关系与数量:分数概念理解的不同视角

马红斐, 杨伊生

(内蒙古师范大学a.教育学院 b.心理学院, 内蒙古 呼和浩特 011517)

虽然数量关系是人类表征世界的维度,但数量概念的学习和掌握却不是一件容易的事.在种类繁多的数概念中,“分数”代表了有理数的一般形式,也是整数向实数转变的重要中介.现实生活中,不仅成人的分数表征能力明显弱于整数[1],小学生对分数的学习存在更大困难[2].在我国,分数教学从三年级开始,陆续进行到小学毕业,学生在分数学习中要经历比数量、运算更为复杂的思维问题.

纵观国内外已有的分数教学与认知研究,存在“关系”与“数量”两个主体视角.关系概念关注学生对分数所反映的不同关系含义的掌握,以及围绕这些含义分数概念结构的建构方式和途径;数量概念的教学则侧重于学生对分数数量大小的精确理解.从教学研究状况看,分数关系表征的教学研究和实践开始较早,涉及的内容也十分广泛,国内的教材及教学中有着充分的体现;而数量概念的教学研究相对较少,认知领域的前沿研究成果主要源自国外.

1 分数关系概念的教学

分数“关系表征”的教学研究由来已久,最为全面的是Kieren等[3]立足有理数域进行的大量分析.他们认为有理数包含了部分/整体、比及比率、除商、测量和算子五个子成分.这些成分的共性在于用分数反映两个量之间的关系,差异在于每种子成分所产生的运算操作不同,但总体上五种子成分共同构成了有理数完整的功能.相比其他数概念,分数多重含义的特性极大地增加了学习的难度.因为儿童对分数不同意义的理解不仅显示其对分数或有理数概念的抽象能力,还涉及乘除法等运算,甚至有研究表明分数可以对乘法应用题学习起到预测作用[4].

1.1 部分/整体子概念是分数认知的基础

分数的产生及特性源于其“分”的操作.国内多个版本的小学数学教材都用“整体平均分成若干部分,部分占整体的几分之几”来解释分数.这种“分—取”操作定义使得分数最大限度地吸纳了自然数的概念,学生可基于原有整数加减法的知识理解和掌握分数的符号规则.正如皮亚杰认为图形和实物的分割操作包含了部分与整体的关系、部分之间的关系、份数与每份量的关系等多个认知要素.此外,部分/整体概念还承担着帮助学生建立部分与整体同构性的任务.比如理解 1/2与2/4相等时,一个正方形从原来的二等分变成了四等分,均分后的整体块数和拿取块数虽然都扩大,但因其是同步进行的,所以扩大的部分被“抵消”,最终实际量没有变化.由此可见,部分/整体同构的心理单元直接为等值分数的理解奠定了经验基础.

虽然部分/整体概念的认知难度较小,但也存在对“整体”的固化理解问题.具体而言,学生对整体的抽象经常受事物的数量或图形形状的干扰,而缺乏灵活可变性.其原因可能是多个离散的事物在视觉上不易被感知为整体,从而错误地读取其数量信息[5],也可能与数学教师经常向学生强调单位“1”或单位量有关[6].尤其单位1的过分强调容易引发“整体恒大于部分,分子小于分母”的认知定势.因此,在这部分的教学中建立部分/整体概念和克服“分数一定小于1”应当同步进行.

1.2 分数比的子概念

分数的“比”概念是对量概念的抽象,因为它突出了分数代表两个其他量的比较关系,而不是将其当作一个绝对的数值来思考.当分数作为比概念理解时存在两种情况:其一是被比较的两个量属于同类量,所形成的分数无量纲,只是一个比较指标;其二,被比较的两个量分属于不同的种类,也即有不同的单位,此时获得的分数是有单位的,而且这个单位是一个新的复合单位,即新的量纲,如速度、密度等.显然,两种情况中分数作为比概念理解的难度是不同的.分数作为无量纲的“比”和“率”更容易被接受,因为它可以从最初部分/整体概念转化得来.而有量纲的比不仅需要关注数量关系,还需要理解不同单位能对应的原因.因此,研究者认为无量纲的比更贴近分数的比概念的内涵7-8].

抽象是数学认知的重要工具[9],对于分数无量纲的比概念,理解的最大障碍就是从实际数量中抽取出相对比的过程.儿童最初可能采用计数和匹配的策略去理解单一情境中离散量的比率(如女生人数是男生人数的1/2),之后逐步发展到能处理跨情景或连续量的分数比率问题.例如,国外在测试儿童图形类比推理能力时发现, 六七岁的儿童就能理解不同图形所表示的相同比例(例如,1/2圆和1/2矩形;1/4圆和1/4矩形)对应的关系[10].除此之外,等值分数也成为分数比概念学习的难点.等值分数建立在分子和分母之间的商不变的基础上,代表着大小相等的一组分数.换言之,每个分数都属于一个等价集,该等价集中又包含无限个分数.等值分数的理解中,一方面,学生难以从一系列变化的量中发现共同的不变关系;另一方面,他们无法将这种关系主动用到其他的数值中.对此,国外甚至专门建立了分数实验室(http://fractionslab.lkl.ac.uk/),为学生提供虚拟环境执行无法通过物理分割进行的分数操作.

1.3 分数的测量子概念

分数的测量定义也被认为是分数产生的原因之一.当以某个量为单位测定一个目标量时,往往会出现目标量不是单位量整倍数的情况,此时用分数来表示结果就是分数的测量含义.测量子概念强调了每一个分数都是其分数单位累积的结果,而且,这种累加的性质也使得分数与自然数、整数的构成保持了一致.但实际学习中,学生往往不会将测量含义作为分数概念表征的首选.其原因主要有两方面:首先,与整数以1为单位的确定性不同,分数单位总是随着分数的不同而变化.这就如同我们在测量长度时,被要求不断更换厘米、市尺、米等不同刻度的尺子,单位的变更就足以造成混乱.其次,相比于最早学习的部分/整体概念,测量子概念较为复杂.因此当两个概念都可以用来解释分数时,学生倾向于用部分/整体的概念理解分数,而非测量概念.具体而言,尽管测量与部分/整体概念都体现了一种包含的关系,但部分/整体概念立足整体单位“1”,衡量整体之下包含的部分,而测量概念需要从给定的单位出发,“迫使”这个单位包含于被测的对象中.当给定的单位小于被测的对象时,学生要将其看成单位分数;而当给定的单位大于所测对象时,即使得到了分数结果,但“部分大于整体”接受起来仍有困难.例如,将8作为单位,去度量2时,得到了1/4.而在学生看来,这似乎与“把单位1平均分成4份,取其中1份”的概念是矛盾的.

1.4 分数商的子概念

整数除法和分数在逻辑上等价.当把分数a/b看作商时,它表示a、b之间的除法运算关系及其结果.商的运算要求学生较好地实现由“过程”向“对象”的重要转变,后者就是所谓的“凝聚”[11].除法在现实生活中有两种含义:一种是“包含除”,即总体确定后,根据一份的量计算出份数,也可以将其视为测量或重复相减;另一种是“等分除”,根据份数计算出每份的量,也就是学生最熟悉的平均分.分数的出现彻底打破了整除的局限性,学生不再需要考虑余数的问题,甚至可以成为小数认知的基础.它还有利于澄清“两个整数之间没有数字”的误解.然而教学也面临着学生无法接受分数作为除法运算结果的尴尬.学生常常认为分数是“没算完”,一直要将分数化为小数为止.只有当学生积累了大量分割经验后,可以不通过画图等方式能直接回答出每份的量,以及每份量与整体的相对大小时,他们便真正理解分数商的概念.

1.5 分数算子的子概念

算子实则是映射,反映了两个量关系的转换方式,如把一个集合转化为有a/b倍元素的另一个集合,这里的a/b就是转换法则.分数的算子理解与前述部分/整体和除商概念都不相同,它凸显了对关系本身的抽取及一个数量与算子结合产生新量的计算过程.Carraher[12]认为影响难度的不仅仅是分数的多少,还有分数在文字应用题中的作用.将分数理解为算子可以增强对分数乘法的理解,特别是对“整体中部分的再分割”的解释,例如,求1/2的3/4.一定程度上,分数算子概念的掌握也可以看成是比例推理的过程.在小学数学学习中,分数更多出现在计算的情境下,这也使得分数成为一个不能独立存在的概念,即每当学生看到分数,就会产生将其与一个参照数相乘的计算倾向.例如,实际教学中有学生认为“1/2元”是一个错误的说法,因为分数后面不可以有量词.

综上所述,分数的关系概念从平行的视角揭示了分数概念理解的独特性与差异性,同时也说明分数教学的一项重要任务就是使学生在区分不同概念的基础上,实现概念之间的联系与转换.

2 分数的数量概念理解

学生在小学阶段学习的数概念包括整数、分数和小数三类.在数的大小比较和四则运算中,相比整数和小数,学生的分数数感最为薄弱.例如,学生在分数运算中倾向于将最终的计算结果化为小数.学生之所以不愿将分数视为独立的量,主要是因为分数在数量表征上的特殊性.首先,分数有着与自然数不同的符号书写规则;其次,分数因为没有唯一的后继者而不能形成有规律的排序;第三,任意两个分数间都有无穷多个数,不存在最大和最小的分数;最后,分数的四则运算规则也与整数不同.分数在数学上和经验上的特性也引发人们对“分数和整数是否有同样的理解方式”的思考.在此基础上,国外的研究人员主要利用认知心理学中“数字距离效应”(差值大的数字比较更快)和“空间数字联合反应编码效应”(左手对大数字反应更迅速)进行实验,具体分析人们如何理解分数数量.

2.1 用分子或分母确定简单分数的大小

博纳特邀请大学生完成3组分数大小比较任务:(1)分母为2—9的8个单位分数分别与1/5、0.2比较;(2)分子分别为1到9、分母分别为4到6相互组合的分数与1进行比较;(3)x/5和1/x类型的分数(x为1—9)与1/5或1比较.实验结果首先揭示了反向的“空间数字联合反应编码效应”的存在.这说明学生在单位分数比较中,只比较了分母,而不是分数值.其次,虽然小数0.2作为标准激发了学生对分数数量的感知,但学生还是将0.2化成1/5后比较分母;最后,学生对1/x与1/5的比较反应慢于x/5与1的比较,说明学生可能把时间花在“分母越小,分数反而越大”的转换上.国外许多以大学生为对象的实验说明,成人对分数数量的感知与提取达不到自然和准确,他们的优势在于可以灵活使用策略规避对分数整体值的判断.此外,国内的研究也指出,六年级学生都采用成分加工模式(仅比较分子或分母)而非整体加工模式(比较分数值)[13].同样,在日常教学中,观察分子和分母、通分等都是分数比较的重要方式.

2.2 整体比较复杂分数的大小

对于那些拥有相同分子或相同分母的简单分数,学生多采用比较分母或分子的办法.而对于没有共同成分或者分子分母的数值都比较大的复杂分数,上述策略便会受限,于是分数的整体数值就不得不被读取.美国学者在实验中让大学生分别将一位数分数(如2/9)和两位数分数(如26/89)与3/5进行比较.结果发现,分数间的差值越小,比较所耗费的时间越长,而分数分子、分母的大小并没有影响比较判断的时间.因此,他们提出当单纯比较分子或分母的简单方法不能产生准确的结果时,成人可以通过直接估计分数值的方法比较分数大小.

此后该研究团队对6—8年级(11—13岁)学生进行实验[14].学生分别在0—1和0—5的数轴上通过拖拽鼠标估计:1/19、1/7、12/13等10个分数.结果发现这些学生的判断非常不准确.而且这种数量认识的不准确还会直接影响学生对分数四则运算结果的判断.而由Meert等[15]完成的10岁和12岁儿童比较同分子或同分母分数的实验指出,即使拥有共同的成分,儿童也能通过整个分数值进行大小比较.但在反应时方面,拥有同分子的分数比较比拥有同分母分数的反应时长.这说明分母大小对较大分数的判断仍有干扰作用.

上述研究争议说明无论是成人还是儿童,人们对分数的数量理解都存在困难.相比而言,通过分子或分母进行的成分比较更加自如、快捷,而整体感知分数数值则可能占用更多思考时间.前者可以解读为学生的整数学习经验的迁移,但后者也启发我们应深入探究学生分数数感建立的掣肘.

3 分数教学与认知中关系概念与数量概念的整合

分数多样的关系概念和抽象的数量概念共同促成了分数学习的特殊性.关系概念反映了分数的动态形成过程,数量概念强调了分数作为数字所传达的数值信息.相对于关系概念,分数数量概念的学习直接挑战了儿童最初形成、也最为根深蒂固的数字计数经验.学生对数量意义的理解不再是直接读取其绝对量的大小,还会从量与量的相对关系的视角加以理解.因此,分数概念的教学不但应兼顾两种概念,而且应实现两种概念的整合.具体而言,分数数量概念和关系概念具有共生性:数量概念的生成对关系概念具有依赖性,关系概念可以成为数量概念理解的基础.这是因为关系概念呈现了分数多样化的存在形式,虽然复杂但却为数量概念的抽象提供了认知素材和操作过程.例如,在学习分数之前,学生对于两个量的比较只有一种方法——相减求差.但在学习分数的比概念之后,学生可以用除法的方式实现两个量的比较,而且这种方法不仅动态呈现了分数的由来,也可以反映整数与分数的联系.因此,分数教学的重点应当是挖掘分数关系与数量的同构性,打通分数与整数和小数的联系,从而帮助学生构建完整的数概念体系.其具体操作可从教学内容和教学方法两方面入手.

其一,重构教材及教学内容,实现分数概念的多元渗透与相互交融.目前国内不同版本的小学数学教材多按照分数的初步认识、分数的意义、百分数、比例的顺序编排内容,着重体现概念由浅入深、由一般到特殊的认识路径.这样的编排方式固然符合认知规律,但对于一些较为具体的概念内容则不易精准呈现.例如,三年级所学的分数初步认识主要介绍了部分/整体的分取含义,由于它是分数的初始概念,再加上内容的直观性,学生对概念的理解十分深刻,甚至当遇到其他无法理解的分数概念时,他们会将其还原为部分/整体概念,而且,问题的难度越大,这种还原倾向就愈加明显.这说明仅靠一种关系概念来理解分数是不够的,每个子概念的独特属性和关系之间的连接点及转换方式也都应成为教学的着力点.因此,分数的教材编写和教学内容设计可以适当借鉴五种子概念的分类方法,帮助学生建立更加精细的分数概念体系.

此外,相比国外研究对分数数量概念的重视,我国的教材及教学中分数数量概念多以四则运算来体现.虽然不能否定计算在促进数量大小理解中的重要性,但是分数运算的特殊性却极易引发学生“仅关注计算程序,而忽略数值”的问题.例如,“整数偏向”常常是制约分数比较和计算的瓶颈,典型的错误包括:1/3+1/2=2/5;认为带分数2又1/2中2与1/2是相乘的关系;坚信分数乘除法也遵循“越乘越大,越除越小”的规律……表面上,这些计算问题是对整数运算规则的不当迁移,但根本上却反映了学生缺乏对分数单位、相对性、稠密性和无限性等内容的深入理解.因此,除了常规的算式计算,教材和教学还应更多地运用数轴等直观工具强化学生对数量的感知.

其二,关注学生分数学习中概念偏狭及孤立的问题,在分数概念内部以及数概念之间建立整体联系.虽然分数概念研究呈现了关系和数量两种不同的理解视角,但也揭示了学生理解每种概念的困难以及两种概念整合的欠缺.比如实际教学中,分数的“量率对应”常常成为难点[16],而其实质是学生对分数算子概念的固化理解.由于算子概念凸显了分数作为数量变化“调节器”的作用,加之教学中的计算练习使得学生将注意集中于分数的比率含义,而忽视了“率”导致的“量变”.与此问题类似,分数的测量概念也是学生理解的薄弱环节.当面对在数轴上标注分数的情景时,学生往往因忽略数轴的数值范围,而无法确认分数的精确位置.其主要原因在于学生受分数部分/整体的分割经验及算子概念的影响,倾向于先将整个数轴看作一个整体,之后再按照比率去分割.然而,测量概念的核心在于分数作为单纯的数字,与其他数字比较会产生数量大小的差异.由此可见,分数测量概念不但与其他关系概念有较大差异,而且也具备帮助学生理解分数数量概念的优势.

不仅如此,放眼数概念的整体结构,分数的关系概念也在一定程度上造成了分数与整数和小数的差异.计数单位是联通数概念的基础.整数以1做单位,小数以0.1、0.01等为单位.相对于这些稳定的单位,分数则要依托变化的分数单位,即每个分数的大小是其自身分数单位累积的结果.显然,单位累积的视角有利于分数融入整数和小数的数概念系统,而整体中的若干部分的关系概念理解则会让三者的联系产生困难.尽管如此,现实状况是分数关系概念的理解更多地迁移了学生原有的整数经验,从而使学生对其产生依赖,难以主动构建分数的数量概念.因此,分数数量概念可以首先由部分/整体概念建立分数单位,之后再强化分数是分数单位累积的认识.换言之,这里分数单位的理解是分数关系概念向数量概念转化的缩影.若从数感抽象与量感的视角看[17],分数是对多样化数量关系二次抽象的产物,而这种多样化数量中也包括了整数和小数.总体上,进一步挖掘关系概念在分数概念乃至数概念理解中的作用显得必要而迫切.