基于核心素养的高中数学单元教学策略

赵萍

高中数学单元教学是基于发展核心素养的课程改革的需要。通过整体安排单元教学内容，总结单元教学整体框架和高效路径，提供教师单元教学策略，改变学生当前浅层学习的现状，发展学生的核心素养，以实现“立德树人”的育人目标。

一、借助单元教学，明确教学单元的核心素养

普通高中教科书“圆锥曲线的方程”单元的主要内容包括椭圆、双曲线、抛物线等内容。教学前，总揽全章，从核心素养的角度进行梳理，不难发现本单元蕴含的主要核心素养包括数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理素养。

（一）创设情境，形成定义，发展学生数学抽象素养

教师将一条定长绳子的两端固定在同一个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么曲线？学生们共同回答是：圆。

学生拿出准备好的绳子，同桌合作在白纸上将绳子的两端固定在两个定点上（两定点的距离小于绳长），铅笔拉紧绳子，移动笔尖，得到的轨迹是什么曲线？

以活动为载体，引导学生自己画出椭圆，经历知识的形成过程，积累感性认知，让学生在做中学数学，同时培养学生的直观想象能力。

教师引导学生观察在椭圆形成的过程中哪些量变了？哪些量没变？

引导学生观察两定点的距离和定长之间有无关系？

引导学生类比圆的定义形成，得出椭圆的定义。进一步追问常数等于或小于两定点距离时，点的轨迹存在吗？是什么？

使用信息技术软件（如GeoGebra）画出笔尖移动的轨迹，观察这个轨迹，发现它是一个椭圆或线段。利用信息技术软件可以形象、直观地表明定义中的必备条件，让学生体会数学的理性与严谨，培养学生的数学抽象素养。

（二）类比研究，推导方程，发展学生逻辑推理素养

类比椭圆标准方程的研究过程与方法、建立双曲线的方程，在对比椭圆、双曲线定义的基础上，让学生自主推导双曲线的方程；并对椭圆、双曲线的标准方程进行比较，分析它们结构的异同，发现不同形式的标准方程以及不同点。

教师在教学过程中，激活学生已有的认知结构，用类比思想为研究双曲线找到了方法和策略。通过类比椭圆方程的研究过程，建立的坐标系不同，双曲线方程的表达式也不同，让学生进一步巩固如何建系才能使双曲线的方程更简捷，加深理解根据对称性建系方程更简捷的思想。

（三）自主探究，化简方程，发展学生数学运算素养

推导圆的方程时，由圆的定义列出方程涉及一个根号，所以我们直接平方去掉根號即可，而由定义列出的椭圆方程含有两个根号，直接平方方便化简吗？请同学们试一下。

课堂上，教师可以让前后四人作为一个小组合作交流，看看怎么办？

学生经过交流后发现两个根号在一侧不好化简，可以对这个式子变形，转化成我们熟悉的一个根号的问题再化简，即移项。

通过小组合作突破难点“怎么化简带根式的式子”。利用希沃白板软件的交互性将学生的推导过程投影展示，并请学生本人做简要陈述。教师让学生观察x2、y2的系数以及常数项，考虑怎样能让方程

（a2-c2）x2+a2у2=a2（a2-c2）更简捷。

学生指出两边同时除以a2（a2-c2）。

教师马上问可以除吗？还能让方程  +     =1再简洁吗？

学生回答：因为a2-c2>0，类比圆的标准方程，所以令“b2=a2-c2”。

由此得到了椭圆的方程  +  =1（a>b>0），该方程叫作焦点在x轴上的椭圆的标准。

（四）去伪存真，运用知识，发展学生数学建模素养

焦点在x轴上的椭圆的标准方程  +  =1（a>b>0）；

焦点在y轴上的椭圆的标准方程  +  =1（a>b>0）；

如何从椭圆的标准方程中判断椭圆焦点的位置？

学生经过小组讨论，总结出哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上。

通过归纳总结，强化学生对两个椭圆方程的理解，有助于教学目标的实现，使学生体会类比的思想方法，为后续双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础。

从现实情境中抽象概括出椭圆、双曲线、抛物线的定义，发展数学抽象素养。

观察圆锥曲线形状，通过对标准方程的讨论，研究它的的几何性质，发展逻辑推理素养。

在求圆锥曲线的标准方程中，把握运算的关键点，掌握运算的通性通法，感悟运算的程序性，发展数学运算素养。

将本章具有实际背景的问题数学化，用相应的圆锥曲线的知识方法准确表达数学化过程和结果，从而解决简单的实际问题，发展数学建模素养。

二、立足教学整体观念，做好单元教学设计，聚焦核心素养

为提升学生的核心素养，应立足于数学的整体观念进行单元设计，要通过集体的问题情境激发学生“用数学的眼光看问题并进行数学思考”，以便学生体验和领悟核心素养。

（一）站在“学会抽象”的高度，建立概念

概念的建立过程具有一般性，今天建立概念的模式既是对过去概念模式的再现，又是以后概念建立的基础。比如双曲线概念的教学，笔者课前让学生梳理圆、椭圆的学习过程，研究的一般内容、模式、步骤是什么，形成一份表格。然后再呈现新的情境，这样学习的线索就很明确了。同时，通过双曲线概念的再次强化，“概念抽象”的一般模式就被学生接受了。

案例：双曲线概念的教学设计。

一般说来，研究一类新对象要关注以下几点：（1）它是什么（抽象出一类对象的共同特质、建立概念）；（2）对象命名（类名称与个体的符号记法）；（3）要素分析（构成元素、基本结构）；（4）对象管理（简单分类、每个对象的表达与表现）；（5）对象运算（运算、性质）；（6）概念运用。

类比椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，a>c>0，a2-c2=b2（b>0）

提出双曲线定义：||PF1|-|PF2||=2a，c>a>0，c2-a2=b2（b>0）

类比椭圆标准方程：焦点在x轴上  +  =1；焦点在y轴上  +  =1；推出双曲线标准方程：焦点在x轴上  -  =1；焦点在y轴上  -  =1。

（二）从“学会推理”的高度，提出问题

在教学过程中，要从“怎样进行推理”的角度提出问题，要引导学生围绕“怎样进行推理”进行反思、内省，而不是仅仅关注推理的结果。

当学生对新的领域还比较陌生，对新领域内知识点之间的逻辑关系不清楚时，很难找到研究的线索、方向。采用类比推理，情况就不一样了。所以，波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”同样地，归纳推理也是建立新命题、发展新知识的重要方式。因此，在教学过程中通过恰当的设计，学生的学习就变成了在教师引领下的“再创造”的过程，学生经历“观察、归纳、猜测、计算、推理、验证”等数学活动，推理的能力在潜移默化中得到了提升，从而发展了核心素养。

（三）从“理解算理”的高度，设计题组

变式教学实现了历史过程再现化，形式相同、本质不同的问题同时集中在一起，就便于学习者进行比较、概括与抽象，便于抓住问题的本质，是教师使用最多的一种教学形式。在本单元中，椭圆、双曲线、抛物线的方程与简单几何性质方法彼此都不一样。完全可以在本单元结束后，采用变式题组的办法，将它们集中在一起让学生比较，这具有很好的启发性。

（四）从强化“建模意识”的高度，应用数学

另外，“圆锥曲线的方程”单元整体结构也体现了数学建模的思想：描述现实问题情境—建立数学模型—解决实际问题。在整个单元教学结束时，要组织学生回头看，采用整体回顾的方法，让学生体会整章的知识结构，体验宏观的建模过程，提升建模能力。教师没有建立一种整体的观念，没有整体、全局地看问题，蕴含在其中的大道理、大的邏辑线索没有被觉察出来，学生自然不可能建立正确的数学理解，更谈不上形成素养了。

三、基于自主探究与自我内省，实施好教学过程

单元教学便于教师明了教学单元涉及的核心素养，深入钻研课程标准和教材，根据学生的实际，创设合适的教学情境、以学生为主体，精心安排学生活动，着眼于整体的教学设计，将数学核心素养的提升目标落实到课堂教学中，便于教师在教学中聚焦核心素养，基于学生自主探究，自我内省的教学实施过程，便于学生将活动经验内化为数学素养。

（徐德明）