三类天线阵列布局的流星雷达到达角估计性能分析

王思远 尹文杰 冯健 刘祎 唐琼 周晨 赵正予*

（1.哈尔滨工业大学空间科学与应用技术研究院, 深圳 518055；2.武汉大学电子信息学院空间物理系, 武汉 430072；3.中国电波传播研究所, 青岛 266107）

0 引 言

70～110 km 高度上流星与大气剧烈摩擦会使中性大气电离[1].流星运动的路径上，大气电离度与周围背景显著不同，形成流星尾迹，且随背景中性大气一起运动[2].流星雷达是一种专用于流星观测的无线电遥感探测系统[3]，通过测量流星尾迹散射回波在不同接收天线通道之间的相位差和流星尾迹回波到达接收天线的延迟时间来确定回波的空间位置[4]，通过测量回波的多普勒频移来推导流星尾迹的径向移动速度，获得背景大气风场参量信息，对研究中层和低热层区域的动力过程(如潮汐、行星波、大气环流等)具有重要意义[5].

流星雷达的接收天线由五元天线阵列构成，其排列方式主要有三种：Jones 提出的十字阵型[6]，应用于科罗拉多州COBRA 流星雷达的T 型结构[7]和L 型结构[8].这些排列方式主要考虑减小紧密间隔天线由于互耦引起的到达角(direction of arrival，DOA)估计误差的同时，解决较大间隔天线引起的方向模糊，但在参数估计的精确度和误差分析方面还缺少对阵列之间性能差异的研究[5].三种阵型结构的排列方式对DOA 估计精度有着重要的影响，而DOA 估计精度又会影响大气风场等参量的反演结果从而影响空间事件的判断[9]，因此对三种阵型DOA 估计性能的分析至关重要.

本文以阵列信号的空间谱和克拉美-罗界(Cramer-Rao bound，CRB)作为评估指标，对比分析三种阵型的DOA 估计性能及天线间距对DOA 估计性能的影响.通过仿真和理论分析，判断三种阵型中的理论最优阵型，以及实际应用中更合适的天线间距.

1 性能评估指标概述

1.1 空间谱

空间谱是阵列信号处理中的一个重要概念，表示信号在空间各个方向上的能量分布可以通过控制加权的相位来实现[7]，其可以表征阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系.

1.2 CRB

CRB 是一个未知参数的Fisher 信息导数，即Fisher 信息矩阵逆矩阵的对角元素，规定了任何无偏估计量的理论最小方差[8].CRB 是评价估计器的一个常用优化指标[9]，也广泛应用于阵列信号处理的性能评估[10].2008 年Kang 推导出了平面阵列中方位角和俯仰角的CRB[5].

然而，CRB 只考虑了主瓣的统计变化，没有考虑较大的估计误差或低信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)下由高旁瓣引起的偏差[11].因此在估计结果几乎全部落在主瓣范围内时，CRB 可以较好地反映阵列DOA 估计性能；但在旁瓣效应较明显时，还需要结合空间谱分析[12].

2 三种阵型的性能分析

2.1 三种阵型的空间谱分析

流星雷达接收天线由五元天线阵列组成，其中第m个天线元处测得的时空信号可表示为：

式中：k0是编号为0 的天线元的传播信号的波数矢量；sm是第m个天线元距编号为0 的天线元之间的距离矢量；dm0是 第m个天线元到编号为0 的天线元的距离； γm0是第m个天线元到编号为0 的天线元之间的连线与x轴的夹角；α 和β 分别是到达角的仰角和方位角.

本文中三种阵型的天线元编号如图1 所示.

图1 三种阵型的布局及传感器编号Fig.1 Sensor numbers for the three formations

将式(1)进行傅里叶变换：

在无噪声的情况下式(3)为

空间谱的形状由W(k)决定，它是DOA 和传感器位置的函数：

代入三种阵型的传感器位置参数，并选择来波方向为到达仰角30°、到达方向角0°，得到无噪声情况下三种阵型的空间谱对比，如图2 所示.其中(30°,0°)位置的波峰为主瓣，其他位置的波峰为旁瓣.主瓣宽度和旁瓣电平是衡量空间谱性能的主要参数[13]：主瓣宽度用于衡量阵列的分辨能力，主瓣宽度越小，阵列的分辨力越强；旁瓣电平主要衡量参数估计的偏差概率，当旁瓣电平过高时，DOA 估计算法产生误判概率增大，将在阵列处理结果中造成重大误差[14].

图2 三种阵型的空间谱对比Fig.2 Spatial spectral comparison of the three formations

图2(a)中，十字阵型的两个主要旁瓣出现在(14°, 27°)和(14°, -27°) 附近，且仅比主瓣低0.25 dB，导致低SNR 回波时出现异常值；而图2(c)中L 阵型两个主要旁瓣电平比主瓣低0.75 dB，稍微优于十字阵型；图2(b)中T 型阵在旁瓣电平上明显优于其他两种阵型，其他阵型出现两个主要旁瓣的地方几乎已无旁瓣，且其他最大的旁瓣电平比主瓣低3 dB.

上述分析只能说明在低SNR 的情况下T 阵型相比其他两种阵型出现重大误差的概率更低.但是，由于三种阵型的主瓣宽度相差甚小，不能作为充分的判别依据，还需要结合CRB 对三种阵型的分辨力进行更加深入的分析.

2.2 三种阵型的CRB 分析

根据Kang 的工作[5]，给定具有任意传感器且所有传感器的灵敏度相同时平面阵列的方位角和仰角的CRB 可以表示为：

式中： ρ=A2/δ2是SNR；N是样本总数；σN是回波衰减率.因此CRB 是SNR、σN、α 和β 的函数.

令m=5，对ρ 和σN赋值并代入三种阵型的传感器位置数据，得到不同阵型在不同SNR 和衰减率σN下的CRB，如图3 所示.CRB(α)和CRB(β)分别表示到达仰角α 和到达方位角β 的CRB 计算结果，四个分图则表示它们随α 和β 变化的函数关系.

图3 不同SNR 和衰减率下三种阵型的CRB 对比Fig.3 Comparison of CRB of 3 formations at different SNR and attenuation rates

可以看出，提高SNR 或降低回波衰减率都会使CRB 降低，从而提高阵列的性能.在SNR 和回波衰减率不变的情况下，所有阵型的CRB(α)随α 的增加而单调减少，而CRB(β)随α 的增加而单调增加，在到达仰角等于45°时，CRB(α)和CRB(β)的值相等.CRB(α)和CRB(β)随β 的变化则相对复杂，首先，由于十字阵型的高度对称性，CRB(α)和CRB(β)几乎不随β 的变化而变化；T 阵型的CRB(α)和CRB(β)随β 的变化而周期性变化，但整体上几乎一直小于十字阵型；而L 阵型的CRB(α)和CRB(β)随β 的变化方式和T 阵型相似，但整体上几乎一直大于十字阵型和T 阵型.

综上所述，T 阵型的CRB 小于十字阵型和T 阵型，这就意味着T 阵型在DOA 估计性能和分辨力方面是三种阵型中最优的.

3 阵列天线间距对性能的影响

改进的流星雷达系统干涉仪布局于1998 年被提出之后，已广泛应用于干涉式流星雷达系统[15-16].布局方式如图1 所示，传感器之间的间距有2λ 和2.5λ 两种，依据减小紧密天线间隔引起的互耦[17]，解决较大天线间隔引起的方向模糊为目标来选择布局方式.

3.1 改变天线间距的的空间谱分析

按照图1 所示的传感器编号顺序，将原天线间距[d00,d01,d02,d03,d04]=[0, 2λ, 2.5λ, 2λ, 2.5λ]缩 小 至[0,1λ, 1.5λ, 1λ, 1.5λ]；增大天线间距至[0, 3λ, 3.5λ, 3λ,3.5λ]，缩小某一方向的天线间距至[0, 1λ, 2.5λ, 2λ,2.5λ]，增大某一方向的天线间距至[0, 3λ, 2.5λ, 2λ,2.5λ]，增大2λ 和2.5λ 两种天线间距至[0, 1.5λ, 3λ,1.5λ, 3λ]，缩小2λ 和2.5λ 两种天线间距至[0, 2.1λ,2.3λ, 2.1λ, 2.3λ]，生成的空间谱如图4 所示.

图4 改变天线间距十字阵型的空间谱Fig.4 Spatial spectra of the antenna spacing in the crossed array

由图4(a)可以看出：缩小天线间隔后，旁瓣电平降低，几乎所有的DOA 估计结果都会落在主瓣内，DOA 估计的离群值概率会降低；但主瓣宽度也随之上升，主瓣范围内DOA 估计精度会下降.与之相反，图4(b)中扩大所有天线间隔之后旁瓣电平升高，DOA 估计的离群值概率增加，但主瓣范围内DOA估计的精度得到提高.

由图4(c)和(d)可以看出，DOA 估计的离群值概率和主瓣内的精度存在矛盾，需要结合情况看哪种衡量指标在实际情况中占的比例更大.当SNR 较小时，离群值增多，在误差中占主要部分；而当SNR大于某一阈值时，DOA 估计可近似无偏估计，几乎所有结果都落在主瓣范围内，这时DOA 估计精度更重要.在实验中可以根据信号的实际情况对系统进行改进以达到最佳效果.

由图4(e)和(f)可以看出：若所有天线间距相等， 2λ 或2.5λ，都会使旁瓣电平升高而主瓣电平下降，会提升较大误差的出现概率；若两种间距相差更大，把2λ 间距的天线间隔缩小或把2.5λ 间距的天线间隔增大，都会使旁瓣电平降低，但代价是主瓣的宽度会提高，DOA 估计精度会下降.

3.2 改变天线间距的CRB 分析

按照图1 所示的传感器编号顺序，缩小天线间距至[0, 1λ, 1.5λ, 1λ, 1.5λ]，增大天线间距至[0, 3λ,3.5λ, 3λ, 3.5λ]，缩小某一方向的天线间距至[0, 1λ,2.5λ, 2λ, 2.5λ]，增大某一方向的天线间距至[0, 3λ,2.5λ, 2λ, 2.5λ]，增大2λ 和2.5λ 两种天线间距至[0,1.5λ, 3λ, 1.5λ, 3λ]，缩小2λ 和2.5λ 两种天线间距至[0, 2.1λ, 2.3λ, 2.1λ, 2.3λ]，生成的CRB 如图5 所示.

图5 改变天线间距十字阵型与传统方式的CRB 对比Fig.5 Crossed array after changing the antenna spacing compared to the traditional method of CRB

由图5(c)和(d)可以看出：缩小某一方向上的天线间距，CRB(α)和CRB(β)随α 的变化整体增大，估计精度下降；增加某一方向上的天线间距，CRB(α)和CRB(β)整体减小，估计精度提高.CRB(α)和CRB(β)随β 的变化由原来的几乎不变改为周期性变化，这是由于缩小或增加了某一天线间距后打破了十字阵型原有的对称性.缩小天线间距的方向上，CRB(α)减小而CRB(β)增大，其他方向上CRB(α)增大而CRB(β)减小；增大天线间距的方向上，CRB(α)增大而CRB(β)减小，其他方向上CRB(α)减小而CRB(β)增大，即在缩小间距的方向上，到达仰角的估计精度提高了，到达方向角的估计精度下降了；在扩大间距的方向上，到达仰角的估计精度下降了，到达方向角的估计精度提高了.

由图5(e)和图5(f)可以看出，增大2λ 和2.5λ 天线两种间隔方式的距离差可以使CRB 降低，但代价非常大，空间谱中旁瓣电平和主瓣电平几乎相等，增大到一定程度时会出现严重的相位模糊；而缩小距离差会使CRB 增大，估计精度降低.因此距离差的变化会使两个指标向相反的方向变化，实践中还须要结合实际情况深入分析来设定.如需要空间中大部分流星尾迹的回波数据，选择传统方法中适中的间距；如需要某一特定方向上的流星尾迹回波数据，则可以增大这一方向上天线的间距；如忽略某一特定方位上的流星，则可以减小这一方向上的天线间距来获得其他方向上更好的DOA 估计性能.

4 结 论

本文从CRB 和空间谱两个性能评估参数的角度，分析了流星雷达阵列布局对DOA 估计精度的影响，结论如下：

1)在三种阵型的对比中，T 阵型无论在精确度还是稳定性上都要优于十字阵型和L 阵型，但由于阵型的研究较少，在流星雷达的应用还不够广泛.

2) L 型相比于十字阵型，对到达仰角的估计精度更高，对到达方位角的估计受实际方位角的影响，这是因为十字阵型对称度较高，精度几乎不受DOA 方位的影响，而L 阵型的精度会随实际DOA 的方位而变化.在图1 中的阵型布局下，L 阵型所测一三象限的精度较高，二四象限相比于十字阵型的精度较低.

3)经典阵型配置对于全天空流星的测量精度是较为平均的，打破这种经典配置，可以获得某一方向上DOA 估计精度的提升，但会牺牲其他方向上的估计精度，可以尝试应用在关注某一方向流星回波的探测任务中.不同的发射天线可根据实际情况调整阵型间距，如在COBRA 系统中，发射天线是指向性八木天线，可考虑改变天线间距来达到最佳的探测效果.

4)通过CRB 的定义可知，在无偏估计中，CRB的值等于无偏估计的MSE.在流星雷达的回波参数估计中，当SNR 大于某一阈值时可近似为无偏估计，因此通过对CRB 的分析和SNR 阈值的确定可以计算出参数估计误差的数值.但由于每套流星雷达系统的SNR 阈值不同，回波筛选方式也不同，因此本文只给出理论分析，没有给出误差的数值计算.