谈谈分式化简的几个小技巧

李红艳

初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.

首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.

其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项” 时，一定要注意整个式子的符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.

第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化筒分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的 “约分”或“消项”做准备.

例1化简.

分析：先计算，采用“通分” 处理可得，再结合后面的计算最终结果.

解：

评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（），再利用“约分”去掉共同项即可得出最后结果.

变式：化简.

分析：该题同例1，利用“通分”处理（  ），得到，结合后面的，

利用“约分”抵消项，最后算出结果即可.

解：

评注：先计算括号里的内容，利用“通分” 处理（）得到，整个式子就 ）

变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.

例2  化简.

分析：解答这道题，可以先把题目中（xy- x） 因式分解为（），这样与后面的  有共同项（x-y），再通过“约分”抵消，得到结果.

解：

評注：通过“因式分解”（xy-x2），找到共同项（x-y），再利用乘除法全部或部分“约去” 共同项，从而简化分式，得出结果.

变式：

分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.因式分解为，

因式分解为，最后综合

求解即可.

解：

评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.

例3  化简

分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到 ，此时观察发现可以“提取公因式” ，得到.然后再运用

“通分”处理得，最

后综合计算，得出结果.

解：

评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为，然后再计算最

后答案.

变式：化简.

分析：对分母进行因式分解可得，然后提取

公因式可得再通

分可得最后求

解：

评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理程过中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.

分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取公因式”等技巧，一定能攻克分式化简的各种难题.