关于各向异性范数下径向引理的推广

单威威，李晓萌①

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

径向引理在偏微分方程解存在性和正则性、Trudinger-Moser 型不等式极值函数的存在性［1-6］等问题中有重要作用。它体现径向函数的正则性和衰减性之间存在相互作用。

1997年，Strauss［7］证明关于径向型函数的最早结果：

设H1( Rn)是通常的Sobolev 空间n≥2，f∈H1( Rn)为径向函数，若f～f͂a.e 成立，且f在x≠0 处连续，那么存在仅依赖于n的正常数C，使得，其中

1982年，Lions［8］将上述结果扩展到W1,p( Rn)空间中。在此之后，结合Schwarz重排理论［9-10］，通过文献［9，11］，对于径向递减函数有如下结果：

设u*∈Lp( Rn)是一个非负递减径向对称函数，∀x∈Rn{0 } ，那么，其中wn-1是n维单位球体的表面积。这一结果常用于无界区域上径向对称函数的估计，解决Trudinger-Moser型不等式极值函数存在性问题。

近来，随着Finsler-Laplacian 方程以及Finsler-Liouville 方程研究的深入，各向异性Trudinger-Moser不等式［12］进入大家的视野，径向引理也得到广泛的应用。关于径向引理，一个自然的问题是：在Sobolev空间W1,n( Rn)中各向异性范数下，如何对径向函数做出估计？文章在实分析、凸重排理论［13］的基础上，结合相关不等式推广各向异性范数下的径向引理，对W1,n( )Rn空间中的径向函数做出估计。

1 基础知识

2 主要内容

通过构造出相关不等式的使用条件，证明径向引理不等式。

定理1 设W1,n( Rn)是通常的Sobolev空间，u∈W1,n( Rn)，u关于Fo(x)的凸对称记为u#，那么

其中Cn表示仅依赖于n的常数。

证明 通过各向异性Sobolev范数的定义，有

及

根据函数F的性质：，那么

故

由于u*∈Ln( Rn)，则存在sk→∞时，u*(sk)n→0，那么

由式（4）通过变量变换，令t=κnrn，得

通过计算得

将式（3）和式（6）带入式（5），得

那么

当sk→∞时，u*(sk)→0，故|u*(sk)n|→0，再对式（7）使用Young不等式，那么

3 结语

径向引理是偏微分方程的研究中必不可少的工具之一。用各向异性Sobolev 范数代替通常Sobolev范数，给出W1,n( Rn)空间上径向对称函数u的径向引理表达式，这一结果将解决径向函数在各向异性范数下的相关估计问题。后续将通过此径向引理继续研究Trudinger-Moser型不等式极值函数存在性和极值函数列紧性问题。