杆长误差和运动副间隙对平面机构运动可靠性的影响分析

杨 晓

(四川省广汉市职业中专学校,四川 广汉 618300)

0 引言

在机械加工和装配过程中,机构的尺寸误差和运动副间隙是不可避免,这将导致机构的实际运动和理想运动存在一定的偏差。对于精密设备而言,这些偏差可能导致运动精度下降、可靠性降低以及使用寿命缩短。平面机构广泛运用于工业设备中,很多设备的基本运行原理都可以简化为平面机构的组合,如:牛头刨床中可以简化为曲柄摇杆机构,往复式活塞发动机的运动可以简化为曲柄滑块机构等。

近年来, 众多学者提出了不同的方法和模型对平面机构的运动可靠性进行了分析。文献[1,2,3]采用赫兹碰撞理论对运动副间隙接触进行建模,在此基础上建立平面机构运动的动力学方程从而分析执行部件的可靠性。基于接触理论进行建模较为复杂,很多参数难以直接测量,在实际工程中应用较为困难。文献[4,5,6]分析了具有杆长误差的平面运动机构可靠性并开展了优化设计,这些研究中忽略了运动副间隙的影响。

为了综合分析杆长误差和运动副间隙对于平面机构运动可靠性的影响,本文将以曲柄滑块机构为例,根据概率方法对杆长和运动副误差建模,在此基础上建立曲柄滑块机构的运动学模型,并采用蒙特卡洛方法对机构运动可靠性进行分析,为精密机械的可靠性设计和研究提供技术支撑。

1 平面机构建模

本文的研究主要围绕平面机构运动学展开,根据理想刚体假设忽略了杆件及运动副的变形和磨损等因素,仅考虑杆长误差和运动副间隙对机构运动可靠性的影响。

1.1 机构组成

以典型的曲柄滑块机构为例,在曲柄滑块机构中包含两个杆件L1和L2,包含3个运动副C1、C2和C3,运动副与杆的连接关系如图1所示。其中L1为曲柄,绕运动副C1旋转,其转动角与水平方向的夹角为α。曲柄L1与连杆L2通过运动副C2连接,L2与水平方向的夹角为β。连杆L2与滑块通过运动副C3连接,滑块与运动副C1的距离为s。

图1 曲柄滑块机构示意图

1.2 杆长误差建模

对于大量生产的同一型号的连杆而言,其实际尺寸受到多重因素的共同作用,因此可以假设其实际分布符合正态分布。因此曲柄和连杆的长度可以表示为:

(1)

其中,μi、σi分别为第i个杆件的长度的期望和标准差。

1.3 运动副间隙误差建模

曲柄滑块机构中的运动副主要包括转动副和滑动副。曲柄滑块机构输出的主要运动为往复直线运动,并且实际使用中单个滑动副的误差极小,因此本文主要考虑多个转动副引起的运动误差。

对转动副而言,可简化为轴套和轴颈的工作模型。在运动过程中,转动副存在自由间隙(图2(a))、理想接触(图2(b))、碰撞挤压(图2(c))三种运动状态。

图2 运动副间隙的不同形式

以轴套圆心为原点建立坐标系,轴颈圆心的坐标可以表示为(XCi,YCi),那么在任意时刻轴颈圆心与原点的距离eCi可以表示为:

(2)

在理想接触下,内切于轴套的轴颈圆心与原点的距离为rCi,此时eCi-rCi=0。在自由间隙的情况下,轴颈在轴套内自由移动,可以表示为eCi-rCi<0。当轴颈和轴套相互挤压,轴颈和轴套发生弹性变形eCi-rCi>0。因此含间隙的转动副Ci(i=1,2,3)的运动模式可以表示为:

(3)

由于轴承和轴颈刚度一般都比较大,碰撞挤压运动时变形量较小,因此将轴承和轴颈视为刚体,碰撞挤压运动模式就转化为了理想接触。假设轴颈中心位置在轴套内部的所有可能位置分布为均匀分布,则轴颈中心的概率密度函数可以表示为:

(4)

其中,xCi和yCi为轴颈中心位置坐标的随机变量。

1.4 运动学建模

根据杆长误差、运动副间隙和运动约束的限制,如图1所示的曲柄滑块机构的闭环方程可以表示为:

(5)

消去方程中的角度β,滑块的实际位置可以表示为:

s(α)=f(α|L,X,Y)

(6)

其中,L为杆长向量,L={L1,L2};X和Y分别为各轴颈圆心的坐标向量,X={XC1,XC2,XC3},Y={YC1,YC2,YC3};f(α|L,X,Y)是杆长和运动副误差条件下的滑块位置函数。

在理想情况下,曲柄滑块机构中的杆长为一个确定值,并且不含有运动副间隙误差,滑块运动的理想位置sidea(α)可以表示为:

(7)

根据式(6)和式(7),得到滑块实际位置与理想位置的误差E(α),可以表示为:

E(α)=|s(α)-sidea(α)|

(8)

设允许的运动误差为ε,则系统的可靠度R(α)可以表示为:

R(α)=Pr{E(α)≤ε}

=Pr{-ε≤E(α)≤ε}

(9)

2 机构运动误差的求解方法

式(9)中存在多个随机变量,采用蒙塔卡洛方法计算系统的可靠度,计算步骤如下:

Step1.分别生成m组曲柄和连杆杆长的随机向量L1={l11,l12,…,l1m}和L2={l21,l22,…,l2m};

Step2.分别生成m组运动副Ci(i=1,2,3)的间隙误差(XCi,YCi)={{xi1,yi1};{xi2,yi2};…;{xim,yim}}(i=1,2,3);

Step3.将曲柄转角离散为n个点,离散后转角的向量为α={α1,α2,…,αn}。

Step4.将得到的随机向量L1,L2,XCi,YCi(i=1,2,3)以及α带入式(6)中,计算相应的滑块的位移sm×n;

Step5.不计杆长误差和运动副间隙的情况下,根据式(7)计算不同转角α下的滑块位置sidea,1×n

Setp6.对于任意角度αj(j=1,2,…,n),计算相应位置|sm×j-sidea,j|≤ε内的个数为pj个,则对应时刻的可靠度为:

(10)

3 数值研究

在曲柄滑块机构中曲柄和连杆的杆长均值和标准差分别为μ1=60 mm,σ1=0.025 mm,μ1=120 mm,σ2=0.025 mm。各运动副中内切于轴套的轴颈圆心与原点的距离均为rCi=0.05 mm,曲柄的转角范围为[0,2π],转角离散点数为n=1000。为了计算结果的准确性,生成的随机变量m=1×106,在整个运行周期中,滑块的最大允许误差为ε=0.1 mm。

在不考虑曲柄、连杆和运动副误差的情况下,滑块的理想运动曲线如图3所示。

图3 理想情况下曲柄转角与滑块位移关系

3.1 杆长方差对于可靠度的影响

当杆长均值固定,不考虑运动副间隙时,曲柄和连杆长度的方差分别为σ=0.02 mm,0.025 mm,0.03 mm的条件下,滑块运动的可靠度如图4所示。

图4 杆长方差变化下的可靠度

随着方差的增大,滑块运动的可靠度整体呈下降的趋势。在方差为0.02 mm,0.025 mm和0.03mm下,滑块位置的最小可靠度R(α)分别为0.9997,0.9972和0.9895。滑块运动可靠度最小时对应的曲柄转角α∈(π/2π)∪(π,3π/2),随着方差的增大,最小可靠度的位置也在逐渐向α=π的位置靠近。

3.2 杆长均值对于可靠性的影响

当杆长的方差和连杆的均值不变时,曲柄均值分别为μ1=40 mm,60 mm,80 mm的条件下(杆长均值比μ1/μ2=0.33,0.50,0.67),滑块运动的可靠度如图5所示。当杆长的方差和曲柄的均值不变时,连杆均值分别为μ2=90 mm,120 mm,180 mm的条件下(杆长均值比μ1/μ2=0.67,0.50,0.33),滑块运动的可靠度如图6所示。

图5 不同曲柄均值下的可靠度

图6 不同连杆均值下的可靠度

从图5和图6可以看出,在相同的杆长均值比μ1/μ2的条件下,滑块运动可靠度相同。不同杆长比下,曲柄转角α=0和α=π时滑块运动可靠度相等,其中R(0)=R(π)=0.9976。较小的杆长均值比μ1/μ2的条件下,滑块运动可靠度较高,因此在机构综合考虑过程中,可以通过该方法提高机构运动的可靠度。

3.3 运动副间隙对于可靠性的影响

当杆长是一个定值时,运动副间隙分别为rCi=0.045 mm,0.05 mm,0.055 mm,滑块运动的可靠度如图7所示。

图7 不同运动副间隙下的可靠度

如图7所示,滑块运动的可靠度随着运动副间隙的增加而降低。在α=π/2和α=3π/2位置时,由于运动副间隙误差导致的滑块运动可靠度最低;在α=0和α=π时,运动副间隙对滑块运动的可靠性影响最小。

3.4 综合影响下的可靠性

当杆长均值一定时,由杆长方差、运动副间隙和两者共同作用下的滑块运动可靠性如图8所示。相比于单一模式下,由于运动副间隙和杆长方差所主导的滑块运动误差在不同转角α下达到最大值,因此两种误差共同作用下的可靠度在不同转角下的变化得到抑制。同时由于误差累加的影响,在考虑两种误差共同作用下,滑块总体的运动可靠度快速下降:仅考虑杆长方差或者运动副间隙单一作用下,滑块在整个周期中的最小运动可靠度为0.9967,当考虑共同误差作用时,整个运行周期中的最大可靠度为0.9862。

图8 单一误差和综合误差下的可靠度

4 结论

在考虑平面机构的杆件误差和运动副间隙的基础上,建立了曲柄滑块机构的概率运动学模型,并采用数值方法对模型进行求解和分析。数值研究表明:

(1)杆长误差会导致曲柄转角在α∈(π/2,π)∪(π,3π/2)范围内出现最大的失效概率;杆长方差和杆长比相同的情况下机构运动失效概率一致。

(2)曲柄转角为α=π/2和3π/2时,运动副间隙导致的失效概率最高;在曲柄转角为α=0和α=π时,运动副间隙对机构的运动可靠性影响最小。

(3)在运动副间隙和杆长误差共同作用下机构运动可靠度将快速下降。