同时,教师不断提升了自己的数学建模能力,教学水平不断提升。

3 数学建模思想下概率论与数理统计教学优化的路径选择

3.1 教学内容与数学建模思想的有效融入

概率论与数理统计课程具有极强应用性,教师应依据学情与教学内容,推进概率论与数理统计课程和数学建模有效契合。教师应精心选取概率论与数理统计各个章节中可以建模的内容,构建一个完整、严谨的知识体系,引导学生主动地借助模型观察数据的变化,把建模中抽象的数据信息化为具象信息,进而让学生学习关联知识,拓展知识面,提升学习兴趣。同时,还可以引导学生把所学理论知识开展实践运用,主动为实践问题构建数学模型。教师可以选取典型案例作为教学内容,在案例中加入一些辅助性的知识点,让学生在案例分析的时候主动学习相关知识[3]。例如,口袋里有6个白球与3个红球,从袋子中任意取出一球,会取出什么样的球?在展示这个问题后,教师引导学生依据概率论与数理统计课程所学内容分析研究案例,构建数学模型,进而依照数学建模思想系统分析案例提出的问题,给出答案,提升学生动手与动脑能力。案例教学作为教学内容要依据不同专业选取相应内容,提升案例与专业的匹配度,使案例更好地辅助学生通过数学建模掌握知识,提升学生的参与度。

3.2 采用多种教学方法,结合生活实际,引入数学建模思想

在概率论与数理统计课程教学中,教师应灵活运用教学方法,引导学生发现问题,进而帮助学生解决问题,这是教师提升教学效率的重要途径。教师可以在课堂中运用启发式、讨论式、对比式等教学方法,让学生深度思考,灵活运用所学知识并结合实际进行建模,提升学生学习与运用知识的积极性与主动性,使学生成为课堂的主体。教师要主导课堂,精讲重难点,同时,教师应结合生活实际,引导学生自主发现问题,自觉运用知识解决问题。例如,教师在讲授几何概型时,可以举例生活中常见的约会事件:“小刚与小丽约定上午10点到12点在图书馆见面,先到的一个人等待20分钟以后离开,两个人约定了在2个小时之内的任何时间点到达图书馆都可以,那么这两个人不能见面、能够见面的概率分别是多少?”展示问题后,老师要求学生依据题目建构数学模型:画出x轴与y轴,找出样本空间,找出不能见面、能够见面的区域,利用几何概型的知识去解决问题。这既能让学生掌握知识,又和生活实际相联系。又如,讲授条件概率时,可联系生活实际:在新冠流行时,刚开始一人一管进行核酸检测,后来为什么改成分组检测,十人一组混合检测,如果有问题再一个一个检测,这样做有什么好处,应该多少人一组最能节约成本?这些既能让同学学到知识又不至于显得课堂死板无聊的题目,就可以放在随机事件和古典概型时讲解,在活跃课堂气氛的同时又让学生养成了思考问题的习惯[4]。

3.3 依托各种计算机软件培育学生的数学建模能力

九年义务数学教育强调培育学生的手工计算能力,这种思想一直延续到高等数学教育。但现实世界飞速发展,社会生产生活日益复杂,海量数据不断涌现导致手工计算无法应对,而计算机计算教育相对缺少,致使学生运用计算机辅助计算意识与能力相对不足。为了有效地破解这一现实问题,教师需在概率论与数理统计课程知识讲授中引入计算机辅助计算工具软件(如SAS、BMDP、SPASS、Stata、R等),依托软件辅助学生完成复杂的计算问题。教师可根据学生的不同专业与课时安排,设置概率统计实验课,合理设置实验目标、内容、方法,采用合适的统计软件,引导学生依托辅助软件进行数据采集、计算和分析,培育学生利用计算机辅助软件建模的能力,更好地解决实际问题,提升自身的综合能力。

3.4 发挥课后作业的作用,引导学生积极建模

课后作业是对课堂所学知识的检验,是课堂教学知识的巩固与拓展。教师要以作业为抓手,引导学生回忆、强化所学知识,查漏补缺。学生要“课后参与到实践操作的活动中,真正意义上地发挥数学建模思想在学生学习全过程的积极作用”[5]。

1)做好课后作业并及时拓展。教师要求学生必须完成课后的常规练习,可以相互核对正误,及时纠错。同时,可以要求学生依据课后作业的相关知识,自己设计一些生活化、趣味性强的概率论与数理统计问题。例如,随着节日到来,超市为了促销,开展有奖促销活动,问问自己几个问题:①如一个顾客奖券较多,连续抽奖,那么连续中奖的概率怎样?②中奖金额和中奖顺序有关吗?③如一等奖还没被抽中,那么你接着抽奖,获一等奖概率如何?

2)引导学生开展课外实践,联系实际建模。例如:六面体骰子与均匀硬币的投掷可以使学生在真实场景中感受概率与频率;查找汇总出版物上的错字别字,检验其是否与泊松分布相一致;考察双色球每次开奖出现的数字是否存在随机性;等等。教师可以组织学生开展社会实践,例如,节假日师生可以为小吃商贩设计一个出摊计划,内容可以包括:什么时间哪类小吃最易售出?什么时候是售货的顶峰?什么时候顾客稀少,需要及时打折处理剩余食品以降低损失?社会实践结束后,教师可以要求学生写一份相关的社会调查报告,详尽描述如何通过构建数学模型来解决实际问题。学生通过课后生活案例进行建模,不但回忆与巩固了课堂所学知识,也提升了动手能力,对所学知识有了更深的理解,数学建模能力有了进一步提升。

3.5 改革考核方式,注重知识与能力的结合,提升学生的综合素质

建模思想与教学方式的有效结合,能够使学生知识学习与能力提升相向而行,学生考核方式及考核内容也必然随之调整,以期“培养学生思维的灵活性与创造性”[6]。教师可以以培育能力为目标,设置科学化、多样化的评价体系。原有的考核方式单独依赖期末笔试,改革后考核方式以数学应用能力为目标,应包括三方面的内容:随课学习时的成绩、参加社会实践成绩与期末笔试成绩。例如,以100分为满分制,随课学习时的成绩占20分,包括课堂发言、小组合作分析解决课堂知识的效果、案例建模、课后作业质量等。社会实践成绩占30分,主要考察学生利用概率论与数理统计课程知识建模解决实际问题的能力。例如,教师布置一些紧密联系生产生活实际的可以数学建模的题目,也可以学生自己查找资料,自己设计问题,并且运用概率论与数理统计知识建立数学模型,期末完成一篇小论文。在论文中,学生可以详尽阐释自己建模的思想、建模过程、建模收获等等。期末笔试成绩占50分,主要测试基础知识与理论的掌握情况。这些灵活的考核方式可以对学生知识掌握程度进行合理、科学的评估,也可以考查学生知识的运用能力,是一种综合能力的考核,更能全面检验数学建模思想引入概率论与数理统计课程的教学效果,进一步优化教学方式,推进学生知识与能力同时获取,提升学生的综合素质。

4 结语

虽然大学概率论与数理统计课程复杂抽象,但如果教师能在教学中引入数学建模思想,从课前准备、课中进行、课后练习巩固,以及期末课程评价中有机灵活地引入使用,就可以把抽象的知识形象化,使学生更容易理解,提升学习概率论与数理统计的兴趣,实现学以致用。这不但提高了学生的学习水平,优化了教学效果,教师也会以教促学,受益匪浅。总之,通过融入数学建模思想,有效地优化概率论与数理统计的教学,不仅是有实效的,而且是值得持续研究的课题。