章起始课的教学实践与思考

［摘  要］ 章起始课是新知教学的基础，具有提供概括性要领框架的作用，对一段时间内的教学起着组织与指导意义. 文章从章起始课的现状出发，以“二次函数”章起始课的教学为例，从“情境创设，引出探究主题”“系列活动，理解核心概念”“类比迁移，建构整体框架”三方面展开阐述，并提出一些思考与建议.

［关键词］ 章起始课；二次函数；教学

章起始课兼有“先行组织者”的功能，可作为章节知识学习的基本示范. 但实践发现，有些章节的知识跨度较大，学生常因概念形成时间久远，而在后续学习中出现了“似曾相识”却又不清晰的状态. 如何站在课程全局的高度，结合知识的发生与发展规律，针对学情设计出成功的起始课是落实课程目标、顺利完成后续教学任务的关键.

现状分析

受传统教学思想的影响，有些教师对章起始课的重要性存在认识上的不足，认为课程内容与中考关联度不大，常以一带而过或让学生自主阅读的方式实施教学；也有些教师受自身认知水平的限制，又没有查阅资料的习惯，导致在章起始课的设计上存在心有余而力不足的现象.

不论是“注入式”的一带而过，还是“阅读式”的走马观花，抑或“心有余而力不足”的教学设计，都反映出章起始课尚未得到足够的重视，这些现象严重影响了章起始课的正常开展. 其实，从某种意义上来说，章起始课的重要性与建筑地基同等重要，从数学整体性来看，代数、几何等各部分内容之间均存在一定的内在联系与前后逻辑关系，学生只有从整体上掌握系统的知识体系，才能实现真正意义上的理解与应用［1］.

章起始课的教学实践

1. 情境创设，引出探究主题

初中阶段的学生已经有了一定的生活经验，数学教学中，教师设置贴近学生认知水平的情境，能有效地激发学生的参与热情，能提高教学成效. 教学情境其实就是带有一定情感因素的教学活动背景，“情”为师生双方在教学中的情感状态；“境”为教学环境. 教学活动中的情因境生，而境又为情所设，因此情境统一的状态才称得上是好的“情境”.

二次函数是继一次函数、反比例函数之后的一个重要函数，是描述事物数量关系的重要模型，具有一定的抽象性. 二次函数研究方法的掌握对后续函数模型思想的渗透，以及高中阶段涉及的三角函数、对数函数等的学习都有深远的影响. 因此，在章起始课上创设丰富的情境，能有效激发学生的探究兴趣，为本章节的教学奠定基础.

情境  小明奶奶准备用16 m长的篱笆圈出一块长方形的地饲养小兔子，聪明的你们帮她想想怎么围地能使小兔子的活动范围最大.

饲养小兔子的情境对学生而言既亲切又有趣，当教师提出这样一个情境时，学生会不由自主地将注意力集中到这个问题的探究中，并获得“生活处处皆数学”的体验. 学生通过自主探究，很快就明确了这个问题的本质为：探索周长固定的长方形，当长方形的形状发生变化时，面积也会随之发生改变.

学生经过探索，获得表1，并得出结论：周长固定的长方形，当长与宽的值越接近时，该长方形的面积就越大.

师：非常好！谁能说说这个结论的原因呢？（学生合作交流）

假设长方形一条边的长为x m，那么其相邻一条边的长就是=（8-x）m，长方形的面积y（单位：m2）和一边长x（单位：m）之间的关系为y=x（8-x）=-x2+8x. 由此可确定围成的长方形地的面积y是随着一边长x的变化而变化的一种函数.

为了巩固学生对这个结论的认识，教师可趁热打铁用PPT展示一些练习，要求学生独立思考并完成.

练习1 已知上海与南京的距离约300 km，若一辆客车从上海出发匀速向南京驶去.

（1）客车行完全程所用时间t（单位：h）和匀速行驶的速度v（单位：km/h）之间可用怎样的函数表达式表示？

（2）假设客車匀速行驶的速度为100 km/h，那么客车距离南京的路程s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间可以用怎样的函数表达式表示？

练习2 某产品2月份的产量是20 t，若平均每月的增长率为x，请分别写出该产品在3月份、4月份的产量y（单位：t）和x之间的函数表达式.

练习3 一幅长、宽之比为2 ∶ 1的画，四周镶有木制边框. 若画的价格为120元/m2，边框的价格为30元/m，加工费是45元一幅画. 请写出这幅画的总费用y（单位：元）与画宽x（单位：m）之间的函数表达式.

练习4 已知一个正方体的棱长为a cm，请写出该正方体的体积V（单位：cm3）和棱长a（单位：cm）之间的函数表达式.

设计意图 从生活实际出发，让学生感知二次函数的价值与意义. 练习的应用，在于引导学生自主发现两个变量间具有怎样的数量关系. 函数表达式书写的过程，就是将生活问题数学化的过程.

由以上几个练习可得到6个不同的函数表达式，分别为t=，s=300-100t，y=20（x+1），y=20（x+1）2，y=240x2+180x+45，V=a3. 在这些表达式中，不仅有学生耳熟能详的一次函数和反比例函数，还有学生感到陌生的新函数，这就为二次函数的教学埋下了伏笔.

2. 系列活动，理解核心概念

活动1 由以上情境与练习，我们共获得了7个函数表达式，看看这些式子，里面有没有你们熟悉的函数？那些陌生的函数表达式之间存在共性吗？请尝试赋予这些函数表达式一个名称.

设计意图 7个函数表达式均由学生自主探索而来，学生对其有一定的情感基础. 教师让学生辨别出熟悉的一次函数、反比例函数，这是回顾旧知的过程；让学生抽象陌生函数的共同属性，这是为二次函数的形成做铺垫.

随着该活动的深入，学生自主归纳出了二次函数的定义：类似于y=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的函数为二次函数，x为二次函数中的自变量，y为x的函数. 此外，通过类比，学生自主命名函数V=a3中的V为a的三次函数.

为了深化学生对二次函数的认识，教师可在此处设置几个巩固练习.

练习1 教师提供一些式子，让学生判断哪些是二次函数，并写出其二次项系数、一次项系数与常数项.

练习2 请学生自主写一个二次函数的表达式，由同桌辨别二次项系数、一次项系数与常数项.

练习3 请学生写出下列问题的函数表达式.

（1）写出正方体的表面积S（单位：m2）和棱长a（单位：m）之间的函数表达式；

（2）一个圆柱的高为14 m，其体积V（单位：m3）和圆柱底面的半径r（单位：m）之间的关系可以用怎样的函数表达式表示？

（3）如图1所示，从一张长、宽分别为30 cm、20 cm的矩形纸片中剪掉一个正方形，则剩下纸片的面积S（单位：cm2）与剪下的正方形的边长x（单位：cm）之间具有怎样的关系？（用函数表达式表示）

活动2 如图2所示，若用40 m长的护栏沿着一堵墙（足够长）围一个矩形菜园，护栏与墙面垂直的一条边的长为x m，所围成的菜园的面积为S m2，请根据题设条件提一个你能解决的问题.

设计意图 让学生自主发现问题并提出问题是强化学生对二次函数认识的重要途径，学生通过编题能进一步明确条件与结论之间的关系，能充分感知二次函数作为一个模型的主要作用是描述现实问题中的数量关系.

以上活动的开展，能培养学生独立思考的能力，能引导学生积极开动脑筋，参与问题的讨论与分析，能锻炼学生的语言表达能力，能增强学生的合作意识，能让学生深切地体会到数学学习的价值与意义.

3. 类比迁移，建构整体框架

问题  一次函数与反比例函数是我们的老朋友了，大家还记得当初是从哪几个方面对这两个函数展开研究的吗？

设计意图 通过问题引发学生回忆，让学生回顾建构特定函数模型的过程，为接下来进一步研究二次函数的定义、图象与性质奠定基础.

众所周知，知识的学习有可能会随着时间的推移出现遗忘，但能力与方法的获得却能让学习者受益终身. 学生回顾一次函数、反比例函数的研究过程，并将相应的研究方法迁移到新知的研究中，这是知识的迁移过程，也是一种学习能力的体现.

随着问题的提出，学生经过教师的点拨、自主探索与合作交流，实现了知识的类比迁移，总结出了二次函数与之前所接触的函数同样遵循一定的规律，给出了整体框架图（如图3所示），为后续课堂教学提供了明确的方向.

4. 按图索骥，指导学习方法

师：大家对二次函数的定义已经有所认识，从图3出发，接下来就到了研究二次函数图象的环节. 二次函数图象究竟是什么样的呢？现在我们一起回到课堂起始环节中的“圈地养兔”问题. 请大家建立平面直角坐标系，以表2中的x值为横坐标，与之对应的y值为纵坐标，描点、连线，说说你们的发现.

学生按照要求操作，得到图4.

设计意图 从章节知识框架出发，自然而然地进入二次函数图象的研究环节，让学生感知点与图象特征之间的关系，体验数形结合思想在函数研究中的应用.

学生通过自主描点、连线、观察，初步感知二次函数图象为曲线而非直线，并提出图象的形态犹如抛东西时形成的轨迹，教师顺势提出了“抛物线”的概念. 观察图4，面积y会随着x的增加而先增大再变小，此时教师提出问题：“想让兔子的活动范围最大，该怎么围地呢？”

学生从图象出发，于是猜想：抛物线最高点的横坐标为长方形的一条边的长时，兔子活动的范围可能是最大的.

师：为什么形状是正方形时面积最大呢？只要学完本章内容，即可揭晓答案.

学生的探究兴趣随着课程的推进而愈发浓厚，此过程不仅再次激发了学生的探究热情，还有机地渗透了数形结合思想与模型思想，成功地启迪了学生的思维.

教学思考

1. 核心概念要清晰

章起始课的教学常以基本概念为起点，这些概念在整个章节中都占有重要的地位，要么是重点概念，要么属于上位概念［2］. 若学生在此环节没有理解概念的本质与内涵，后续学习将困难重重. 实践证明，章起始课一般没有单独的课时安排，而是将章节首要概念与章起始课融合在一起进行教学. 因此，此类课程教学的重中之重就是核心概念的建构.

就本节课而言，二次函数的概念就属于本节课的核心概念，教师除了要引导学生回顾旧知、类比迁移新知外，还要借助探究活动与大量练习引导学生自主写出各种不同的函数表达式，并分析这些表达式，从中逐渐抽象出二次函数的概念，同时要引导学生自主画图、分析函数图象，让学生感知二次函数的本质为刻画现实世界中变量关系的模型. 教学过程涉及从具体到抽象、类比推理、从特殊到一般、数形结合等多种重要的数学思想.

2. 知识结构要明确

从认知心理学出发，学习是学生大脑中认知结构的组织与再组织过程，是将存在内在逻辑关系的知识与学生原有认知结构建立关联的过程，新知与旧知在学习者大脑中互相作用，最终建构新的知识结构［3］. 由此可见，学习与学生的认知结构直接联系，良好的知识结构利于知识的应用与迁移. 鉴于此，在章起始课上，我们应帮助学生理清章节知识结构，为学生形成合理的认知奠定基础.

在本节课中，教师以学生感兴趣的“圈地养兔”问题引领课堂，成功地引发了学生的认知冲突，唤醒了学生的问题意识，诱发了学生的猜想，这为引出二次函数的概念夯实了基础. 随着探究活动的开展，学生类比研究一次函数、反比例函数的方法，自主获得了知识的生长链，科学合理地建构出了知识结构图，明确了后续学习的整个框架.

3. 研究方法要合理

激发学习兴趣、建构知识框架、明确核心概念、渗透数学思想方法等，是章起始课教学的主要任务. 想要高质量地完成这些教学任务，离不开科学的研究方法与问题的引导. 鉴于此，对于章起始課，教师首先要让学生在探究活动中经历发现问题、提出问题并解决问题的过程，为核心概念的抽象与知识框架的搭建奠定基础. 值得注意的是，教师为学生提供的探究平台起点要低，要让每个学生都有积极参与的热情；立意要高，要让每个学生在活动中都有所收获.

在本节课中，教师首先要让学生明确研究的内容为一个全新的函数，结合研究函数的“通法”，可从知识的类比迁移中自主建构新知. 这种研究过程属于“微科研”的范畴，学生在研究中不仅能提炼出学习方法，积累研究经验，还能较大程度地提高自身的学习能力，形成创新意识.

总之，章起始课的教学属于统领性、过程性的教学，是课堂从有效迈向深刻的基础. 作为一线数学教师，我们应从思想上重视章起始课教学，并落实到实际行动中，从而真正意义上促进自身专业水平的提高.

参考文献：

［1］张万梅. 温故导入新，成功领入门——初中数学章起始课教学实践与思考［J］. 中学数学研究（华南师范大学版），2016（10）：32-33.

［2］林年生. 初中数学章起始课教学课例与反思［J］. 中小学教学研究，2015（05）：46-48.

［3］王甦，汪安圣. 认知心理学［M］. 北京：北京大学出版社，2006.

作者简介：邱玉霞（1975—），本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学工作.