解答二面角问题的三种措施

苏其亮

二面角问题经常出现在立体几何试卷中.此类问题侧重于考查同学们的空间想象、直观想象和逻辑推理能力.那么求解二面角问题的措施有哪些呢？下面结合实例进行探讨.

一、利用定义法

一般地，用二面角的平面角的大小来表示二面角.定义法是指根据二面角的平面角的定义来解题.通常在二面角的棱上选取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两条射线所成的夹角即为二面角的平面角.因此在求二面角的大小时，往往要先确定二面角的平面角；然后根据射线的位置，构造出直角三角形，根据正余弦定理、勾股定理来求平面角的大小.

运用定义法解题，最重要的一步便是找到二面角的平面角.在解答本题时，首先要根据二面角的平面角的定义，找到平面 SAM、AMB 及其棱 AM ；然后在两个平面内作 AM 的垂线 BF，GF ，则∠GFB 即为所求二面角的平面角.

二、构造向量

向量法是指通过构建空间直角坐标系，将问题轉化为空间向量问题来求解.首先需根据题目中给出的信息和几何图形，确定或构造三条相互垂直的直线，并将其作为x，y，z轴，来建立空间直角坐标系；然后求出各个点的坐标以及两个平面的法向量、；再根据数量积公式得 cos < ， >=；最后还需根据图形判断所求的二面角是锐角还是钝角.

运用向量法解答二面角问题，需建立合适的空间直角坐标系，通常要使较多的点落在坐标轴上，这样能减少运算量.在解答本题时，以 AC、AD、AP 所在的直线为 x、y、z 轴，就能快速求得各点的坐标.

三、采用垂面法

用垂面法求解二面角问题，要先根据题意寻找垂直关系，作一个与二面角的棱垂直的平面，其与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角，此时平面角就在垂面内；然后根据平面几何知识，如正余弦定理、勾股定理、三角形的性质、平行四边形的性质求平面角的大小，即可解题.

运用垂面法解答二面角问题的关键是确定垂面.本题中，SA ⊥平面 ABC ，DE 垂直平分 AC、SC ，即可根据此垂直关系，利用线面垂直的判定定理找到二面角的棱 BD 的垂面 SAC .再在直角三角形 SAB、SAC、 ABC 中，根据勾股定理进行求解，即可解题.

综上所述，定义法、向量法、垂面法都是解答二面角问题常用的方法，其中定义法的适用范围较广，向量法和垂面法的适用范围较窄，却比较便捷，能有效地简化解题的过程，提升解题的效率.