信息技术与数学课程整合探析——以“一元二次函数图像”为例

董晓婧 吴贵春 龙周萍

浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004

0 引言

教育信息化逐步推进，新兴技术逐渐与课程深度融合以支持教育教学发展变革，信息技术与教学方法、教学内容的深层次整合有利于推动教学创新、优化课堂教学、提升教学活动质量。信息技术与课程的整合就是将信息技术有效地融入教学过程中，构建一种既能充分发挥教师主导权，又能充分体现学生主体地位的新型数字化、信息化的教育模式[1]。Python 是一门简单、易学、兼容性强的编程语言，其作为大数据、人工智能等领域的基础学科内容受到教育部门高度重视的同时，也是一项支持跨学科问题解决、促进课程整合的重要技术手段。将Python 融入数学教学中能提升数学学习的趣味性，培养学生的发散思维。作为编程语言，Python 具有逻辑性、严谨性，与数学学科特点高度重合，二者能相互融合、相辅相成，共同作用于学生计算思维提高。基于此，笔者以“一元二次函数图像”为例设计了Python与数学课程整合的案例，总结教学设计过程中的经验及相关建议，以期为广大的教育实践者提供借鉴，促进信息技术与课程整合的发展。

1 Python 结合中学数学课程的优势

1.1 Python 能够增加数学趣味性

从寓教于乐的意义上来说，增加课程的趣味性能满足学生喜欢娱乐的天性，使学生获得精神层面的愉悦体验，有着独特的教育价值[2]。教师有效开展教学需要以对学生的充分分析为前提，尊重学生个体成长的客观规律和充分把握学生的学习特点、生理特点是教师促进学生成长、提高教学绩效的重要基础。喜欢娱乐是每个孩子的天性，也是学生重要的特点之一。数学课程中融入Python 可以改变单调、枯燥的传统教学模式，将抽象的公式、概念变得更加多变、有趣、具象，将书本上“静态”的理论、原理转为“动态”的、“可操作”的知识，让学生在具身学习中提升学习欲望。此外，在因循守旧的课堂中融入新鲜事物，往往能引起学生的好奇心，吸引学生的注意力，增强学生的课堂参与度。出于好玩的心理，学生对新事物有极强的感知力，注意力总能集中于新奇的事物。Python 的融入改变了传统数学课程的常态化教学模式，新颖的教学方式会刺激学生对后续教学活动的好奇心，从而引发学生的积极课堂行为，形成积极的学习心理定势。

1.2 Python 支持数学问题解决利于发散思维养成

发散思维是学生多层次、多视域了解认识客体，多途径、多通道解决复杂多变问题的重要支撑，也有利于提高学生对客观事物内涵更全面、系统的认知。良好的发散思维下生成大量的问题解决方案，不仅有利于得到较优的问题解决策略，还能促进学生高阶认知能力的发展。基于建构主义理论的随机通达教学策略[3]就主张对同一内容的学习，要在不同时间、在重新安排的情景下，带着不同目的以及从不同的角度多次进行，以此达到高级知识获得的目标。信息技术支持学生对事物或科学问题从多角度进行了解和认知，促进发散思维、横纵思维的形成[4]。Python 的融入，一改传统数学问题公式推导、复杂计算、画图作辅助线等常规解决方式，为学生解决问题提供了一个新方案、新视角，从而拓宽学生知识视野、促进学生发散思维形成，让学生养成面对问题时能自己开展“头脑风暴”以寻求多途径解决问题的习惯。

1.3 Python 和数学课程整合共促学生计算思维的发展

计算思维是用计算机科学实现的一种解决问题的方法和思维过程[5]，学生计算思维的提高有助于学生解决问题时更具有系统性、严谨性和逻辑性，以优化问题解决方案。利用Python 编程语言解决问题的过程就是一个典型的计算思维训练和培养的过程，解决数学问题时需要对问题整体审视，解法具有相对苛刻的结构形式和严密的论证逻辑，与其特点有异曲同工之处。再有，数学问题解决为Python编程提供了目的导向，赋予编程过程中计算思维培养以实在意义；而将Python 编程融入数学问题解决的过程中，附有的计算思维提升又使得数学问题解决拥有更多的过程意蕴。事实上，数学和编程本身就是不能完全区分开的，编程语言的起源和发展就和数学有着千丝万缕的关系，很多经典的编程例子都是编程语言与数学的结合成果，如“水仙花数”、汉诺塔等等。因此，将Python 与数学课程整合，二者相互叠加交融，能有效促进学生计算思维的提高。

2 教学活动设计——以“一元二次函数图像”为例

本案例选自浙教版数学九年级上册，学生此前学习过一元二次函数的概念，图像的绘制是学习一元二次函数性质的基础。在掌握描点法的基础上，学生以小组合作的形式，在Python 中运用arrange 函数绘制一元二次函数图像。这一过程学生能够探索多种方法绘制一元二次函数，发散学生思维的同时锻炼学生的合作能力。教学过程如下。

2.1 情景创设，增强导入趣味性

沉浸式投入，大多是因为向个体呈现的内容与其所在的环境和个性特点十分吻合，根据学生喜欢娱乐的心理创设趣味情境，能有效激发学生学习兴趣。教师使用电子白板播放“愤怒的小鸟”游戏视频，引发学生思考：愤怒的小鸟在未落地前运动轨迹如何？运动轨迹如何表示出来？用游戏吸引学生的兴趣，用简单的视频引发学生的思考，得出运动的轨迹类似于一元二次函数图像的结论。进一步分析，此运动轨迹是有边界的，可以用图片表示出来。而一元二次函数的自变量是没有固定范围的，这就需要定义一元二次函数的自变量从而绘制出一元二次函数图像。以游戏引发学生思考，引出一元二次函数图像，改变单调乏味的数学课堂教学方式，可在课堂初始阶段激发学生的好奇心。

2.2 协作讨论，提升学生的认知深度和广度

同伴之间的交流有利于学生经验的分享和思想的碰撞，学生能从他人的讲授中认识到自己的不足或了解到更多的问题解决方案。可以小组合作的形式开展绘制一元二次函数图像的讨论。在讨论过程中，共有描点法和Python 两种方法。小组成员分别介绍描点法和Python 的绘制方法。在确定函数和自变量取值是相同的后，学生在上节课的基础上确定一个形如y=-x²+2x+1 的一元二次函数，进一步确定自变量的取值范围为-10 到10。在确定自变量取值范围之后，用描点法或Python 绘制图像。在描点法中，首先在自变量范围内确定合适的点数，计算自变量和因变量的数值，然后根据自变量和因变量数值依次描点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。借助Pycharm 软件绘制图像需要调用函数。首先，用编程语言表示出这一函数，即y=-x**2+2*x+1。其次，用arrange 函数表示-10 到10 这一区间，arrange 函数可以创建等差数列，也可以用来绘制函数。最后，确定可以绘制图像的库。用plt 替代调用的matplotlib.py.plot 库。依次调用函数库绘制标题，x、y轴并最终展示图像，过程如图1所示。

图1 函数生成过程

2.3 实践参与，提升学生计算思维

实践出真知，技术与课程的融合不仅支持学生的思维能力发展，更促进学生的具身学习，通过“躬行”让学生“绝知”，以行促知。学生依照思维过程进行上机操作，此过程可以采用小组讨论、资源求助、咨询教师等方式解决问题。实践过程中，描点组的学生出现因计算错误导致图像绘制错误的情况，Python 组有程序运行错误等情况。最为典型的问题有生成的图像类似于不同线段拼接而成，如图2所示，这是arrange 函数中步长设置过长导致的。正确的图像如图3所示，这一问题引发学生对arrange 步长的思考。在运用arrange 函数时，将函数看成数组，然后在此区间进行描点，步长的大小就决定了一元二次函数图像生成的光滑程度。各小组绘制完成后，对描点法和Python 进行类比。两种方法各有利弊。描点法可以直观地表示出函数的对称轴，但是绘制较麻烦，而且在画图像之前需要计算自变量和因变量的值依次描点，容易出现计算错误，导致函数图像绘制出现明显错误。用Pycharm 软件绘制效率高。绘制不同的一元二次函数，只需改变关键代码，为学生探索一元二次函数的性质奠定基础。在此过程中，学生在绘制一元二次函数图像的基础上也掌握了arrange函数的运用。

图2

图3

2.4 操作强化，巩固学生认知联结

记忆是知识和技能习得的基础，而遗忘又是天性使然，可通过有形技术增强学生刺激—反应的联结，无形的技术引导学生发生高阶的认知活动。首先，教师总结学生实践中出现的问题。例如，描点法中仅将端点连接忽视函数自变量的无限性，arrange 函数中步长设置的问题。强调经典错误，引起学生重视，在巩固知识的同时进一步促进对知识的理解。其次，引导学生分享经验。在小组协作阶段，每一小组碰到的问题和解决问题的方式不可能是完全一样的，这就体现了交流合作的意义。不同问题不同思维过程，学生分享经验也是思维回顾的过程，能够帮助学生吸取经验拓宽视野。最后，鼓励学生多加练习。掌握绘制一元二次函数图像的办法的同时巩固arrange 函数的应用。此外，对比不同函数图像，学生直观发现图像的开口、对称轴、最高点/最低点不相同，而目前学生无法探索出原因来，这也为下节课一元二次函数图像性质的学习奠定了基础。

3 信息技术与数学课程整合经验及启示

3.1 信息技术能延展数学课程教学空间

教学空间是支持师生互动发生的重要场域，支持教育主体在教学中相互作用、共同成长的同时，也作为客体对教师专业发展、学生综合素养提升有着重大影响。何克抗教授主张通过信息技术与学科教学过程的有效融合来营造信息化教学环境以实现创新人才的培养[6]。多元、多层次的空间是教师开展多样化、个性化教学和学生进行多通道、多视域学习的重要基础。然而，由于数学课程中大多是公式推导、逻辑论证、数理运算等极富理性思维特点的内容，对外在教学空间要求单一，使得传统的数学课程教学往往局限于以教室为主体的、相对封闭的物理空间之中。随着信息技术的飞速发展，多媒体技术、电子交互白板等技术早已与课堂深度整合，将传统的物理教学空间扩展到网络学习空间，并成为信息化社会中常态化教学的基础部分。VR/AR 等技术兴起并逐步融入课堂教学之中，使得教学空间逐渐向多维度方向发展，有望为单一、枯燥的数学课程教学往多样、动态化方向改革提供新的契机。如传统空间几何知识课程讲解中，大多是教师引导学生观看静态的教材课本图形，在大脑中想象立体图像的构成，但教师很难捕捉学生思维的演绎过程，也无法提供针对性的反馈。借助移动虚拟现实和游戏技术等构建的虚拟空间、网络空间与数学课程教学空间融合[7]，将内在的、抽象的思维活动过程外显化、具象化，能有效提高学生的空间感知能力和空间自我效能感。

3.2 信息技术能有效支持数学教学活动开展

教学活动是课程教学开展的动态形式，其本质内涵为师生之间促进学生发展的社会实践活动[8]。信息技术与教育教学深度融合大大增强了教学活动的丰富性，物化形态的信息技术，如电视、网络、计算机和电子教材等技术手段为数学教学活动的开展提供支持[9]。课程开始时，教师可根据学生生理特点，利用视频播放、动画演示等创设趣味情景，实现对学生的多感官刺激，增加知识趣味性、激发学生好奇心、吸引学生注意力，进而提高学生的课堂投入度，如例中抛物线的讲解就利用了“愤怒的小鸟”和流星等例子。信息技术能为教师教学中资源呈现、媒体演示、课堂的监督控制提供支持，同时能作为工具帮助学生获取学习资源、促进学生认知加工及形成新的学习策略。信息技术支持下的数学教学活动，不仅能提高学生数学学科本身要求的认知能力、逻辑思维能力，还能在借助技术解决数学问题的过程中培养、提升学生的实践能力，培养学生计算思维和发散思维，提升学生的综合素养。此外，信息技术提供了一个能实现课程中同步、异步师生交流、生生交流的平台，有利于形成团结合作的集体作风，打造和谐共进的学习共同体。课程结束阶段，信息技术支持教师实施多元化、个性化的评价、反馈。信息技术支持课堂教学过程全息、学生学习数据的标记和记录，教师能通过技术手段回顾学生学习状态、数学重难点的掌握情况，从而实现对学生多方位、个性化的反馈。这种基于“教”“学”证据的反馈不仅突破了传统教学中以成绩分数或解题正确频数对学生进行反馈的局限，还有利于课后对学生认知强化的任务布置，促进教师进行自我评价与反思、调整教学策略。

3.3 信息技术支持数学课程体系重构

信息技术与数学课程整合不仅是将信息技术作为教学工具、学习的认知工具，同时也将其作为重要的教材形态、教学媒体，能将数学课程体系的课程标准、课程内容、课程实施、课程评价等要素融为一体[9]。信息技术不仅有有形的物化技术，还有无形的智能技术，即相关的理论和方法。有形的物化技术能够拓展数学教学空间、丰富课程教学形态、支持教学活动进行，在整个数学教学实践过程中起着至关重要的辅助作用，能提升数学教学的效率。智能形态的信息技术作为外部因素从系统层面影响数学教学理论基础、教学策略选择甚至整个数学教学过程的设计，理论指导实践，理论依据的改变往往会使实践过程也跟着变化。事物总是在不断地发展进步，静态的教学体系会在时代前进的洪流中被淘汰，而新技术作为外部因素融入数学课程教学体系，能支持数学课程体系整体变革，新理论、关键技术的引入甚至可能对传统的数学课程体系形成巨大冲击，让数学课程发生质的变化。