无理数是蛮不讲理的吗？

李丁一

今天，老师带领我们结识了一位新朋友——无理数。从名字来看，它好像有点蛮不讲理，为什么这么说呢？

教材上说有理数是能写成分数形式的数，无理数应属于不能写成分数形式的数。但不能写成分数形式，为什么等价于无限不循环小数呢？我想不通，决定换个方向思考。

按照无理数是无限不循环小数，有理数应属无限循环小数类别。这能行吗？有理数分为整数和分数，其中有一类分数能写成有限小数，还有一类分数能写成无限循环小数。整数和有限小数怎么转化成无限循环小数？我一不做二不休，继续探索。

整数和有限小数相对无限循环小数来说，最大的不同是它们是有限个数位。如能找到一种方式将有限转化成无限，不就解决问题了？我决定先尝试把整数化成无限循环小数。在我苦思冥想不得其解的时候，老师点拨了我：“会不会有些无限循环小数可以化成整数呢？”我抓耳挠腮，盯着草稿纸上的[1/3]=0.3，若有所思：等式两边都乘3，左边变成1，右边变成0.9，也就是1=0.9。我发现了“新大陆”，每一个整数都可以写成无限循环小数，比如12=11.9。同理，对于有限小数，也很容易化为无限循环小数，比如0.618=0.6179。

也就是说，有理数和无理数的分类依据可以是无限循环和无限不循环小数。我赶紧告诉了老师，老师狠狠地夸赞了我，并告诉我，这是一种极限思想，是微积分的基础。我的心里乐开了花！

教師点评

历史上对有理数和无理数的界定方式有很多，比如分割说、序列说等。弗赖登塔尔曾这样描述数学的表达形式：没有一种数学思想，以它被发现时的样子发表出来。小作者从疑惑开始，结合教材，对有理数和无理数的分类进行了深入思考，仿佛回到数学结论出来之前的火热思考阶段，非常值得肯定，也建议同学们养成从根源思考的习惯。 （指导教师：李珺）