由实验结论到牛顿第二定律的几种常见导出方法

张利国

(北京交通大学附属中学 北京 100081)

李 璐

(中国船舶集团有限公司综合技术经济研究院 北京 100081)

1 问题的提出

1.1 教材中的导出过程

质量M一定时,a∝F

1.2 对于导出过程的困惑

学生展示的导出过程如下

a∝F⟹a=k1F

(1)

(2)

其中k1、k2为常数.

1.3 学生导出过程的问题

学生认为k1、k2为常数,分别建立在保持质量M、力F不变的基础上,故将二者结合的过程中,应考虑到k1是一个关于质量M的函数,而k2是一个关于力F的函数,k1、k2并非常数.

如果我们用反证法,很容易推翻学生得出的结论:

2 4种常见的导出方法

在用反证法推翻学生的结论后,学生们希望能展示至少一种正向推导的思维过程,所以笔者在本节课堂上,将时间和发言权交给学生,下面是学生比较容易想到的4种方法.

2.1 方法一

随机给出不同数值的质量M和力F,如表1所示,给a1一个数值,对比第1行和第2行,发现可以控制质量M不变,根据加速度和力成正比可确定a2;将第1行和第3行对比,发现可以控制力F不变,根据加速度和质量成反比可确定a3;同理,我们可以任意取具有两行数据,只要它们具有相同的质量或者相同的力,就可确定其他加速度a4,…

表1 加速度a与的关系

2.2 方法二

式(1)成立的前提为控制质量不变,若不加控制,还要式(1)成立,可以认为k1是一个关于质量M的函数;同理,去掉式(2)的控制条件后,可认为k2是一个关于力F的函数,分别将其写成k1=k1(M)、k2=k2(F)的形式,代回式(1)和(2),有

a=k1F⟹a=k1(M)F

(3)

(4)

对于任意给定的一组数据(M,F,a),应同时满足式(3)和式(4),故两式的a为同一数值,联立式(3)、(4),有

思路1：

同理,观察式(4),若控制M不变,有a∝k2(F),结合M不变时,有a∝F,得

思路2：

假设k是关于M、F的函数,即

即k(M,F)为常数.

2.3 方法三

将式(3)和式(4)变形为

(5)

(6)

思路1：

控制质量M不变,改变力F,有

若固定其中一组数据,可以写成

k2(F)=k2(1)F

将其代入式(6),有

Ma=k2(1)F

取国际单位制,有k2(1)=1,即F=Ma.

思路2：

控制力F不变,改变质量M,有

k1(M1)·M1=k1(M2)·M2

若固定其中一组数据,可以写成

k1(M)·M=k1(1)·1

2.4 方法四

假设有一组数据,其中包括给定数据1(M0,F0,a0)、中间过渡数据2(M0,F,a1),以及变化后的任意数据3(M,F,a),如图1所示.

图1 数据

选择数据1和数据2,因为控制M0不变,加速度和力成正比,总有

(7)

选择数据2和数据3,因为控制F不变,加速度和质量成反比,总有

(8)

式(7)和式(8)相乘,有

(9)

3 导出过程的类比迁移

教材中用类似的方法导出的复合函数还有很多,如表2所示.

表2 人教版教材中部分复合函数的导出

教师们不妨在此处多花一些时间,让学生充分讨论牛顿第二定律的导出过程,只要能思考出一种推导方法,对比初中学过的欧姆定理的导出过程,学生会有恍然大悟之感,就可以避免在将来的学习过程中一再出现学习障碍.