巧作三角形的中位线妙解题

王卓勋

三角形中位线是三角形中至关重要的线段.它平行于三角形的第三条边，且等于第三条边的一半.通过中位线可以得到一些相等的角和成比例的線段，因此，中位线定理在几何证明，以及线段、角度求值等问题中有着广泛的应用.但某些几何问题中并不会直接表明对应三角形的中位线，此时同学们就要深入挖掘问题中的隐含条件，添加辅助线构造中位线，进而借助中位线的性质来解题.

一、连中点，构造三角形的中位线

在求解某些数学问题时，若题中出现两个或多个中点，我们不妨先将中点连接起来构造中位线.若已知共端点的两条边的中点，连结这两边的另一端点，即可构造出含有中位线的三角形;若已知两条无公共端点线段的中点，那么可取第三边的中点，构造两条中位线，进而利用中位线定理解题.

例1  如图1，平行四边形ABCD的对角线相交于O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点.求证：EH = FG.

分析：观察图形，结合已知条件，连接 EF、HG，则线段EH与FG是四边形EFGH 的一组对边，只需证明四边形EFGH是平行四边形即可得证.利用三角形的中位线定理很容易证得四边形EFGH是平行四边形.

解：连接EF、HG，

∵E、F、G、H 分别是 AB、OB、CD、0D

的中点，

∴EF、GH分别是△A0B和△COD的中位线，

∴EF//OA，GH//OC，

且

∴EF//GH，

∵在平行四边形ABCD中，OA= OC，∴EF=GH，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴EH = FG.

评注：本题已有四条线段的中点，因此首先考虑应用三角形中位线定理.通过连接中点可以明确各中位线的关系，再以各中位线，构成的图形为中间桥梁，求证结论.

二、证中点，构造三角形的中位线

在解答某些几何问题时，常常会遇到一些中点位置较为隐蔽的问题.当题目给出的图中不存在中点，但求证的结论与三角形中位线定理很类似时，同学们要注意巧作辅助线，先证明线段的两端点为三角形两边的中点，明确三角形的中位线，再利用三角形中位线的性质解题.

例 2  如图2，在△ABC 中，∠BAC、∠ACB 的平分线AD、CE相交于点M，BF⊥AD于点 F，BG ⊥ CE 于点 G，若 AB = 11，5C = 16，AC = 21，求FG的长.

分析：欲求FG的长，需要先证FG与 △BPN的关系.观察图形，若延长BF交AC 于N，由已知条件，易证△ABF≌△ANF，进而得到BF=FN，即F是BN的中点.同理，延长BG交AC于点P，易知G是BP的中点，这样可知FG是△BPN的中位线.最后再根据三角形中位线性质即可求出FG的长.

证明：延长BF交AC于N，延长BG交 AC于点P.

∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线

∴∠BAF=∠NAF.又∵BF⊥AD 于点 F，

∴∠AFB= ∠AFN.

在△ABF和△ANF 中，∠BAF=∠NAF，

AF=AF，∠AFB=∠AFN，

∴△ABF≌△ANF

∴AB=AN，BF=NF，即F是BN的中点.

同理可证得△BCG≌△PCG，

∴BC=PC，BG=PG，即G是BP的中点.

∴FG是△BPN的中位线.

∵NP=AN+PC-AC=11+16-21=6

∴FG=1/2NP=3.

评注：本题看似与中点无关，但若巧作辅助线，再寐系已知条件，易证F、G分别为 BN、BP的中点，即FG是△BPN的中位线，这样再利用三角形中位线的性质便可以轻松解题.

三、添中点，构造三角形的中位线

如果题目已知三角形一边的中点，而另一个中点不明确，不能构成三角形的中位线时，同学们要注意观察图形特征，通过取三角形一边的中点或倍长中线等方法添加一个中点，然后将两个中点连接起来，构成三角形的中位线，再利用三角形中位线的性质解题.

例3  如图3，AD是△ABC的中线，点E 在AD上，延长BE交AC与点F.若AE = 3ED，求的值.

分析：本题一个中点已知，而另一个中点未知.若过点D作DG//CF交BF于点G，可得DG是△BFC的中位线，这样根据三角形中位线性质，就可以得到DG = CF，CF= 2DG； 再证明△DEG∽△AEF不难求出的值.

解：如图3所示，∵AD是△ABC的中线，∴BD = CD.

过点D作DG//CF交BF于点G，∴BG=FG，

∴DG是△BFC的中位线，

∴DG = ^CF，即 CF = 2DG.

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评注：利用三角形中位线性质构造相似三角形，是证明线段“倍分”关系的常用策略. 本题过现有中点D作平行线，得出DG是 △BFC的中位线，再通过证三角形相似，得出相应的比例关系，进而求出线段的比值.

总之，三角形的中位线与三角形的中点密切相关.当题目已知条件中有明确的中位线时，直接利用中位线的性质即可探求出线段之间的数量关系和平行关系；若题目已知条件中只有一个中点或中点位置较为隐蔽时，同学们要注意结合题目特点，巧添辅助线，构造中位线，再灵活利用三角形中位线的性质解题.