逆向思维在初中数学解题中的应用

姜倩梅

摘要：在初中数学教学中，逆向思维作为初中数学核心素养之一，是一种重要的解题思维，它可以引导学生从不同的角度思考问题，寻找复杂问题的关键点和解题的突破口.因此，教师可以借助相关类型的数学问题，引导学生学习并掌握逆向分析、反向推理的解题技巧，培养学生的创造力，提高学生的思维水平，让学生能够深入理解复杂的数学概念，提升学生的解题能力.

关键词：初中数学；逆向思维；应用；解题策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）32-0035-03

基于逆向思维的数学解题方式，需要学生能够学会从问题的结果出发，通过尝试置换问题的条件和结果进行思考，通过逻辑推理和反向证明的形式解答复杂的数学问题.对此，学科教师应适时引入逆向思维的数学概念，并进行相关类型问题的实践分析，在激发学生数学学习兴趣的基础上，培养学生的数学解题思维，提升学生的数学核心素养，为学生的发展奠定坚实的能力基础.

1 置换推演，分析解题思路

在数学知识体系中，数学概念的延伸与推演往往是双向的，部分数学推理性问题的设计也同样如此.学科教师可以进行侧面引导，学生在传统的正向思考受阻的情况下，鼓励学生尝试将条件与结果的推演顺序置换，深入理解不同类型数学问题的概念本质，促进学生形成双向思考的解题思维习惯.

在初中数学学习中，经常出现平面直角坐标系与图形几何相结合的数学问题，如果按照正向顺序求解，其过程可能极为复杂，教师应及时引入反向推理的逆向思维方法，分析这类问题的解题思路.

例1在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3， 4），点B的坐标为（9， 10），当△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标满足的条件.

在传统正向思维的影响下，学生可能会尝试计算等腰三角形的两边边长和角度，然后求点C的坐标满足的条件.但是当学生进行计算时，会发现其计算量极其庞大，求解过程非常复杂.为根据等腰三角形的性质列方程求解，需确定等腰三角形的底边和腰，这更是让该数学问题的求解趋于轨迹范畴，情况更趋向多元化.所以数学教师应及时引入逆向思维模型，将数学问题的条件与结果进行置换，辅助学生推演分析解题思路：首先观察到△ABC是等腰三角形，所以应利用等腰三角形的性质解决问题，而本题中对△ABC的等腰三角形属性的界定较为模糊，不能够确定底边和腰具体是哪条边，所以需要基于底边，进行分类讨论和逆向推理，通过将C的坐标（x， y）与等腰三角形条件进行置换，进行逆向推理.在解决本题的过程中，学生需要根据等腰三角形性质，分为三种情况求解.

第一種情况：当BC作为底边时，AB与AC应为腰，则AB=AC，所以学生首先可以计算AB的长度，AB=（9-3）2+（10-4）2=62+62=62.从而可知当AC=62时，△ABC即为等腰三角形，那么学生就能够根据点A和点C的坐标，建立方程求解，（x-3）2+（y-4）2=（62）2，学生在得到该答案时，也能够清晰地认识到，点C始终横在半径为62的圆上，其圆心的横坐标为3，纵坐标为4.

第二种情况：当AC为底边时，BA与BC应为腰，则BA=BC，学生类比第一种情况，AB=62，当BA=BC时，△ABC为等腰三角形，那么学生就能够根据点B和点C的坐标，建立方程（x-9）2+（y-10）2=（62）2，点C始终横在半径为62的圆上，其圆心的横坐标为9，纵坐标为10.

第三种情况：当AB为底边时，即作为一种特殊情况，学生不能得知AC和BC中其中任意一条的具体长度，那么学生则需要善用两点之间的距离公式，构建当AC=BC时的方程，即（x-3）2+（y-4）2=（x-9）2+（y-10）2，进一步展开整理得x+y=13，从而可知点C在横纵截距都为13的直线上.

由此可以看出，通过逆向思维解题思路的引入与分析，将条件与结果进行置换，能使学生准确把握不同情况下的解题思路.因此，逆向思维能够使学生的数学解题思路清晰完整，培养学生双向思考的数学解题思维习惯，有助于学生更好地理解和把握数学概念与性质，全面提升学生的数学推理能力和问题解决能力.

2 思维转换，优化解题效率

在初中数学解题过程中，思维模式的转化是提高解题效率的关键.逆向思维的实践应用可以帮助学生转换解题方向，提高解题效率.对此，数学教师应引入逆向思维，减少解题过程中的繁琐计算，优化解题步骤，实现解题效率的显著提升.

在初中数学问题解答中，大多数问题都涉及数学公式，常常需要通过代入数值进行计算求解.这种顺向思维的方式可能会导致计算量较大，耗费时间较多，而通过逆向思维，转化解题的思维方式，从而减少计算量，提高解题效率[1].

例2某家服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元的价格售出，那么在一个月内，能够售出300件，但是根据过去积累的销售经验，当出售价格每提升1元，当月T恤的销售量则会减少10件，设T恤的出售价格涨价x元，现服装店要求该种T恤当月的利润总额达到3 360元，并尽可能减少库存，则x的值应为多少？售价为多少时，利润最大？

学生在解决该应用题的第一问时，可以得到x与y之间的函数关系式，即y=（300-10x）（x+40-30）=-10x2+200x+3 000，再将y=3 360代入到关系式之中，得到-10x2+200x-360=0，最终化简为x2-20x+36=0.在常规思维下，学生根据教学内容，往往会使用公式法进行计算，而公式法的步骤较为繁琐，还需要在Δ=b2-4ac≥0的前置条件下进行，学生极有可能忽略这些步骤，造成不必要的失分.针对本题，学生应尝试转变思维模式，利用十字相乘法进行因式分解，得到x2-20x+36=（x-2）（x-18）=0，从而直接得出x=2和x=18两个答案.为了尽快减少库存，x=18不符合题意，舍去，故x=2.在第二个问题的解答中，学生也能够意识到需利用函数最值公式x=-b2a和y=4ac-b24a进行求解，但是将数据代入时，学生会发现y=4×（-10）×3 000-20024×（-10），其计算量非常较大，很容易出现计算失误，所以学生更需要利用逆向思维，简化复杂的计算过程，将分子以乘法分配律的形式进行转化，调整为200×（-600-200），极大程度简化了计算过程，全面提高解题效率.

由此可见，逆向思维能够显著提高解题效率.通过转换思维模式，减少繁琐计算，优化解题过程，帮助学生更好地理解问题，找到更简便、更直接的问题解决方法，以促进解题速度和正确率同步提升.

3 逻辑构建，探明解题本质

逆向思维是解决问题的重要思维方式，而逻辑分析作为逆向思维的主轴，是探明数学问题本质的基本方法.对此，数学教师需通过培养学生的逆向思维，帮助学生探明数学问题的本质，培养学生的逻辑思维能力和分析问题能力，提高学生的解题能力和创造力，促使学生深入思考问题，掌握数学问题的解题策略.在进行抽象概念的证明时，可运用逆向思维分析问题.

例3证明：2为无理数.

对于初中生来说，无理数的概念可能过于复杂和难以理解，学生很难通过正向思维来完成证明.为此，数学教师需要帮助学生整理问题的逻辑链条，尝试使用反证法进行证明.假设2是有理数[2]，那么根据有理数的性质，任何有理数都可以表示为分数的形式，将2可以表示为mn，其中m、n是不为零的整数，并且m、n互质，根据假设，学生即可通过等式两边同时平方，得到（mn）2=（2）2=2的关系式，由此可得m2=2n2，由于m2是偶数，学生可以将m表示为2k，其中k为整数，那么m2=4k2=2n2，最终可以得到n2=2k2，这意味着n也是偶数，然而事实上，m和n本质上已经是互质关系，这与一开始的假设互相矛盾.因此，学生可以依托于逻辑链进行反向证明，得出2不是有理数，而是无理数.

通过反证法，学生可以更为清晰地把握证明的思维逻辑，帮助学生理解抽象概念的证明过程，并培养学生的逆向思维逻辑和探究问题本质的能力.

可见，通过逆向思维和逻辑分析，数学教师可以帮助学生理解复杂的数学概念，解决更为抽象的问题，并掌握解题的关键思路.这种方法不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的创造力和深入思考问题的能力，使学生的数学思维更加灵活和清晰.

4 反向檢验，验证解题答案

逆向思维在初中数学解题中的应用，不仅仅停留于问题的解答，同样也适用于答案的检验.通过逆向思维，学生依托于计算结果，通过推理和分析，验证解题答案的正确性，培养学生的逻辑推理能力，提高解题的正确率和准确性.

在初中数学试题的设计与设置中，方程求解、不等式求解和因式分解求解是代数部分的重点内容，这一系列题型的设计是为了检验学生的计算能力和基础知识水平，所以该部分数学问题的答案具有初中数学的特殊性，其求解过程即便需要应用多种数学解题方法，但最终得到的答案更偏向基础[3].

例4解一元二次方程2x2+5x-3=0.

当学生进行正确解答时，最终所得到的答案应为x1=-3和x2=0.5.但是当学生未能完全掌握逆向思维的解题方法，不使用十字相乘法，而继续使用公式法求解时，往往会在公式的使用上出现纰漏，造成不必要的错误.所以，学生在解决此类题型时，可以借助逆向思维进行反向检验，验证所得到答案的正确性.借助逆向思维，学生可以将x的值代入原方程，然后计算等式是否成立.将x=-3代入方程左边，得到2×（-3）2+5×（-3）-3=18-15-3=0，与原方程左边等于右边的条件一致.将x2=0.5代入方程，同样进行计算，最终得到2×0.52+5×0.5-3=0.5+2.5-3=0，与原方程左边等于右边的条件一致，所以通过逆向思维验证，学生得出的解答x1=-3和x2=0.5是方程的解.

由此可以看出，逆向思维在初中数学解题中的应用，不仅可用于较为复杂问题的解答，也可用于答案的检验.在初中数学教学中，教师需有意识地培养学生的逆向思维能力，在学生学会逆向求解和反向检验的同时，夯实自身的数学基础，从而提升学生的数学核心素养.

总之，逆向思维的培养对学生数学能力水平的提升具有长远的价值和意义.在初中数学教学中，数学教师可通过设计逆向思维教学活动，引导学生尝试置换问题的条件和结果，深入理解其中蕴含的数学思想，探求数学问题的本质，在培养学生的数学逻辑思维，提高整体解题效率的基础上，把握反向证明与逆向求解的技巧，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］ 刘奎.初中数学解题教学中逆向思维的应用研究[J].数学之友，2023（5）：53-55.

[2] 黄圣杰.逆向思维在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2023（13）：35-36.

[3] 汤久妹.基于学生经验的初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].数学学习与研究，2019（15）：104-105.

［责任编辑：李璟］