运用对称双扭摆实验学习耦合振动规律

徐 楠,郑星航,周滢瑶,王才林,张 欢,王克东

(南方科技大学 物理系,广东 深圳 518055)

耦合振动是理论力学课程中的经典内容[1-2],它建立了简正模和简正频率等基本概念,是分析复杂系统振动问题的重要工具. 长期以来,教材多以弹簧振子[3]为背景讲解耦合振动的理论知识,实验中通常在气垫导轨上[4]展示弹簧振子的耦合振动特征. 为了拓展学生的视野,文献[5]基于力学相似性原理[1],类比固定端/弹簧/质块/弹簧/质块系统设计了非对称双扭摆实验,以刚体转动为背景介绍了耦合振动的时间演化图像、频谱特征和测量方法,为耦合振动的实验教学提供了新思路. 由于非对称双扭摆装置在结构上缺乏对称性,难以展现对称简正模、反对称简正模和拍等经典现象. 为丰富双扭摆实验,类比固定端/弹簧/质块/弹簧/质块/弹簧/固定端系统,本文设计了对称双扭摆实验,增加对称简正模、反对称简正模和拍的调节与观测. 教学实践表明:该实验有助于学生直观地学习耦合振动的基本规律,掌握通过控制初始条件调节系统振动模式的方法.

1 实验装置

对称双扭摆装置主要由支架、钢丝、转盘、制动器和手机等5部分构成,如图1所示.

图1 对称双扭摆装置图

支架的顶部和底部装有紧固夹具,可以悬挂钢丝. 2个转盘被紧固于钢丝的不同位置,将钢丝分为上、中、下3段. 2个转盘的形状相同,上下2段钢丝的尺寸也相同,形成了对称结构. 转盘的直径为120.00 mm,转动惯量为0.311 g·m2(含紧固夹具). 上下2段钢丝的扭转系数均为K,中段钢丝的扭转系数为k.由于扭转系数依赖于钢丝的几何尺寸,因而可以通过钢丝的直径和长度调节扭转系数[5]. 转盘的释放和停止受制动器控制. 在断电状态下,制动器夹持转盘使其保持静止;通电后,制动器释放转盘,转盘可以自由转动. 转盘上贴有轻薄纸片,该纸片上印有度盘和标记点,度盘用于设置转盘的初始转角,标记点用于追踪转盘的转角. 2部手机分别置于上下转盘的上方,录制相应标记点的转动视频,录像帧率为30 s-1.

2 实验原理

(1)

(2)

其中,I为转盘的转动惯量.在实验中,可通过改变钢丝的直径和长度调节K和k[5].将式(1)～(2)代入拉格朗日方程[1]

L=T-V,

(3)

(4)

可得两转盘的转动方程为

(5)

(6)

转动方程等号右侧表示钢丝施加在转盘上的回复力矩,其同时依赖于两转盘的转角,可见两转盘的转动存在耦合.另外,式(5)～(6)同一维双弹簧振子的运动方程具有力学相似性[1]:前者的转角、角加速度和转动惯量分别对应于后者的位移、加速度和质量.

为了求解式(5)～(6),不妨假设两转盘按相同的角频率ω转动,即

φ1=q1sin (ωt),

(7)

φ2=q2sin (ωt),

(8)

其中,q1和q2分别为上下两转盘的转角随时间演化的幅度.将式(7)～(8)分别代入式(5)～(6),并整理可得本征方程为

(9)

式(9)的非平庸解对应于

(10)

由此可得对称双扭摆装置的简正频率为

(11)

(12)

将简正频率ωɑ代入式(9)并归一化,可得

(13)

可见,当两转盘均以角频率ωα转动时,幅度和方向均相同,故不引起中段钢丝的扭转形变,两转盘实则为脱耦合.该转动形式称为对称简正模,ωα称为对称简正频率.

同理,将角频率ωβ代入式(9)并归一化,可得

(14)

即当两转盘以角频率ωβ转动时,幅度相同但方向相反.该转动形式称为反对称简正模,ωβ称为反对称简正频率.

由式(11)～(12)可知,对称简正频率低于反对称简正频率,前者仅依赖于K,而后者还依赖于k.一般情况下,转盘的转动是2种简正模的线性叠加,即

(15)

其中,A和B为叠加系数.

在实验中,可以通过控制两转盘的初始转角调节耦合转动形式.令初始时刻φ1和φ2的值分别为φ10和φ20,代入式(15)并整理,可得

(16)

(17)

3 实验方法

实验操作如下:

1)平稳放置支架,依次悬挂钢丝和转盘;

2)根据转盘位置安装制动器,将转盘转至设定转角后夹紧;

3)根据标记点位置放置手机;

4)打开手机录像功能,开启制动器同时释放转盘,拍摄两转盘上标记点的转动视频,然后依次关闭录像和制动器;

5)导出两转盘上标记点的转动视频,运用Tracker提取标记点坐标的时间演化数据.

学习耦合转动规律的基础在于分析转盘转角的时间演化数据.因此,在数据预处理部分,需要使用反正切函数将标记点的时间演化数据转化为转盘转角的时间演化数据.

图2 转盘上标记点示意图

4 实验结果及分析

共使用6种不同尺寸的钢丝,并运用文献[6]中的方法测量扭转系数,结果见表1.其中,扭转系数K=0.291 9 mN·m的钢丝充当对称双扭摆装置的上下段钢丝,其余的钢丝则先后充当中段钢丝.按照实验操作步骤得到不同中段钢丝的扭转系数k条件下的上转盘转角φ1的时间演化数据,结果如图3所示.从图3可以看出,由于两转盘之间存在耦合,φ1随时间t的演化均较为复杂,已经明显偏离单扭摆的简谐转动特征[5].另外,在k较小时,φ1的时间演化具有明显的拍特征,见图3(a);但随k增加,拍特征逐渐消失,见图3(b)～(e).

表1 不同尺寸钢丝的扭转系数

(a)k=0.037 1 mN·m

运用式(15)对图3中数据进行双正弦函数拟合,实验数据和拟合曲线符合良好,说明转盘转动包含2种简正模成分,符合实验原理预期.为了检验角频率拟合结果的准确性,将K,k和I的值代入式(11)～(12),计算得到对称简正频率ωα和反对称简正频率ωβ,结果如表2所示.从表2可以看出,实验拟合结果和理论值的相对偏差均低于0.5%.随k增加,ωα基本不变,而ωβ上升,这是由于当两转盘以角频率ωα做简谐转动时,中段钢丝的弹性势能维持恒定,故k不影响ωα,如式(11)所示.

表2 图3中简正频率实验的拟合值和理论值

图4直观地展现了简正频率ω随k的变化关系.由图4可以看出,简正频率分布于2个不同的分支.随k增加,2种简正频率的差距逐渐变大,这也给出了图3(a)～(e)中拍现象逐渐消失的原因.

图4 简正频率随中段钢丝扭转系数k的变化

下面依据实验原理对两转盘的初始转角做特殊设置,观测对称简正模、反对称简正模和拍. 将上下段钢丝和中段钢丝的扭转系数分别设置为0.291 9 mN·m和0.037 1 mN·m,由表2可知简正频率的理论值分别为ωα=0.968 1 rad/s和ωβ=1.084 rad/s. 将两转盘旋转至相同转角后同时释放,得到两转盘转角的时间演化数据,如图5所示.

(a)上转盘

从图5可以看出,两转盘起初均静止于转角约50°处. 在被同时释放后,转角开始随时间振荡,并且几乎同步增加或减小. 在60 s的观测窗口内,两转盘的转角振荡幅度基本维持恒定,说明该体系的阻尼作用极小. 对振荡部分的数据进行正弦拟合,结果如表3所示.

表3 图5中两转盘转角-时间演化曲线的正弦拟合结果[拟合函数φ=Asin (ωαt+ɑ)]

实验数据和正弦曲线符合良好,两转盘都近似做简谐转动;两转盘的转动幅度、频率和相位基本一致,表明两转盘的转动较好地呈现了对称简正模的主要特征. 另外,两转盘转动角频率的拟合结果与理论值接近,相对偏差均低于0.3%.

为了观测反对称简正模,将两转盘旋转至相反转角后同时释放,按实验操作方法得到转盘转角的时间演化数据,如图6所示.

(a)上转盘

从图6可以看出,两转盘被释放后,转角开始随时间振荡,而且当上转盘的转角增加时,下转盘的转角同步减小;当上转盘的转角减小时,下转盘的转角同步增加. 在60 s的观测窗口内,两转盘的转角幅度均未发生明显衰减,说明该体系的阻尼作用极小. 对振荡部分的数据进行正弦拟合,结果如表4所示.

表4 图6中两转盘转角-时间演化曲线的正弦拟合结果[拟合函数φ=Bsin (ωβt+b)]

实验数据和正弦曲线符合良好,两转盘都近似做简谐转动;两转盘的转动幅度和角频率基本一致,相位差约为π;两转盘转动角频率的拟合结果与理论值接近,相对偏差均低于0.1%. 上述结果表明,两转盘的转动较好地呈现了反对称简正模的主要特征.

表5 图7中转盘转角-时间演化曲线的双正弦拟合结果[拟合函数φ=Asin (ωαt+a)+Bsin (ωβt+b]

5 结束语

本文类比固定端/弹簧/质块/弹簧/质块/弹簧/固定端系统设计了对称双扭摆实验,使用手机录制转盘的一般耦合转动以及对称简正模、反对称简正模和拍等特殊耦合转动的视频,运用目标追踪软件从中提取转盘转角的时间演化数据,通过数据拟合得到耦合转动的幅度、频率和相位等信息,实验结果与理论预期符合良好. 教学实践表明,该实验有助于学生直观地学习耦合振动的基本原理,激发实验兴趣.