天体物理问题的运算策略及其数学原理

徐显涛

(湖北襄樊保康一中)

天体物理问题的运算是很多学生久攻不克的难点.客观上是因为“天文数字”庞大又难算,主观上则是因为未能利用数学原理合理近似,辅以算理简化过程.本文以典型题目为例,总结一些实用的运算策略,并解释背后的数学原理,以便师生从了解“天文数字”的概念转变为真正领会天体物理问题中基础运算的本质规律.

1 两个近似

虽然万有引力常量G值的精度不断提高,但在高中范围内取G＝6.67×10—11N·m2·kg—2即可,尽管如此,计算三位有效数字仍很麻烦,注意到6.666…≈6.67,于是有,相对误差不到千分之一.虽然目前无法从数学上证明G值是有理数,但这样的分式方便一般精度的化简,能大大提高G值的运算效率.

若把天体实际运行的椭圆轨道简化为便于运算的圆轨道,由万有引力提供向心力有,化简有,因此开普勒第三定律中的常量k实际上等于.已被证明为无理数的π的运算本就让广大师生无所适从,一般只能近似取为3.14,平方后得π2≈9.8696,在数值上十分接近常见的重力加速度g,因此可近似取为9.8,相对误差不到百分之一.例如月—地检验时,已知月球中心和地球中心的距离r约为4×108m,月球公转周期T约为2.4×106s,则月球绕地球做圆周运动的向心加速度,数值上取π2≈g,除以g得

从而证实了地面物体所受地球的引力和月球所受地球的引力都遵从同样的规律,这里并没有算出a的具体值,而是采用了“作商比大小”的数学原理,精准地给出了物理结论的实验依据.精度要求不高时甚至可仿照g取为10的习惯操作,于是有N·m2·kg—2,系数与实际值0.169…的误差略大于百分之一.

事实上,在计算机出现之前,天体物理问题能算出一位有效数字已属不易,有时候甚至只要求算出数量级即可.在此情况下,以上两个近似非常有利于徒手运算.例如太阳与地球间的平均距离r约为1.5×1011m,地球公转周期T约为3×107s,所以太阳质量

这里没有分开算r3和T2,而是注意到r3＝r·r2,而,刚好约去,很快算出M≈2×1030kg.可见,在天体物理问题的运算中适当变形可事半功倍.

2 比值运算

万有引力定律和库仑定律都是典型的平方反比律,时常要比较两个力的相对大小以决定能否忽略其中某个力,类似上面的月—地检验,无须计算具体大小,直接作商就可简化运算.

例1太阳质量M1大约是月球质量M2的2.7×107倍,太阳到地球的距离r1大约是月球到地球距离r2的3.9×102倍,试比较太阳和月球对地球的引力.

例2金星的半径r′是地球半径r的95%,质量M′是地球质量M的82%,求金星表面的自由落体加速度g′及金星的“第一宇宙速度”v′.已知地球表面的自由落体加速度为g,第一宇宙速度为v,忽略金星和地球的自转.

3 高考拓展

计算是学习功底的深刻体现,不局限于天体问题,各省甚至全国物理高考都不乏需要大量运算的问题.

例3(2022年湖北卷)我国高铁技术全球领先,乘高铁极大节省了出行时间.假设两火车站W和G间的铁路里程为1080km,W和G之间还均匀分布了4个车站.列车从W站始发,经停4站后到达终点站G.设普通列车的最高速度为108km·h—1,高铁列车的最高速度为324km·h—1.若普通列车和高铁列车在进站和出站过程中,加速度大小均为0.5m·s—2,其余行驶时间内保持各自的最高速度匀速运动,两种列车在每个车站停车时间相同,则从W到G乘高铁列车出行比乘普通列车节省的时间为( ).

A.6小时25分钟 B.6小时30分钟

C.6小时35分钟 D.6小时40分钟

选项B正确.

总之,借助基本的数学原理灵活变通,既能让物理计算又快又准,还能激发学生学习物理的兴趣和攻坚克难的勇气,并在寻常处找到不寻常的结果.

(完)