模型思想在小学中高段数学教学中的渗透路径

■山东省济南市章丘区相公庄学区学校 宋兆财

随着新课改的深入推进，在加强学生核心素养培育的背景下，数学模型思想得到更多关注。作为数学三大基本思想之一，模型思想在数学学习中发挥着重要作用，学生可以在“模型意识”与“模型观念”的引导下提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，促进其数学思维和核心素养的提升。本文以模型思想在小学中高段数学教学中的渗透为关注点，结合人教版小学数学教材提出培养学生模型意识的策略。

一、模型思想应用于小学中高段数学教学中的必要性

（一）基于课程标准

问题解决是新课标中小学数学教学的整体目标。学生在学习数学的过程中提出问题，利用掌握的数学知识提出解决方法，并在交流思考中判断问题解决的合理性。同时，新课标对模型思想的应用也提出要求，应做到在教学内容设计中突出显模型思想，强调模型建立及求解过程。由此可见，模型思想的渗透并不是与教材内容的简单融合，而是应根据教学内容及学生特点确定合理的渗透方式与渗透程度。在教学实践中，可以通过模型思想解决运算律、加和减等数与代数问题，以及平面图形周长和面积、立体图形体积和表面积等几何问题，学生通过构建数学模型探寻解决问题的思路与方法，进而实现模型思想在小学中高段数学教学中的渗透。

（二）基于教材内容

教科书编排以课程标准为基础，基于教材编排的模型思想渗透主要体现在数学模型内容及安排形式两个方面。

首先，数学教材中数学模型思想主要应用于“问题解决”的过程中，结合教材编写内容来看，数学模型可以分为数与代数模型、图形与几何模型以及统计与概率模型。通过数学模型，学生可以对相关数学知识进行分析与整合，从而提高问题解决效率。

其次，对人教版小学数学教材来说，在内容安排上并没有设置专门的“问题解决”模块，而是通过课后练习、“做一做”等培养学生知识运用及问题解决能力。例如，人教版小学数学教材五年级下册第三单元《长方体 正方体》中设置有砖墙体积和包装盒体积计算，同时还引入了生活中的蓄水池等案例，通过基本的长、宽、高计算来实现数学模型的运用。在此过程中，学生不仅要加深对模型的印象，还应理解模型猜想、建立、验证的全过程。

（三）基于学生学情

小学高年级数学学习逐渐向形式运算阶段发展，学生思维开始从形象向抽象转变，进而通过归纳与分析了解事物之间的关系。根据课程标准以及教材内容可以发现，数学问题解决能力的培养主要集中在小学中高段（四、五、六年级），随着知识的不断积累，学生解决问题的难度逐渐提升。而且，模型思想培养与中高段学生的认知水平相适应，因此将模型思想渗透于小学数学教学中十分必要。

二、小学中高段数学渗透模型思想教学流程

（一）创设问题情境

问题情境创设是运用模型思想的第一步，即通过情境将数学问题表现出来，实现数学与生活的连通。创设问题情境应符合三个条件，一是选取现实生活中可能存在的合理素材，避免与生活实际脱节，进而将数学模型从日常生活中抽象出来；二是与学生生活密切相关，学生可以通过已经掌握的数学知识了解和体会情境；三是问题情境的设置应做到充分、准确、结构良好，可以帮助学生解决数学问题。

（二）提出数学假设

完成情境创设后，可以根据其中的数学信息发现数学问题、提出数学假设，帮助学生加深对相关数学问题的了解。在这一环节，学生应对情境中涉及的数学信息进行关联性判断，识别有关数学要素，明确要素之间的数学关系，进而正确叙述数学问题。其中，对学生的阅读理解能力与信息获取能力提出更高要求。通常情况下，可以根据问题情境中的具体条件推测数学问题，如当给出物品数量及单价条件后，可以推断问题为“一共要花多少钱”；给出鸡、兔的头和脚的数量后，推断问题为“鸡、兔分别有多少只”等。

（三）构建数学模型

构建数学模型是运用模型思想的关键步骤，根据得到的数学问题，通过数字和符号建立数学模型，并调动与该问题相关的数学知识。这一环节对学生的问题表达能力和信息推理能力都提出了较高要求，而结合整体小学数学教学来看，数学模型发挥着承上启下的系统性作用。新数学模型是旧数学模型的拓展与延伸，二者在本质上具有一定的共通性，因此在教学实践中教师应重点掌握新旧数学模型之间的联系，引导学生以旧数学模型为基础，完成新数学模型的建构。

（四）数学模型求解

数学模型求解就是在完成数学模型建立后，运用正确方法得出结果，主要锻炼的是学生的运算能力。如果对方法型、结构型数学模型求解，学生需要运用相关的运算定理与法则得出数量关系式，再进行运算；如果对概念型数学模型求解，学生则需要在各种教学活动中理解数学模型，并实现情境问题的初步解决。

（五）数学模型验证

数学模型验证包括模型检验及问题解答两个环节。模型检验指的是将模型求解结果代入实际问题中进行对比，确定各个条件的合理性，判断数学模型运用的正确性与适用性。在此过程中，应理清各数学要素之间的关系，若存在问题则需要重新建模。问题解答则是对数学模型意义的延伸，这也体现出模型思想的运用就是通过数学认识、思考和表达体现数学意义。因此在这一步骤中，教师应引导学生通过问题解答应用数学，充分发挥出数学模型的作用与价值。

（六）数学模型应用

数学模型应用就是将数学模型运用到具体情境中，根据具体的运用情况对学生数学模型掌握水平进行检验。随着模型思想的应用，学生对数学模型的来源、建立与使用已经产生初步认识，为模型的迁移与拓展打下基础。学生在数学模型提取与应用中主要通过一系列巩固练习理解情境设置、推断数学问题、梳理数学信息，并将其以数学模型的形式呈现出来，帮助学生真正意义上掌握数学模型的意义与用法。

三、数学模型在小学数学教学中的渗透——以《百分数》为例

（一）教学内容选取

结合对人教版小学数学教材的分析，选择六年级教材中“百分数”相关知识作为研究内容，同时结合分数乘法、分数除法等知识实现对百分数章节中方程内容的深入学习。教学实践中，教师应带领学生完成数学模型的构建与应用，让学生可以通过模型思想解决数学问题。

（二）教学实践过程

1.创设问题情境。

教师可以通过图片、视频等方式进行课程导入，向学生展示情境图片，提出问题：“大家在生活中观察过这样的情景吗？图上展现了怎样的数学问题？”学生认真观察图片并进行解读，通过简练的语言将数学问题表述出来：“通过货车运输苹果，已经运输完成40%，还剩下54吨，一共有多少吨苹果？”

运输苹果的数学情境与学生的现实生活联系紧密，学生可以通过观察图片信息理解情境设置、发现其中蕴涵的数学问题，进而激发学生学习数学和解决问题的积极性。完成问题情境的展示后，教师可以引导学生思考解题思路，帮助学生形成良好的解题习惯，提高学生题意表述能力。创设问题情境是运用模型思想的基础，学生在教师的启发下明确数学问题，寻找相关数学信息。值得注意的是，创设情境应与小学生的认知水平相适应，因此教师要加强对学生生活环境与实际情况的了解。

2.提出数学假设。

教师对学生的思路进行引导，转换题目表述方式，明确题目中条件的数量关系。在这一环节中，教师引导学生对数学情境进行解读，提出假设形成相应的数学问题。考虑到小学生的认识水平与接受能力尚在发展中，教师应细化模型分析过程，逐步带领学生理解数学模型。通过互动交流，学生可以观察、比较、分析，进行信息整理。模型分析期间，教师运用启发性语言引导学生通过绘制线段图的方法表达数量关系，既可以降低学生理解题意的难度，又可以拓展学生思路，为问题解决打下基础。学生通过画图还可以进一步加深对“百分数”含义的理解，掌握“百分数”知识的本质。

3.构建数学模型。

教师组织学生进行小组讨论，提出通过方程进行求解。画线段图的方法为数学关系模型建构打好基础，教师让学生以小组为单位进行讨论，学生可以在沟通交流中表达自身观点，提高参与数学模型建构的积极性与主动性。不同的学生提出了不同的思路，但模型构建的本质是一致的，都是表现出苹果总数、运走部分与剩下部分的关系。在此过程中也可以进一步看出学生是数学模型构建的主体，教师则作为组织者与引导者，将主动权交给学生，对学生的解题思路表示肯定。通过这样的形式，可以有效锻炼学生解决问题的能力，充分发挥学生的主观能动性，通过简单、便捷的方法表现等量关系。

4.数学模型求解。

学生提出具体的解题思路后，按照具体方法实施，得出计算结果，可以在黑板上写出具体的解题过程。教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并对问题进行求解。学生经过讨论得到不同的解题方法，进而在解决问题的过程中有效巩固已有知识，同时加深对新知识的掌握。在对数学模型求解的过程中，一方面，教师应指导学生明确方程求解原理，加深对方程的理解；另一方面，应要求学生根据具体的数学情境使用数学符号，将二者联系起来，更好地得出数学问题的答案。

5.数学模型验证。

为了判断计算的准确性，教师还要带领学生进行数学模型验证。数学模型验证环节表明，得到计算结果并不是解决数学问题的全过程，学生应树立科学严谨的数学精神，对相关结论进行验证。在此过程中，教师应对学生的验证方法进行引导，帮助学生在短时间内验证结论，同时明确模型验证在解决实际问题中的重要性，充分发挥数学模型的作用。

6.数学模型应用。

根据上述解题过程，教师还可以向学生提出类似的问题，让学生展开实践探究。学生按照明确数学问题、分析数学信息、建立数学模型的方法得到等量关系，并对得出的结论进行检验，判断模型是否正确。通过数学模型的应用实践，可以看出学生已经对百分数方程的建模过程有了一定的认识，掌握了模型建构的一般方法，为相关数学知识的运用打下基础。教师根据教学内容设计一系列的巩固练习，可以帮助学生掌握不同情境下数学模型应用要点，同时帮助学生对课堂知识进行回顾、整理和总结，逐步引导学生对百分数问题形成清晰认知，并通过列方程的方法解决类似问题，促进了学生数学学习成效的提升。

（三）教学实践要点

1.注重模型思想应用的生活性。

在教学实践中，教师应充分认识到数学模型与现实生活的联系，因此为了加强学生对模型思想的理解与应用，教师应从真实的生活情境出发，为学生数学模型的应用提供条件，同时引导学生用数学语言阐述生活现象和解决实际问题。对于“百分数”相关内容的教学来说，教师同样需要在把握教学内容本质的基础上充分挖掘与数学模型相关的生活素材，引入“超市折扣”“货物运输”等实例完成教学任务设计，使学生可以在生活情境中应用数学模型。具体来看，模型思想应用的生活性主要体现在两个方面：一是模型内容的生活性，数学模型应通过生活性元素构成，便于学生理解与应用；二是模型讲解的生活性，学生在完成相关任务的过程中，教师应进行针对性讲解，同时注意联系生活实际，为学生补充一定的生活常识。值得注意的是，为了进一步体现模型应用的生活性，教师还应设计更具开放性的任务，为学生提供足够的思考空间，加深对相关知识的理解。

2.实现知识资源的整合与发展。

模型思想也是在数学教学中整合碎片化知识的一种有效手段，为避免碎片化认识对教学流程的顺利推进产生影响，教师还应注重开展系统化教学，加强对教学资源的整合，促进自身模型思想教学素养的提升。通常情况下，教师模型思想素养发展主要依靠师范教育、个人学习以及专业培训，因此在教学实践过程中，应通过上述途径发挥相应的提升作用。

四、结语

综上所述，作为课程标准中的核心概念，模型思想可以引导学生通过数学眼光观察世界，将数学知识应用于现实问题的解决中。将模型思想渗透于小学数学教学中有利于培养小学生解决问题的能力，促进其数学核心素养的提升。在教学实践中，教师应加强对模型思想运用的重视，逐步引导学生完成模型构建、模型求解、模型应用的过程，帮助学生实现对模型实现的深化，为提高其数学学习质量提供保障。