立足单元整体教学 落实学科素养目标——以《三角形的面积》教学为例

○ 烟台高新技术产业开发区益文小学 慕振亮

课前思考：

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》要求，教学目标的设定要体现整体性。《三角形的面积》一课在本单元起着承上启下的作用，“上承”推导平行四边形面积公式所利用的转化思想，“下启”其他图形面积公式的推导，学生可领悟策略多样化的转化思想。基于新课标要求，这部分知识属于第二学段“图形认识与测量”的内容，以发展学生的量感和推理意识为目的。

教学中通常是以问题情境为切入点，探究三角形的面积主要用两个完全一样的三角形进行“拼组”的办法。可是，明明只需求一个三角形的面积，为什么要给学生提供两个完全一样的三角形？学生心中会有这样的疑问。教师精选两个三角形或者提供的格子图是否多了一些暗示的痕迹？在实践操作过程中，一些学生尝试用一个三角形进行剪拼，用单个图形转化成新图形，正顺应学生的基本学习经验和知识迁移的认知规律。基于此，教学《三角形的面积》这节课，我们借助钉子板这个学习材料作为探究活动的“脚手架”，通过研究单个三角形在钉子板上的变化情况，来探究三角形的面积。

课堂展示：

一、借助经验，激趣导入

（借助钉子板复习旧知，唤起学生的已有经验。）

师：同学们，今天我们学习三角形的面积。瞧，老师请到一位神秘的小助手——钉子板，我们一起来认识一下。（出示钉子板）每两个钉子间的距离是1 分米，那这一小格的面积就是——

生：1 平方分米。

师：用算式如何算出长方形的面积？

生：2×3=6 （平方分米）。

师：再来个难度大一点的。（借助钉子板出示平行四边形）这是一个什么图形？

生：平行四边形，它的面积是3×4=12（平方分米）。

师：回忆一下平行四边形的面积公式是怎么推导的。

生：沿着这条高剪开之后再进行平移，就可以把平行四边形变成我们熟知的长方形。

师：同学们想想，用上节课的剪拼法是否可以研究今天三角形的面积呢？同桌两人为一组，拿出信封袋里面的三角形，通过剪拼法尝试看能不能拼出我们熟悉的图形。

生：我试了一下有的剪拼后的图形可以拼成学过的图形，有的不能拼成。

二、操作探究，体验过程

（探究等腰直角三角形面积的计算方法。）

师:用剪拼法来求解一般三角形的面积有些难度，那咱们就从特殊的三角形开始研究。（借助钉子板出示三角形）瞧，它的面积是多少平方分米？

生：0.5 平方分米。

师：怎么得到的？

生：因为直角三角形面积是正方形面积的一半，正方形的面积为1 平方分米，所以直角三角形的面积为0.5 平方分米。

师：你是把求直角三角形的面积转化成了求正方形面积的一半。请同学们仔细观察，这里除了正方形，还有什么图形？

生：另外一个直角三角形。

师：那这个直角三角形和原来的直角三角形有什么关系？

生：这两个三角形是完全相同的。

师：如果把这个三角形变一变，（将上图中三角形的底拉长）仔细观察有了什么变化？

生：三角形的面积变大了。

师：三角形的面积为什么会变大呢？

生：因为三角形的底变大了。

师：老师再把这个三角形变一变，（继续将三角形的高拉长）看看三角形的面积有什么变化？

生：三角形的面积又变大了。

师：这次三角形的面积为什么又会变大呢？

生：因为三角形的高变大了。

师：同学们，请你们猜一猜三角形的面积可能与什么有关？

生：可能与它的底和高有关。

师：那到底有什么关系呢？这节课我们就一起研究三角形的面积。

三、自主探究，推理归纳

（探究一般三角形面积的计算方法。）

师：（借助钉子板出示三角形，如图）这个大三角形的面积是多少？

生：3 平方分米。

师：怎么算的？

生：两个完全相同的直角三角形拼成了长方形，一个三角形的面积就是长方形面积的一半。

师：直角三角形的面积我们会求了，锐角三角形的面积会求吗？请同学们拿出探究单，利用学具来探究。独立操作后四人一小组进行交流。

四、集体交流，推导公式

生：锐角三角形面积的计算方法——6×4=24（平方分米），24÷2=12（平方分米）。

师：6 代表的是什么？4 代表的是什么？

生：6 是平行四边形的底，6 也是三角形的底，4 是平行四边形的高，4 也是三角形的高。

师：6×4 也就是底×高，求的是什么？

生：求的是平行四边形的面积。

师：为什么要除以2 呢？

生：因为平行四边形是由两个完全相同的三角形拼成的，除以2 求的就是其中一个三角形的面积。

师：那钝角三角形的面积又是如何探究的？它和直角三角形、锐角三角形面积的探究过程一样吗？

师：通过刚才的拼摆、推理和计算，同学们思考一下，拼摆后的新图形与原来的三角形有什么样的关系？

生：三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高就是平行四边形的高。

生：用两个完全相同的三角形不论是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，在经历重合、旋转、平移之后就可以拼出以前学过的平行四边形。

师:回顾刚才的探究过程，虽然三角形的形状不同，但是借助钉子板，运用推理想象构造出了用两个完全一样的三角形转化成一个熟悉的图形。因为三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高其实就是平行四边形的高，将平行四边形的面积除以2 就能得出三角形的面积。所以三角形的面积公式为“底×高÷2”，用字母表示为“S=ah÷2”。

五、拓展巩固，变式应用

（借助钉子板出示三个形状不同、面积都为6平方分米的三角形。）

师：形状不同，为什么面积相同？

生：这些三角形都是等底等高的。

师：像这样的三角形我们还可以找到吗？

生：可以找出无数个，只要钉子板足够大。

师：同学们，如果钉子板就这么大，我还想得到一个面积是6 平方分米的三角形，你能在头脑中想象出三角形的形状，并确定新三角形的底和高分别是多少吗？

生：底是3、高是4，底是2、高是6；底是12、高是1。

师：真棒！懂得逆向思考问题。

教学反思：

1.本单元学情分析和知识核心的分析。

从单元整体教学的角度来看，面积的测量是本单元的核心知识。学生用钉子板作为研究工具，在研究转化前后图形的关系上探究多边形的面积。以面积概念和简单图形的测量为基本经验，以转化为基本思想，为后续学习梯形、组合图形以及圆的面积打下基础。在探究活动中，用到了割补、拆分和拼组等方法，并将“出入相补原理”这一数学文化融入其中。

在单元教学目标中，除了注重掌握和理解多边形的面积计算公式外，还要考虑学生是否真正理解了转化的思想方法，顺应学生的思维，让他们发现转化前后图形之间的关联，学会有效迁移到其他多边形的面积，从而串联相关知识，促进整体构建。

2.实现了从特殊到一般、从经历到经验的双向目标。

本节课借助钉子板从直角三角形入手，引导学生推理想象，由点到面，经历了从特殊到一般的过程。从完全归纳推理出发，研究三类三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）转化成平行四边形的过程。学生通过观察探索、实践操作、归纳总结等，对三角形及平行四边形的面积公式有了更加深入的理解，同时也培养了逻辑思维能力。

两个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形，正方形面积的一半恰好是等腰直角三角形的面积，根据转化前后几何图形间的关系，在推导三角形面积公式时进行了有效迁移。用转化思想作为单元整体教学的暗线，从经历到经验，促进学生学科素养目标的达成。