弹性套圈壁厚对保持架动态稳定性和轴承振动的影响

赵闯,杨思雨,吴敏,汪舟

(武汉理工大学 现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉 430070)

角接触球轴承是高速机床的基本支承结构,在工程实际中,轴承套圈的弹性变形会改变轴承系统的内部载荷,进而导致机床动态性能下降,同时保持架是易出现问题的轴承零件之一,保持架转动会显著影响球轴承的动态行为。因此,有必要建立一个考虑套圈弹性变形和保持架涡动的球轴承动力学模型来研究轴承各零件的动态行为。

早期,文献[1]提出沟道控制理论,建立球轴承的数学模型;在此基础上,文献[2]提出了经典的数学模型,包括静力学、拟静力学和拟动力学模型;后来,文献[3]又考虑球、沟道和润滑介质之间的相互作用,建立了分析球打滑和运动的动力学模型:这些模型被广泛用于研究轴承内部载荷分布、疲劳寿命等动态性能。

文献[4]采用控制轴承零件相互作用的微分方程研究球的运动和滑动特性;文献[5]通过使用接触刚度和阻尼的等效参数建立五自由度轴承的动力学模型分析球的动态行为;文献[6]考虑滚道波纹度建立了一个时变摩擦计算模型,并分析了波纹度振幅、轴速、径向力和波纹度顺序对时变摩擦力的影响;文献[7]考虑球与保持架兜孔之间的法向力、切向力以及球与沟道之间的牵引力和力矩等,分析了自润滑轴承保持架的稳定性和打滑特性:上述研究未考虑保持架涡动,难以精确获得轴承系统的动态行为。

目前,文献[8]在保持架动力学分析中引入了球与保持架兜孔的相互作用以及保持架与引导面之间的相互作用;在此基础上,文献[9-11]分析了工况条件、装配误差和热相关间隙(热膨胀引起轴承的相关间隙变化)对球、保持架和套圈之间相互作用的影响;此外,文献[12-13]建立了考虑弹性流体润滑和保持架涡动的球轴承非线性动力学模型,研究保持架的结构尺寸和材料对轴承动态行为的影响以及保持架涡动、球滑动和轴承套圈振动之间的相互作用机制。然而,这些非线性动力学模型均基于轴承套圈刚性假设,事实上套圈也会产生不均匀的径向变形,进而影响球轴承的动态行为。

文献[14]建立了考虑滚子、套圈和保持架柔性的数学模型,并进行了深入的振动分析;文献[15]提出了一种拟动力学模型研究轴承套圈变形对薄壁滚子轴承动态行为的影响。这些数学模型中考虑了外圈柔性,但忽略了保持架涡动、球滑动和套圈振动之间的相互作用。

因此,本文建立一个考虑套圈弹性变形和保持架涡动的非线性动力学模型,通过试验验证其有效性,并分析套圈壁厚对球轴承动态行为的影响。

1 角接触球轴承非线性动力学模型

在球轴承的设计阶段,精确模拟球轴承的动态行为以获得最佳动态性能至关重要。文献[16]将球、保持架、套圈的动力学模型以及弹流润滑模型整合到轴承非线性动力学模型中。基于此,本文以弹性套圈代替刚性套圈。

1.1 弹性套圈的变形

在高转速下,内圈受离心力作用而膨胀,变形量为[16]

(1)

式中:ρi,Ei,νi分别为内圈材料的密度、弹性模量和泊松比;ωi为内圈角速度;d,D分别为轴承内、外径。

外圈与轴承座之间为间隙配合,球的载荷和轴承座支承反力引起的弯矩使外圈产生非均匀变形,如图1所示。

(a) 外圈与轴承座间隙配合示意图

外圈和轴承座孔表面形状是连续的,外圈与轴承座孔之间的变形也是连续分布的,两表面存在一个接触区域,在外圈方位角φ处的接触干涉量u(φ)为[15]

u(φ)=(Rh-Re)cosφ/cosβ-(Rh-Re)(1-cosφ)+δte(φ);-β<φ<β,

(2)

Kg(φ,φ)=K0+K1cos(φ-φ)+K2cos2(φ-φ),

式中:Rh为轴承座孔半径;Re为外圈外径面半径;β为外圈与轴承座的接触半角;δte(φ)为外圈的径向弹性变形;Z为球数;ψj为第j个钢球的方位角;Qej为球与外圈的接触载荷;P(φ)为轴承座与外圈的接触压力;φ为外圈与轴承座接触区域内的位置角;K0,K1,K2为刚度系数[17];R为外圈的平均半径;Ee为外圈材料弹性模量;I为外圈材料弯曲模量;Гc为外圈壁厚;Kg(ψj,φ)为与方位角ψj处的作用力和方位角φ处的弹性变形有关的系数矩阵;Kg(φ,φ)为与方位角φ处的作用力和方位角φ处的弹性变形有关的系数矩阵。

接触干涉量u(φ)与接触压力P(φ)之间的关系为

(3)

式中:Ehe为等效弹性模量。

在钢球对外沟道的接触载荷和轴承座对外圈的接触压力的共同作用下,外圈的平衡方程为

(4)

利用上述方程可以计算出不同方位角φ处外圈的弹性变形量以及内圈的膨胀量,这些尺寸的变化必然显著改变引导面直径和内、外圈沟底直径,进而影响保持架的涡动和轴承各零件的动态力。为方便描述,建立如图2所示的4个坐标系:

图2 轴承系统的4个坐标系

1)以轴承中心O为原点建立全局坐标系Oxyz,在该坐标系中内圈绕y,z轴偏转,并沿x,y,z轴平移。

2)以钢球中心Ob为原点建立坐标系Obx′y′z′,球沿x轴旋转,在该坐标系中球分别以角速度ωx′,ωy′,ωz′绕x′,y′,z′轴旋转。

3)以保持架中心Oc为原点建立坐标系Ocxcyczc,保持架沿xc轴旋转并在ycOczc平面内平移。

4)以接触椭圆中心O″为原点建立坐标系O″x″y″z″,x″轴沿接触椭圆长半轴方向,y″轴沿接触椭圆短半轴方向,z″轴垂直于接触面。

假定最初保持架中心位于外圈中心,钢球中心位于保持架兜孔中心。

1.2 保持架与弹性引导面之间的相互作用

保持架与弹性引导面之间的相互作用如图3所示,外圈弹性变形会引起引导面变形,从而改变引导间隙,进而影响保持架的涡动,引导面变形后的引导间隙为

图3 保持架与弹性引导面之间的相互作用示意图

Cg(φ)=Cgy-0.5Dg+

(5)

保持架中心的偏移角为

(6)

式中:Δyc,Δzc为保持架中心的位移。

保持架的相对偏心率为

(7)

保持架稳定旋转时,保持架和弹性引导套圈在不同方位角的相互作用力近似于短滑动轴承流体动压力理论[18],保持架不会与引导面发生碰撞,冲击力为

(8)

式中:η0为标准大气压下的润滑油黏度;rg为引导面半径;ωe为外圈角速度;ωc为保持架角速度;B为引导面宽度。

保持架不稳定旋转时,采用赫兹线接触理论评估保持架与引导套圈之间的冲击力

(9)

式中:μ为保持架与引导面之间的摩擦因数;Lwe为滚子有效接触长度;νe为外圈材料的泊松比;νc为保持架材料的泊松比;Ec为保持架材料的弹性模量;δcy和δcz为保持架质心在y,z方向的位移;eH为恢复系数,取0.1。

将保持架坐标系Ocxcyczc下的力和力矩转换到全局坐标系Oxyz,则

(10)

1.3 弹性套圈对球平衡位置的影响

轴承工作时,内、外圈与球的相对位置关系如图4所示,套圈的弹性变形会明显影响球的平衡位置,从而改变球、保持架和套圈之间的相互作用。当套圈发生弹性变形时,内、外圈沟底直径变为

(a) 外圈的径向弹性变形

(11)

球组节圆直径变为

(12)

内、外圈沟曲率半径变为

(13)

则内、外圈沟曲率中心新的轴向、径向距离为

(14)

式中:Di,De分别为原内、外圈沟底直径;fi,fe分别为内、外圈沟曲率半径系数;δx,δy,δz分别为内圈沿x,y,z方向的位移;ϑy,ϑz分别为内圈绕y,z方向的偏转角。

根据勾股定理,新的球平衡位置(X1j,X2j)由下式求解

(15)

式中:δ为接触变形;α为接触角;下标i,e分别代表内、外圈。

1.4 保持架、钢球和内圈的平衡方程

基于上述分析,保持架的动力学微分方程为

(16)

式中:mc为保持架质量;Ic为保持架转动惯量;Fbc为保持架兜孔与钢球之间的碰撞力;Fτbc为保持架兜孔与钢球之间的摩擦力;Fm为保持架的不平衡质量引起的不平衡力;Mc为润滑油对保持架的阻力矩。

钢球的动力学微分方程为

(17)

式中:mb为钢球质量;Ib为钢球自转的转动惯量;Im为钢球公转的转动惯量;Qi,Qe分别为内、外圈接触载荷;Ft为润滑油作用产生的拖曳牵引力;Fcen为钢球离心力;Mt为润滑油作用产生的拖动力矩;Me为润滑油对钢球的阻力矩;Mg为钢球的陀螺力矩;ωm为球公转角速度;Fv为润滑油黏性引起的摩擦力。

内圈的运动学微分方程为

(18)

考虑套圈的弹性变形,将得到的变形代入球轴承动力学模型中,通过四阶龙格-库塔算法对改进的模型进行求解,时间步长设定为0.03 ms。

2 模型验证

本文以B7008C角接触球轴承为研究对象,采用Gupta的经典算例验证本文模型的可靠性,轴承主要参数见表1。轴向力为2 224 N、内圈转速为10 000 r/min时,保持架质心轨迹如图5所示:本文模型求得的保持架质心轨迹与Gupta模型计算结果[3]基本一致,说明本文模型是可靠的,存在的差异主要是由于保持架材料和润滑油参数不同。

表1 B7008C角接触球轴承和Gupta案例轴承的主要参数

(a) 本文模型

此外,还用保持架转速进一步验证本文模型的可靠性。内圈转速为10 000 r/min,轴向力Fx为0～500 N,径向力Fz为0时,本文模型轴向力为400 N时的ωc/ωi值如图6a所示,保持架转速在某一特定值附近波动,进一步得到ωc/ωi值随轴向力的变化如图6b所示,本文模型的ωc/ωi值与文献[19]试验结果的趋势一致,进一步验证了本文模型的可靠性,文献[19]在轴向力为100,150 N附近的ωc/ωi值不符合工程实际,这是因为在小载荷下钢球的滑动比较明显。

(a) 轴向力为400 N时的ωc/ωi

3 结果与讨论

为研究弹性外圈壁厚Гc对球轴承动态行为的影响,Гc分别取1.0,2.0,3.0,3.8 mm。轴向力Fx为400 N, 径向力Fz为100 N(指向方位角0°方向),内圈转速为10 000 r/min,采用外圈引导方式。以140MD44Y2.5电主轴为例,轴承座与外圈之间的间隙为10 μm,其他参数保持不变。

3.1 球的滑动

不同弹性外圈壁厚时球在内、外沟道上的滑动速度如图7所示(fi为内圈频率,fc为保持架频率):1)对于刚性外圈,球在内、外沟道上的滑动产生了周期性波动;对于弹性外圈,滑动的剧烈波动随着弹性外圈壁厚的减小而加剧,且波动规律相对于刚性外圈发生了明显变化。2)随着弹性外圈壁厚的减小,低频时外沟道上滑动主峰逐渐减弱,内沟道上的滑动主峰先逐渐减弱后加强,在高频时滑动主峰随着弹性外圈壁厚的减小而逐渐减弱。这些现象与弹性外圈的径向变形密切相关。

3.2 套圈的接触特性

不同弹性外圈壁厚时套圈的接触特性如图8所示。由于轴承座与外圈之间存在间隙,轴承座移动造成弹性外圈沿z方向的接触应力,如图8a所示:接触区随着壁厚的减小而逐渐增大,同时最大接触应力减小。在非接触区,外沟道上的接触载荷促进了弹性外圈在90°, 270°附近的径向变形(图8b),导致在90°,270°附近出现了最小接触载荷(图8c、图8d),这种变形被180°附近的球与外沟道的接触所抑制,导致180°附近的接触载荷被加强。上述分析说明弹性外圈的非均匀变形改变了外圈沟底直径,特别是在90°,270°附近的径向变形随着弹性外圈壁厚的增加而增大,与其他方位角的变形相比,这刺激了球的滑动波动,引起球与沟道之间牵引力的变化。

(a) 轴承座与外圈之间的接触应力分布

3.3 球与沟道之间的牵引力

不同弹性外圈壁厚时球与沟道之间的牵引力如图9所示:1)相对于刚性外圈,弹性外圈壁厚的减小会引起牵引力的特定波动并逐渐加强。2)当弹性外圈壁厚减小时,低频波动逐渐增强, 而高频波动的增加可以忽略不计,此外,牵引力与滑动速度的主频率一致,表明滑动会影响牵引力,进而影响内圈振动。

(a) 外沟道牵引力Fte

3.4 内圈加速度

不同弹性外圈壁厚时内圈加速度的频谱如图10所示:1)随着弹性外圈壁厚增加,低频振动逐渐加强,当弹性外圈壁厚最小(Гc为1.0 mm)时,与刚性外圈相比低频振动非常强烈;尽管最小弹性外圈壁厚比刚性外圈壁厚小,但高频振动还是略有增加。2)球的滑动、牵引力和内圈振动的主频率明显一致,表明球的滑动和内圈振动之间存在相关性。这种动态行为的关联性预示着球的滑动将影响保持架的相互作用力。

(a) 内圈沿y轴的加速度aiy

3.5 保持架与球和外圈的相互作用力

不同弹性外圈壁厚时保持架的相互作用力如图11所示:1)当弹性外圈壁厚最小(Гc=1.0 mm)时,保持架兜孔与球之间的相互作用力Fbc在0.051 5 N附近产生剧烈波动,表明保持架连续稳定地驱动球。低频和高频的主要峰值随着弹性外圈壁厚的减小而逐渐增加,特别是保持架与钢球的碰撞频率与滑动速度的频率一致,表明Fbc与球的滑动密切相关。2)保持架与外圈之间的相互作用力Fcg随着弹性外圈壁厚的减小而逐渐减小,且低频波动逐渐增强,高频波动逐渐减弱。Fbc,Fcg的高频波动差异可能是由外圈的径向变形造成的,不同弹性外圈壁厚时外圈在90°,270°附近的巨大径向变形导致引导间隙增加,从而减弱了高频波动,且径向变形越大高频波动越小。此外,频谱分析证实了保持架、球与外圈之间的相互作用,钢球所受拖动力、外圈作用在钢球上的接触载荷以及保持架受到钢球碰撞力的频率的一致性,表明弹性外圈壁厚会影响保持架的涡动。

(a) 保持架兜孔与球之间的相互作用力Fbc

3.6 保持架的涡动特性

不同弹性外圈壁厚时保持架的涡动特性如图12所示:1)随弹性外圈壁厚减小,主导高频的主峰普遍增加,而在主导低频时则相反。2)随弹性外圈壁厚减小,保持架质心轨迹半径减小。3)弹性外圈壁厚Гc为1.0 mm时的非重复跳动(Non-Repeatable Run-Out,NRRO)[20]明显增加,最大分布范围(Maximum Distribution Range,MDR)也增加。这些现象表明弹性外圈削弱了保持架的动态稳定性,也就是说外圈壁厚越小,保持架动态稳定性越差。

(a) 保持架加速度

3.7 小结

弹性外圈的非均匀变形由轴承座与外圈之间的间隙以及外沟道上的接触载荷引起,这种非均匀变形加剧了球的滑动波动,这种波动相比于刚性外圈更剧烈,引起了与球的滑动具有相同主频率的剧烈波动的牵引力。这些波动的牵引力增加了内圈的振动,特别是球的滑动、牵引力和内圈振动的频率的一致性,证实了球的滑动与内圈振动密切相关。此外,弹性外圈的非均匀变形加剧了球与保持架兜孔之间相互作用力的波动,并进一步增加了保持架与引导面之间的相互作用力,从而产生了一致的频率。值得注意的是,由径向变形引起的非均匀变形引导面导致相互作用力Fbc,Fcg在高频下的波动规律相反。这些变化的相互作用力显著影响了保持架的动态稳定性和振动。相关分析表明弹性外圈削弱了保持架的动态稳定性,当弹性外圈壁厚明显减小时,保持架的涡动运动产生小的涡动半径,而高频振动普遍增加,低频振动则减少。因此,厚的弹性外圈有利于提高保持架的动态稳定性,减小轴承系统的振动。

4 结论

建立了考虑套圈弹性变形和保持架涡动的角接触球轴承非线性动力学模型,并通过保持架质心轨迹以及保持架与内圈转速比验证了模型的准确性,在此基础上分析了外圈壁厚对球滑动、保持架涡动和内圈振动的影响,得到以下结论:

1)内圈振动、牵引力、球滑动和保持架的相互作用力主频率的一致性,证实了保持架的动态稳定性、轴承零件的相互作用力、球的滑动和内圈振动之间的相关性。

2)当弹性外圈壁厚减小时,保持架的动态稳定性减弱,产生小的涡动半径,同时高频振动增加,低频振动减小。