充分把握定义,正确区分求解——以2023年数学新高考Ⅰ卷第6题为例

广东省佛山市南海区狮山石门高级中学 (528225) 白庆全

直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要知识点,成为高考中非常常见的一类基本考点.涉及直线与圆的位置关系的综合应用问题,其巧妙融合入点、直线、圆、角等相关元素之间的联系与应用,成为高考命题的一大热点,常考常新,创新点多,以基础为基点,借助概念拓展、公式应用等多视角、多层面展开,注重数学基础知识、数学思想方法和数学能力等方面的考查.

1.真题呈现

(2023年新高考Ⅰ卷·6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=( ).

2.真题剖析

此题以直线与圆的位置关系为问题场景,利用圆外一点向圆引两条切线,结合两切线的夹角的正弦值的求解来设置问题.巧妙将平面解析几何与三角函数的知识加以有机链接,实现高考“在知识交汇点处”设计命题的指导精神.

2.1 错误解析赏析

题目比较熟悉,难度不大.但在具体解答过程中,一般答案正确,过程会出现错误,具体解答过程如下:

2.2 错误根源辨析

3 真题破解

3.1 解析几何思维

图1

解后反思：根据圆的切线的性质确定切线长,回归直角三角形的图形直观,借助三角函数的定义求解相应的三角函数值,并通过倍角公式的应用来进一步分析与求解,结合所求角与两条直线的夹角α之间的关系,利用诱导公式加以变形与转化.解答过程中,要注意所求的角∠APB与两条直线的夹角α之间的联系,这也是问题的关键所在.

解后反思：根据题意设出对应的切线方程,利用圆的切线的性质并结合点到直线的距离公式构建关于切线斜率的二次方程,利用韦达定理,结合两直线的夹角公式加以求解,并通过同角三角函数基本关系式来分析与求解.两直线的夹角公式在现行教材中没有出现,往往是作为课外阅读提升的知识点加以介绍,供一些有兴趣的学生理解.

3.2 解三角形思维

解后反思：根据圆的切线性质确定切线长,回归平面图形的本质,在两个对角为直角的平面四边形中,借助两切线的连线在两个不同的三角形中,利用余弦定理或正弦定理等来合理构建关系式,结合诱导公式的应用以及平方关系来转化与求解.表面上是解析几何问题,实质通过解三角形思维来处理,思维巧妙,方法新颖.

4.变式拓展

为了进一步正确识别所求的角∠APB与两条直线的夹角α之间的联系,避免出现解析过程不完备而答案正确的结果,可尝试通过以下变式问题来达到目的.

变式1 过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则cosα=________.

变式2 过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则tanα=________.

5 教学启示

直线与圆是平面解析几何中最简单的基本图形,又是初中平面几何中的基本图形之一.直线与圆两者之间的位置关系的综合应用问题,有效链接起初中与高中的相关知识,实现众多知识点之间的交汇与融合,同时又涵盖函数与方程、数形结合、分类讨论等基础数学知识与基本数学思想等,一直成为各级各类考试的必考内容和热点内容之一,要加以系统理解与掌握,重视基础,重在平时.

借助直线与圆的位置关系,可进行平面几何直观操作,也可解析几何数学运算,对于问题的设置与创新应用都很有益处.特别借助典型高考真题的“一题多解”,发散思维,进一步结合“一题多思”、“一题多变”等探究,可以让学生解题思维更加开阔,解题思路更加活跃,数学知识的掌握更加熟练,问题的破解更加快速有效,从而全面提高学生的知识水平和思维能力,养成良好的数学品质,培养数学核心素养.