具有Holling-II型功能反应函数的双时滞捕食者-食饵系统的Hopf分支

于莉琦，贺树立，王强

具有Holling-II型功能反应函数的双时滞捕食者-食饵系统的Hopf分支

于莉琦1，贺树立1，王强2

（黑龙江东方学院 1. 基础部，2. 信息工程学院，黑龙江 哈尔滨 150066）

在具有Holling-Ⅱ型功能反应函数的捕食者-食饵系统中引入２个时滞参数，用来刻画捕食者和食饵的生长时滞，研究了系统平衡点的局部稳定性．结果表明，随着参数的变化，系统平衡点发生了扰动，进而出现了周期解．给出了Hopf分支存在条件的显示表达式，并通过数值实验验证了结论．

Holling-Ⅱ型功能反应函数；稳定性；时滞；Hopf分支；捕食者-食饵系统

研究物种间的捕食关系，有助于预测和估计捕食者与食饵的种群数量，对于种群发展和保护有着重要意义．捕食者-食饵系统是生物数学中的重要研究对象，长时间以来受到研究者们的广泛关注，特别是捕食者-食饵系统的稳定性和分支情况[1-9]．文献[8，10]在研究的系统中引入了2个时滞量，分析了时滞变化对系统稳定性的影响．

文献[6]研究了一个具有HollingII型功能反应函数的捕食者-食饵系统

鉴于时滞量在生物系统的广泛使用，本文在系统（1）中引入２个时滞参数用来描述捕食者和食饵成长的滞后量，得到系统

式（3）的特征方程为

式（7）等价于

当条件H2成立时，方程（12）没有正根；当条件H3成立时，方程（12）至少有一个正根．

（14）

综合上述分析可得到定理４．

3　数值实验

图1 当时，平衡点是渐近稳定的

图2　当时，平衡点不稳定

图4　当时，平衡点不稳定

4 结语

在具有Holling-Ⅱ型功能反应函数的捕食者-食饵系统中引入２个时滞参数，用来刻画捕食者和食饵的生长时滞，以2个时滞为参数，证明了随着参数的变化，系统平衡点的稳定性会发生改变，出现Hopf分支，经计算给出了分支存在条件的显示表达式，数值实验验证了所给结果．

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[4]王玲书．一类具有时滞和阶段结构的捕食者-食而系统的全局稳定性[J]．高校应用数学学报，2013，28（1）：51-62．

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[8]Dong T，Liao X，Wang A．Stability and Hopf bifurcation of a complex-valued neural network with two time delays [J]．Nonlin Dyn， 2015（82）：173-184．

[9]Culshaw R，Ruan S．A delay differential equation model of HIV infection of CD4 T-cells[J]．Mathematical Biosciences，2000， 165：27-39．

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Hopf bifurcation of a predator-prey system with two delays and Holling- II functional response function

YU Liqi1，HE Shuli1，WANG Qiang2

（1. Department of Basic Course，2. School of Information Engineering，East University of Heilongjiang，Harbin 150066，China）

Two time-delay parameters are introduced into a predator-prey system with Holling-Ⅱfunctional response function，they are used to describe the growth delay of predators and prey．The local stability of the equilibrium of the system was analyzed，the results exhibited that the equilibrium point of the system is disturbed，and then a periodic solution appears with the change of parameters．The explicit algorithms for Hopf bifurcation are derived，the conclusion is verified by numerical experiments.

Holling-II type functional response function；stability；time delay；Hopf bifurcation；predator-prey system

1007-9831（2023）10-0016-06

O175∶Q-332

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.10.004

2022-12-10

黑龙江省自然科学基金项目（LH2022A022）；黑龙江省教育科学“十四五”规划2022年度重点课题（GJB1422487）；高等教育2023年度黑龙江省教育科学规划重点课题（GJB14230003）

于莉琦（1983-），女，黑龙江哈尔滨人，副教授，硕士，从事微分方程稳定性研究．E-mail：85972693@qq.com