对一道平面向量数量积问题的解法的探究

巫入云

在解答平面向量问题时，我们经常会遇到向量的数量积问题.此类问题侧重于考查平面向量的基本定理、共线定理、数量积公式、向量的模的公式以及平面向量运算法则的应用.下面结合一道平面向量数量积问题，探讨一下解答此类问题的方法.

题目：如图，圆 O 是半径为1的圆，OA =，若 B， C 為圆上的任意两点，求?的取值范围.

一、采用基底法

基底法是解答平面向量问题的重要方法.在解答平面向量数量积问题时，可以将已知大小或坐标的一组向量作为基底，结合几何图形，根据平面向量的基本定理、共线定理，用这组基底表示出所求的向量.再利用向量的数量积公式 a?b = |a|? | | | | bcos θ 以及向量的模的公式 |a| = a 2 ，通过向量运算求得向量的数量积.

解：

我们根据平面向量的基本定理，用基底CO、OA、CB 表示出AC?CB ，采用基底法，将问题转化为关于 | |CB 的二次函数最值问题，进而利用二次函数的性质求得AC?CB 的取值范围.

二、建立坐标系

对于对称图形问题，通常可根据图形的对称性建立直角坐标系，将向量用坐标表示出来，根据向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及向量的数量积公式来求解.一般地，若 a=（x1，y1），b =（x2，y2） ，则向量的数量积 a?b = x1 x2 + y1y2 .

解：

由于圆为对称图形，所以以圆心为原点来建立直角坐标系，即可快速求得各个点的坐标.在建立坐标系时，要合理选择原点的位置，这样才能有效减少运算量.

三、构造三角形或平行四边形

我们知道，平面向量加法的几何意义是三角形法则和四边形法则.因此在解答平面向量的数量积问题时，可将所求向量的模长视为三角形的边长或平行四边形的对角线长，构造出三角形或平行四边形，进而利用三角形或平行四边形的性质来解题.

解：

在构造平行四边形时，往往要将所求向量的模长看作平行四边形的边长、对角线长，将向量之间的夹角视为平行四边形的内角，这样便可直接运用平行四边形的性质解题.

相比较而言，基底法和坐标法比较常用，构造法较为灵活，但无论运用哪种方法求平面向量的数量积，都需灵活运用向量的数量积公式以及平面向量的运算法则，从“数”“形”两个角度寻找解题的思路.