利用透镜组实现近轴光学隐身

潘 刚,石纯喆,敬 棚,陈文娟

(合肥工业大学 基础部,安徽 宣城 242000)

光学中有很多实现隐身的方法,例如通过构造折射率梯度让光线发生弯曲实现隐身,或者利用菲涅耳透镜、光学透镜组等实现隐身[1-3]. 其中,通过构建透镜组实现光学隐身已受到广泛关注[4-6]. 本文通过实验研究了双凸透镜的数量、焦距、口径等参量对构建光学隐身系统的影响. 经由光学矩阵理论分析[7],建立了四薄透镜光学隐身系统、三薄透镜光学隐身系统、双厚透镜光学隐身系统3种理论模型,并给出了上述透镜组实现光学隐身应满足的条件. 最后,针对不同的光学隐身系统,通过实验数据测量,验证了理论模型的正确性.

1 预实验

实验器材:光具座1套、双凸透镜(口径为33.0 mm,焦距为75.0 mm)若干、卷尺1把、10 cm×10 cm的方格墙纸.

通过改变光具座上双凸透镜的种类、数量及相对位置,观察该透镜系统是否能实现光学隐身. 构建4个相同且共轴共焦点摆放的双凸透镜的透镜组实现近轴光学隐身. 通过将卷尺分别横置在两两透镜之间,发现在第一二透镜及第三四透镜之间形成了较大的隐身区域,其隐身效果如图1所示.

图1 4个相同透镜构成系统的隐身效果

2 理论分析

2.1 相关定义及分析方法

从透镜组的一侧透过物体可直接观察到透镜组另一侧的景,景的形貌不发生改变,且观察视野不发生扩大或缩小的现象称为“隐身”或“隐形”. 由于透镜组本身存在透光区域,若要找出物体的隐身区域,只需求解该透镜组的透光区域,再在空间中将其减去即可.

根据几何光学中光学矩阵的相关知识,任意位置的近轴光线可表示为列矩阵:

(1)

其中,r为光线离轴的距离,r′为光线在该点的斜率.如图2所示,若该光线在厚度为d的均匀各向同性介质中传播,则有:

图2 光学矩阵计算方法

(2)

2.2 四薄透镜光学隐身系统

由预实验中的实验结论,可以构建出四薄透镜光学隐身系统的基本模型,如图3所示.平行光入射四薄透镜组,薄透镜组中的每个双凸透镜完全相同(口径、焦距等),且共轴共焦点摆放.根据光路分析,易知图3中绿色区域即为物体隐身区域.

图3 四薄透镜光学隐身系统的基本模型

要使成像正立且观察视野不发生缩放,根据光路可逆性,该光学隐身系统摆放的透镜需前后对称.为了方便分析,仅取前2个双凸透镜进行计算.计算部分光路图如图4所示,设两共轴等大薄凸透镜的焦距分别为f1和f2,间距为d(d≠0),则

图4 四薄透镜系统计算部分光路图

(3)

可以解得:

(4)

由式(4)可知观察视野随两薄凸透镜焦距的比值变化而变化.下面对两薄凸透镜的焦距关系做如下讨论:

1)若f1

图5 f1

2)若f1>f2,即大焦距凸透镜在前,小焦距凸透镜在后.这种情况与前者类似,观察视野也会发生变化,不符合隐身定义,本文不做讨论.

3)若f1=f2,系统为对称的四薄透镜系统,其光路示意图如图6所示.根据分析和预实验结果,此时双凸透镜之间出现隐身区域,实验效果较好.

图6 f1>f2情况光路示意图

以上为光线平行入射的情况,若光线不平行入射,式(3)应改为

(5)

可以解得:

(6)

因为d≠0,所以此时f2→∞,f1→∞,意味着此时透镜为平面镜,这种情况下的透光区域会充满镜间区域,导致隐身区域为零,故物体无法隐身.

实际上,由于透镜对不同波长的光的折射率不同,因此无法在实验中实现绝对平行的入射光,尤其是白光(复色光). 但本文构建的透镜系统对于近平行光(与光轴成3～5°的入射光)也能实现很好的隐身效果,且对于白光光源而言,其在穿过多个透镜后仍未发生明显的色散现象.

2.3 三薄透镜光学隐身系统

穿过薄透镜二倍焦距点的光线经过透镜折射后仍能回到其二倍焦距点. 根据此原理,设计了三薄透镜光学隐身系统基本模型如图7所示. 平行光射入三薄透镜组[透镜组中的第一、第三双凸透镜完全相同(口径、焦距等),第二双凸透镜以自身的2倍焦距点与其他透镜共轴共点摆放] ,首先经由第一透镜作用后会聚到其焦距点处,又因第二透镜是以自身2倍焦距点与两侧透镜共轴共点摆放,故光线会被再次会聚到右侧第三透镜的焦距点处,最后经由第三双凸透镜平行出射. 根据光路分析可知,图7中绿色区域为物体隐身区域.

图7 三薄透镜光学隐身系统的基本模型

三薄透镜光学隐身系统中间透镜的作用相当于四薄透镜系统中第二、第三透镜的作用,与四薄透镜系统原理一致,该系统中双凸透镜的焦距和口径也相互关联,且中间透镜口径小于两侧透镜时,构成的隐身区域较好.

2.4 双厚透镜光学隐身系统

由四薄透镜光学隐身系统的讨论可知,若双凸透镜能会聚平行光线,则可由光路可逆性设计双凸透镜光学隐身系统. 将2个特定的厚凸透镜共轴对称摆放,即可构建双厚透镜光学隐身系统.如图8所示,2个厚度为l的双凸透镜共轴对称摆放,记空气折射率为n,透镜材质的折射率为n1,前后球面曲率半径分别为R1和R2,且定义光线传播遇到凸面时R>0,遇到凹面时R<0.通过推导,可以得到该系统隐身所需的条件.

对于第一个厚透镜有R1>0,R2<0,其光学矩阵方程为

(7)

解得

(8)

(9)

3 实验探究

前文的讨论给出了各透镜系统要实现隐身应满足的理想条件. 但实际上,某些具有特定属性的透镜并不常见,例如厚透镜. 因此,本文主要就如何构建四薄透镜光学隐身系统(见图9)和三薄透镜光学隐身系统(见图7)开展实验.

图9 四薄透镜光学隐身系统示意图

图10 通过描点法测定透镜组的透光区域

实验器材与预实验器材基本相同. 平行光源采用可调焦的强光手电筒,可以在一定范围内保持较好的准直性.

3.1 四薄透镜光学隐身实验

3.1.1 实验1:相同薄凸透镜共轴共焦摆放

采用4个双凸透镜(口径Φ=33.0 mm,焦距f=75.0 mm)共轴共焦摆放,测定该四薄透镜系统的隐身区域. 数据记录以平行光经过第一个透镜的中心为坐标原点,光轴为x轴,光线传播方向为正方向,建立坐标系. 将光线经过第一二透镜之间的区域称为第一区域,第二三透镜之间的区域称为第二区域,第三四透镜之间的区域称为第三区域. 测量数据图如图11所示,由此可见,若采用4个相同的双凸透镜构建四薄透镜光学隐身系统,其第一区域、第三区域可形成较好的隐身区域.

图11 光斑平均半径测量数据1

根据对称性可知,第一区域、第三区域形成的透光区域近似为“沙漏体”,且越靠近焦距重合点,透光区域越小,隐身效果越好. 第二区域由于其光斑平均半径接近双凸透镜的半径(16.5 mm),故该区域的隐身效果较差.

3.1.2 实验2:不同参量薄凸透镜共轴共焦摆放

采用焦距为150.0 mm和75.0 mm,对应口径为50.0 mm和33.0 mm的双凸透镜共轴共焦摆放,测定该四薄透镜系统的隐身区域. 其中大焦双凸透镜摆两侧,小焦双凸透镜摆中间. 采用描点法记录数据,得到图12所示的数据图.

图12 光斑平均半径测量数据图2

由图12可知,若采用不同参量的双凸透镜构建四薄透镜光学隐身系统,其第一区域、第三区域的情况与实验1基本一致,但其第二区域的情况与实验1有所不同. 由于两侧双凸透镜半径为25.0 mm,而该区域光斑平均半径仅在11.8 mm左右,故在此区域中可形成一空心圆柱体的隐身区域. 即物体距光轴一定距离范围(11.8 mm

图13 不同参量薄凸透镜构成系统的隐身效果

3.2 三薄透镜光学隐身实验

采用焦距分别为350.0 mm和75.0 mm,对应口径分别为50.0 mm和33.0 mm的双凸透镜共轴共点摆放,测定该三薄透镜系统的隐身区域. 该系统中大焦双凸透镜摆在两侧,小焦双凸透镜摆在中间,得到如图14所示的测量数据图.

图14 光斑平均半径测量数据图3

该三薄透镜光学隐身系统于第一、第二区域中均形成沙漏状透光区域,故在2个区域中均可实现较好的隐身效果. 值得一提的是,三薄透镜光学隐身系统的中间透镜是与两侧透镜以自身2倍焦距共轴共点摆放,如果中间双凸透镜焦距过小,则导致该透镜过厚,不满足“薄凸透镜”的前提条件. 故三薄透镜光学隐身系统对中间双凸透镜的要求较高. 该透镜系统形成的隐身效果如图15所示.

图15 三薄透镜光学隐身系统的隐身效果

4 结束语

本文研究了如何利用双凸透镜构建透镜组来实现近轴光学隐身. 从双凸透镜的数目、焦距、口径等参量出发,讨论了透镜组实现近轴光学隐身所应满足的条件,并建立了四薄透镜、三薄透镜和双厚透镜光学隐身系统3种理论模型,并做了实验探究(由于双厚透镜光学隐身系统的实验现象不明显,故未对其进行实验探究). 通过理论分析和实验探究,得到以下结论:

1)对于四薄透镜光学隐身系统,若要构成隐身区域,摆放的双凸透镜需前后对称,前2个透镜需共轴共焦摆放. 且大焦透镜在两侧,小焦透镜在中间,这样构成的透镜组隐身效果较好.

2)对于三薄透镜光学隐身系统,若要构成隐身区域,中间小口径透镜需以自身2倍焦距点与两侧大口径透镜焦距点共轴共点摆放.

通过构建透镜组实现光学隐身的技术操作简单,效果明显. 因此,本研究可作为学生学习光学知识的实操实验设计[7-8].