基于直觉支持度的对偶犹豫模糊粗糙集模型∗

张瑞丽 马 俊，2 陈博行

（1.青海师范大学计算机学院 西宁 810008）（2.高原科学与可持续发展研究院 西宁 810008）

1 引言

模糊多属性决策是指评估专家处理的数据是以［0，1］模糊数据形式存在的，对相互冲突的多个属性进行综合评价和决策的过程。模糊多属性决策方法作为决策理论的一部分，在舰载安全评估［1］、信息融合［2］、中医诊断［3］、应急管理［4］等多数应用领域成为重要的数据决策手段。例如舰船动力系统选择供应商时，成本与性能或服务水平就是一对矛盾的属性，既希望成本低廉，又要求性能好、服务及时响应快，专家在做出决策时经常遇到类似情况，必须综合权衡才能做出最优方案。

模糊集［5］和粗糙集［6］作为两个重要的数学经典理论，在处理不确定性、不精确性问题方面均做出了重大贡献。模糊集主要用来处理具有非精确和模糊性的数据，粗糙集偏向于属性约简和上下近似的专家判断工作。学者们将两个工具进行结合，形成了一个值得探讨的热门研究方向［7～8］。例如文献［9］中，Dubois 和Prade 于1989 年定义了模糊粗糙集和粗糙模糊集，这提供了一些在这个研究方向的新的研究思路。模糊集由于理论局限性及应用场景不同，随后直觉模糊集［10］和区间直觉模糊集［11］，犹豫模糊集［12］及对偶犹豫模糊集［13］被相继提出。Nguyen 在文献［14］中将模糊数与直觉模糊集相结合来研究support-intuitionistic 模糊集，它指出决策问题会被积极方面（隶属度），消极方面（非隶属度）和支持模糊数三个因素影响，这也是support-intuitionistic 模糊集的模型的现实意义。杨勇［15］将support-intuitionistic 应用与模糊聚类中，薛占熬等［16］将其与粗糙集相结合进行多属性决策研究。然而多属性决策［17］通常影响因素繁多等造成决策比较困难，当决策方对指标值评价存在犹豫不定情况时，显然直觉模糊集无法解决此类问题，且支持度仅依靠单一隶属度表达的精确度也有待提高。

对偶犹豫模糊集多属性决策对备选方案固有属性的评价值用隶属度和非隶属度集合表示，本文考虑将这一优势与直觉模糊形式的支持度相结合，提出直觉支持度的对偶犹豫模糊集模型，用来解决就决策方某些自有属性不便与支持属性评价值一起比较的问题，譬如经济能力等属性，此时用直觉支持度来表示。2014年Yang等［18］给出了犹豫模糊粗糙集的构造性与公理化方法，第一次将犹豫模糊集与粗糙集理论融合，后众多研究者对此提出了各种各样的模糊集或粗糙集的扩展模型，并提供了应用场景［19～25］。而对偶犹豫模糊粗糙集理论及决策方面的研究本就不多，鉴于此，我们继续将粗糙集推广到直觉支持度对偶犹豫模糊环境中，进而构造直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集模型，给出了定义、性质及决策方法，为多属性决策提供了新的理论方法及应用可能。

2 相关知识

本节回顾了对偶犹豫模糊集的定义和运算法则，并约定本文的模糊元扩充方法及模糊元排列次序。

定义1［13］设和为两个对偶犹豫模糊元，定义的对偶犹豫模糊元的运算法则为

其中和分别表示fd1和fd2中的第t个值，；和分别表示gd1和gd2中的第s个值，s=1，2，…，ldg，

其中：

值得注意的是：

1）参与逻辑运算的模糊元长度可能不一致，通常做法是延长短模糊数个数使之与长模糊数个数长度相等。考虑到决策者的保守或风险意识不同，本文据以心理因素考虑选用折中法，将平均值模糊数分别补齐到该隶属和非隶属模糊元中。

2）规定参与运算的各模糊元素从小到大排列。

3 直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集

本节在上一节的基础上，给出直觉支持对偶犹豫模糊集的定义，利用直觉支持度对偶犹豫模糊关系定义其粗糙集模型，给出该模型的上下近似定义，并引出一些基本性质及其证明。

定义2（直觉支持度对偶犹豫模糊集）设X是一个有限非空集合，在X上的直觉支持度对偶犹豫模糊集H定义为

H={|x∊X}

其中f(x) 和g(x) 都属于[0，1]的两个集合，f(x)表示x属于H的可能隶属度，g(x)则表示可能非隶属度，直觉支持度θ(x)=(μ(x)，ν(x))以直觉模糊数形式定义，一般情况，我们将H=(f(x)，g(x)，θ(x))称为直觉支持度对偶犹豫模糊元。当支持度为1 时表示100%的支持程度，此时直觉支持度对偶犹豫模糊集退化为对偶犹豫模糊集。

定义3（直觉支持度对偶犹豫模糊集）设X为一个固定集合，A和B是X上的两个直觉支持度对偶犹豫模糊集，其中A={|x∊X}B={|x∊X}则运算规则如下：

1）A⊆B⇔∀x∊X，fA(x)≺fB(x)，gA(x)≻gB(x)且θA(x)≺θB(x)序关系≺，≻定义为

其中1 ≤s≤k，1 ≤t≤l，k和l分别对应隶属度和非隶属度集合的元素个数。

2）A∩B={x，(fA，gA)∩(fB，gB)，θA∩θB>|x∊X}

3）A∪B={x，(fA，gA)∪(fB，gB)，θA∪θB>|x∊X}

4）A⊕B={xi，(fA，gA)⊕(fB，gB)，θA⊕θB}

5）A⊗B={xi，(fA，gA)⊗(fB，gB)，θA⊗θB}

以上运算参照对偶犹豫模糊数运算法则。

定义4（直觉支持度对偶犹豫模糊关系）设X和Y是2 个非空有限论域，定义在空间X*Y上的直觉支持度对偶犹豫模糊子集，称为从X到Y上的直觉支持度对偶犹豫模糊关系（ISDHF），一般表示为

其中fR(x，y)⊂[0，1]，gR(x，y)⊂[0，1]，∀(x，y)∊X*Y，由直觉模糊集定义知θR（x，y)为一个直觉模糊数（μF(x，y)，νF(x，y)）。特别地，当X=Y时，直觉支持度对偶犹豫模糊子集R称为X上的一个直觉支持度对偶犹豫模糊关系。

定义5（直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集ISDHFRS）设X和Y为两个非空有限集合，R为X到Y上的直觉支持度对偶犹豫模糊关系，∀A∊ISDHF(Y)直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集的下近似和上近似分别定义如下：

其中：

举例1设集合R和A如上，由定义5可得：

定理1设二元组(V，R)是一个直觉支持度对偶犹豫模糊近似空间，任意的A集合对直觉支持度对偶犹豫模糊集V，在近似空间上的下近似与上近似具有下列性质：

证明：

1）∀x∊X

同样地：

2）由A⊆B，即∀x∊X，fA(x)≺fB(x)，gA(x)≻gB(x)

μA(x)≤μB(x)，νA(x)≥νB(x)则：

3）对于∀x∊X

4）当B⊆A时，

当A⊆B时

定理2设二元组(V，R)是一个直觉支持度对偶犹豫模糊近似空间，R1、R2为V上任意两个直觉支持度对偶犹豫模糊关系，对∀A∊ISDHFS(V)，如果R1⊆R2，则有如下性质：

证明：由定义6和定义8可知：

推论在直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集模型中，对偶犹豫模糊集退化为犹豫模糊集时，该模型将转化为直觉支持犹豫模糊粗糙集；或直觉支持度退化为模糊集时，该模型将转化为支持对偶犹豫模糊粗糙集。

很显然退化后的两个模型计算上下近似方法同定义5，此处因篇幅关系不再给出证明过程。

4 直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集多属性决策

4.1 直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集多属性决策方法

多属性决策是从多个备选方案中选出最优决策方案的过程。假设U={x1，x2...xn}为目标备选方案集，V={y1，y2...yn}为影响决策的属性集，R为U到V上的直觉支持度对偶犹豫模糊关系，设A为直觉支持度对偶犹豫模糊集，可得到直觉支持度对偶犹豫模糊信息系统(U，V，R，A)。

本文使用直觉支持度对偶犹豫模糊集合中模糊元间的⊕运算操作对新模型的上下近似信息进行拟合，具体为首先定义上下近似融合的拟合函数，将直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集中的上近似与下近似的隶属度和非隶属度分别进行融合，对直觉支持度中的上下近似隶属度和非隶属度分别进行融合，由其得分函数公式计算出两个直觉支持度对偶犹豫模糊数的得分值，由大小进行方案排序。

定义6设U、V为两个非空有限集合，(U，V，R，A)为直觉支持度对偶犹豫模糊决策系统，对任意x∊U，两个直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集上下近似集合进行拟合函数处理如下：

其中：

定义7（直觉支持度对偶犹豫模糊集得分）设A=(f，g，θ)是任意一个对偶犹豫模糊集，A得分函数和精确函数分别为

其中#f，#g分别是对偶犹豫模糊元中f和g的元素个数，f隶属度模糊元得分为非隶属度模糊元得分为直觉模糊支持度。它们的关系可给出如下定义：

1）如果s(A1)>s(A2)，则A1大于A2，表示为A1>A2；

2）如果s(A1)

3）如果s(A1)=s(A2)，则

注意：当直觉支持度中的隶属度为100%时，得分函数退化为只需考虑对偶犹豫模糊集中隶属度均值与支持度中的隶属度乘积运算，反之，退化为非隶属度均值与非隶属支持数乘积。其它情况下隶属度、非隶属度与支持度均需考虑。显然这符合现实决策情况。

4.2 直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集多属性决策方法

算法1基于直觉支持度的对偶犹豫模糊粗糙集多属性决策过程

输入 直觉支持度对偶犹豫模糊决策系统(U，V，R，A)

输出备选方案排序

1）根据定义5 计算直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集上下近似。

2）对1）的结果利用定义6 计算直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集拟合函数。

3）根据定义7 对直觉支持度对偶犹豫模糊集计算得分函数。

4）将3）结果依据得分函数大小排序规则对备选方案进行排序。

5 仿真算例

某部门急欲引进一套舰船动力系统，就系统可用性，固有能力与可靠性，对5 个供应商进行综合评价。第三方专业评估机构给出影响选择供应商的3 项因素的评价结果，再由企业内部决策人针对每个属性给出对应资金支持度评价，构造直觉支持度对偶犹豫模糊矩阵。

表1 评价方案属性说明

专家已构建评价信息系统(U，V，R，A)，设U={x1，x2，x3，x4，x5} 为5 个待选供应商，V={y1，y2，y3} 为决策准则，使用直觉支持度对偶犹豫模糊集：

表示该部门根据自己需求偏好选择不同供应商的情况。矩阵A<(0.4，0.5，0.6)，(0.2，0.3，0.4)，(0.4，0.5) > 表示决策者对供应商x1就软件功能完备性评估时，这一项40%，50%或60%满足需求，不满足的程度为20%，30%或40%，公司高层对该属性资金支持度40%和不支持为50%。

直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙多属性决策方法具体计算过程如下：

1）由定义5 计算直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集上下近似。

2）对1）的结果利用定义6 计算直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集拟合函数Φ(A)结果如下：

3）根据定义7 对直觉支持度对偶犹豫模糊集计算得分函数值及方案排序，如表2所示。

表2 中文献［13］方法，是在不考虑直觉支持度情况下，使用对偶犹豫模糊集得分函数的运算结果，定义7 采用本文直觉支持度对偶犹豫模糊集得分函数计算得到。从表中计算结果得到以下两点结论：1）加入直觉支持度以后，排序发生了新的变化，算例中供应商1 利用文献［13］得分函数计算得分值是0.57，当考虑直觉支持度后，得分值变为0.486，这说明在进行多属性决策时评价方案的结果受决策方直觉支持度的影响比较大。2）若将直觉支持度提取出来作为单独属性A（如资金支持）和其它属性一起评价，使用文献［13］对偶犹豫模糊得分函数进行运算时，将会造成属性A的隶属和非隶属度分别被提前均值化，无法体现决策方支持程度的重要性。

6 结语

文中提出的直觉支持度对偶犹豫模糊集，由直觉支持度、对偶犹豫模糊集的隶属度和非隶属度三个方面来描述决策问题。对偶犹豫模糊集在考虑直觉支持度情况下，考虑到决策者一方对供应商属性值评价，同时也有必要考虑另一方决策者（公司高层）对供应商（诸如自身资金）的直觉支持程度的重要性。在不考虑权值（或权值相等）的情况下，原有的对偶犹豫模糊集多属性决策通常是将多个属性同等考虑，计算公式多数是将隶属度及非隶属度模糊元均值化处理，新模型考虑了决策一方对属性决策的重要性程度，加强了决策力度。本文将直觉支持度对偶犹豫模糊集与粗糙集结合起来构造直觉支持度对偶犹豫模糊粗糙集，运用解决多属性决策问题。针对直觉支持度对偶犹豫模糊集数据进行处理时，使用交并集合运算完成了上下近似集合求解，后对各方案的上下近似值由拟合函数计算结果，利用直觉支持度对偶犹豫模糊集得分函数计算结果并依次排序，为直觉支持度对偶犹豫模糊多属性决策方法理论提供了新的途径。引进舰船动力系统供应商选择的例子说明了支持度单独考虑时的重要性，同时也验证本文模型的合理与有效性。