分析试题背景,探索试题解法及变式——以一道复习题为例

李 勇

(贵州省贵阳市息烽县第一中学)

教材是教师和学生手中的重要资料,它是专家们花费大量心血编写出来的,具有示范性和权威性.因此,教师和学生都应该好好地研究教材,挖掘教材,发展教材,最终吃透教材.本文以课本中的一道复习题为例,从试题呈现、背景分析、结构分析、解法探究、变式拓展等视角进行深度探究.

1 试题呈现

题目 (人教A 版高中数学必修第一册第58页第5题)若a＞0,b＞0,且ab＝a＋b＋3,求ab的取值范围.

2 背景分析

本题是第二章一元二次函数、方程和不等式中复习参考题的第5题.本章主要学习了不等式的性质、基本不等式及其应用、一元二次不等式的解法等.由此可以发现题目是以不等式为背景,主要考查基本不等式的应用和一元二次不等式的解法.

3 结构分析

本题是一道典型的“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy(或Ax＋By)的取值范围问题”.此类试题所涉及的知识点主要有基本不等式、一元二次不等式、双勾函数等,所涉及的数学思想主要有整体思想、函数思想、方程思想、消元思想等.解决问题的方法有不等式法、判别式法、函数法等.

4 解法探究

视角1 利用基本不等式a＋b≥2ab(a＞0,b＞0)把等式ab＝a＋b＋3中的a＋b消掉,然后再利用一元二次不等式解出ab的取值范围.

解法1 由a＞0,b＞0,则a＋b≥2ab.又ab＝a＋b＋3,所以ab≥2ab＋3,则ab－2ab－3≥0,即,解得ab≥3,即ab≥9,当且仅当即a＝b＝3时,ab取得最小值9,所以ab的取值范围为[9,＋∞).

在解答“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy的取值范围”这一类问题时,先利用基本不等式x＋y≥2xy(x＞0,y＞0)把等式xy＋ax＋by＋c＝0中的ax＋by消掉,得不等式xy＋2abxy＋c≤0,再利用一元二次不等式解出xy的取值范围.

视角3 由ab＝a＋b＋3将a(或b)代换,再将a(或b)的值代入ab中,得到一个关于b(或a)的代数式.然后利用基本不等式a＋b≥2ab(a＞0,b＞0)解出ab的取值范围.

在解答“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy的取值范围”这一类问题时,可以通过xy＋ax＋by＋c＝0将x(或y)代换,再将x(或y)的值代xy中,然后化简得到一个关于y(或x)的代数式,最后利用基本不等式解答.

视角4 由ab＝a＋b＋3将a(或b)代换,再将a(或b)的值代入ab中,得到一个关于b(或a)的代数式,再利用函数的图像得出ab的取值范围.

图1

视角5 令t＝ab,解出a(或b),再将a(或b)的值代入等式ab＝a＋b＋3中,得到一个关于b(或a)的一元二次方程,然后利用一元二次方程的根为正数,由判别式同根与系数的关系解出t的取值范围,即得ab的取值范围.

对于“已知xy＋ax＋by＋c＝0 求xy(或ax＋by)的取值范围”这一类问题,可令t＝xy(或t＝ax＋by),然后解出x(或y),再将x(或y)的值代入xy＋ax＋by＋c＝0中,可得到一个关于y(或x)的一元二次方程,然后利用一元二次方程的根为正数,由判别式及根与系数的关系求解.

视角6 将ab＝a＋b＋3变形成,然后利用权方和不等式解出a＋b的取值范围,从而可得ab的取值范围.

解法6 由ab＝a＋b＋3,得ab＋a＋b＋1＝2a＋2b＋4,则(a＋1)(b＋1)＝2(a＋1)＋2(b＋1),即.因为a＞0,b＞0,由权方和不等式得

虽然权方和不等式在高中教材中没有出现,但还是有补充的必要,因为很多不等式问题可以用权方和不等式来求解,而且比用基本不等式解答更快捷.权方和不等式的二维公式如下:

若x,y∈R∗,a,b∈R∗,则当且仅当时,等号成立.

5 变式拓展

在解答完一道题目后,可通过对问题的条件、结论以及问题的背景等进行变式,以锻炼学生灵活应用不同方法解答问题的能力.

变式1 若正数x,y满足2x＋y＋6＝xy,则xy的最小值是_________.

6 解题后的反思

在数学的教学中,教师要启发学生多角度、多层次去思考问题,对于同一个知识点,若使用的角度不同、使用的先后顺序不同,其效果也不一样.因此,我们应巧妙地运用这些知识点,从而使问题得到简化,更要引导学生提炼一般模型及解法,达到举一反三的目的,从根本上提升学生的数学素养.

(完)