水平低频谐变电偶极子源在地下介质中的电磁响应特征

谢兴兵，徐剑明，周磊，李弘

1.油气资源与勘探技术教育部重点实验室(长江大学)，湖北 武汉 430100

2.中国石油化工股份有限公司中原油田普光分公司，四川 达州 635000

3.中石化石油物探技术研究院有限公司，江苏 南京 211103

水平低频谐变电偶极子在地下介质中激发产生的电磁波传播和响应分布规律的研究，对地球物理勘探和地下无线电通讯等领域具有重要的实用价值。对地球物理勘探领域而言，随着数值模拟技术以及计算机硬件的快速发展，可控源电磁法的三维正演模拟已基本实现[1-2]。但其计算速度大大限制了可控源电磁法的三维正反演实用化步伐[3-6]。主要是由于在可控源电磁法三维正演模拟时的一次场计算常采用数值滤波算法[7-9]，需要占用计算机大量的计算时间。为了加快可控源电磁法三维正反演技术实用的步伐，提高可控源电磁法三维正演模拟的一次场的计算精度和速度势在必行，因此推导水平低频谐变电偶极子源在地下介质中响应的解析表达式具有重要的现实意义。为此，本文从谢昆诺夫势函数出发，应用边界连续性条件，利用索墨菲尔德积分以及福克积分公式，经过严格数学推导得到了准静态近似条件下水平低频谐变电偶极子源在地下介质中产生的电场和磁场分量的解析表达式，不仅可以深入揭示电磁波在地下介质中传播和响应的分布规律，而且也可将其应用在可控源电磁法三维正演模拟的一次场计算，将加快可控源电磁法三维正反演技术的实用化。

1 地下电磁场的解析求解

假设水平电偶极子沿X方向位于均匀各向同性大地介质的表面，从麦克斯韦方程组出发可得到波数为k0的上半空间的TM势函数A0(x，y，z)和TE势函数F0(x，y，z)[10-14]：

(1)

(2)

在波数为k1的下半空间的TM势函数A1(x，y，z)和TE势函数F1(x，y，z)分别为：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：y0=σ0+iωε0；y1=σ1+iωε1；σ0、σ1分别为上、下半空间的电导率，S/m；ε0、ε1分别为上、下半空间的介电常数。

将式(5)和式(6)带入到式(3)和(4)可得：

(7)

(8)

根据TM势和TE势与电磁场的关系可以求得均匀半空间情况下水平低频谐变电偶极子源在地下介质中产生的电场E和磁感应强度B在X，Y，Z三个方向的表达式为：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

对式(9)～(14)利用Foster恒等式[15-16]得：

(15)

再利用Sommerfeld恒等式得：

(16)

进行化简变换得到位于地表的水平谐变电偶极子在地下介质中的电磁场的解析表达式为：

(17)

(18)

(19)

(20)

(22)

2 解析解正确性验证与计算速度

当一水平电偶极子源铺设于地表时，在地下介质中和地表产生的电磁场各分量利用解析解和数值解分别计算。设在电阻率为10 Ω·m均匀半空间的地表原点处，有一电偶极矩为1 A·m沿着X方向布设的发射电偶极子源，水平X方向和Y方向分别从-1 000～1 000 m，垂直Z方向(向下为正)从0到地下1 000 m三维空间内分布有网度为100 m×100 m×100 m的测点，共计4 851个测点，发射频率从10 000～1 Hz，共21个以对数等间隔分布的频点。分别采用解析解和数值解计算每个测点的电磁场分量，图1为均匀半空间地下100 m(Z=100 m)XY平面频率为1 Hz时两种方法计算的电磁场分量响应结果。由图1可知，解析解和数值解的计算结果完全一致。同时采用同一台计算机，测试了两种不同方法计算4 851个测点各个分量所需要的总时间，两种计算方法都是串行计算，占用同样性质的一个计算内核，通过程序测定解析解耗时4.8 s，数值解耗时236 s，解析解比数值解快约50倍。不仅说明本文推导出的解析解表达式的正确性，而且证实解析解计算速度更快。

图1 均匀半空间地下Z=100 m处电磁场分量响应平面图(频率为1 Hz)

为了进一步验证本文推导出来的水平低频谐变电偶极子源在地下介质中的电磁场解析表达式的正确性。图2给出了坐标为(100，500，100)处的接收点的均匀半空间中电磁场随频率变化曲线。对比本文推导出的解析解与Kerry Key数值解计算的3个电场分量以及3个磁感应强度分量的结果曲线可知，每个分量在整个频带范围内基本重合，说明本文推导出来的水平低频谐变电偶极子源在地下介质中的电磁场的解析表达式是正确的。

图2 接收点(100，500，100)处的电磁场随频率变化曲线

3 电磁场随深度变化特征

图3是以源为中心两个正交方向不同深度电磁场响应变化图。当电偶极子沿着X方向时，在以源为中心的两个正交方向上，垂直于源方向的电场分量Ey和沿着源方向磁场分量Bx为0，而在地下介质中的其他位置，所有电磁场分量都不为0，且水平电偶极子源激发的电磁场具有明显的方向性，这在地井电磁勘探中是非常关键的。

图3 以源为中心X和Y两个正交方向不同深度电磁场响应变化图(频率为1 Hz)

4 结束语

从谢昆诺夫势函数出发，利用边界连续性条件，推导出位于地表的水平电偶极子源在地下介质中的电磁场响应解析表达式。其计算结果与Kerry Key的数值解计算结果完全一致，解析解的计算速度远高于数值解，这将提高可控源电磁法三维正演模拟中的一次场计算的精度和速度，为可控源电磁法三维正演技术提供基础支撑。

感谢Scripps海洋研究所Kerry Key提供的数值计算程序。