另解连接两小球的均质杆离开墙面位置

张金涛

(昆明市第三中学 云南 昆明 650599)

唐 龙

(重庆市巴川中学 重庆 402560)

1 题目

【题目】如图1所示,可视为质点的小球A和小球B质量分别为m1、m2,两球之间用一根长为L,质量为m的轻杆连接,杆放在光滑的水平面和光滑的竖直墙壁之间,开始时,杆与竖直墙面之间的夹角为θ0,某一时刻释放杆,试分析当小球A脱离墙壁时杆与墙壁的夹角.

图1 题目题图

2 杆的转动惯量及动能

设下落过程中,某时刻球A的速度大小为v1,球B的速度大小为v2,做v1与v2的垂线,相交于O点,可认为杆在此瞬间只绕O点转动,没有平动,其转动惯量为

㉝爱新觉罗·弘历:《平湖秋月》，齐耀珊重修、吴庆坻重纂:《民国杭州府志》(一)，《中国地方志集成·浙江府县志辑》第1册，第46页。

3 运动及能量分析

以墙角为原点,设球A和球B的位移大小分别为x1和x2,加速度大小分别为a1和a2,则

（2）由题意可知当x∈［0，+∞），f（x）≤ax+b，即x∈［0，+∞），f（x）-ax≤b成立，所以当0≤x＜1时，可得（1-a）x+2＜b恒成立，即当0＜a＜1时，（1-a）x+2无最大值，所以a≥1，此时（1-a）x+2的最大值为2，所以b≥2，当x≥1时，可得（3-a）x+2＜b，所以当a≥3时，（3-a）x+2的最大值为2，所以b≥2。

v1=v2tanθ

因此可以得到如下结论：(1)相比矩形布局策略，UPRFloor布局策略在牺牲一定算法时间复杂度的情况下能够节省更多的可重构资源；(2)随着w1取值的增大，节省的可重构资源随之增多，同时算法耗时也有所增长，在可重构资源稀缺且布局时限宽松的应用场景中，可选择如参数配置4的参数方案以便获得最高的资源利用率；(3)当w1的取值小于w2与w3时，该布局策略仍能具有较好的布局性能；(4)因为算法耗时与资源利用率增速不匹配的原因，不建议采用类似配置5、6的极限参数配置方式.

将v1、v2代入简化得

gL(2m1+m)(cosθ0-cosθ)=

整理得

T(x)是一个关于x的一元三次方程,它的零点x0即为脱离角度的余弦值,即脱离角度θ=arccosx0

(1)

对时间求导

故T(x)在其定义域范围内至少有一个零点.

进一步整理得

由系统机械能守恒得

(2)

4 脱离条件

球A水平方向的加速度在脱离前始终为零,杆的加速度为B球加速度的一半,脱离的条件是系统水平加速度为零,则3个物体加速度都为零,即

将上式代入式(2)得

进一步整理得

(cosθ0-cosθ)2cosθsinθ(m2-m1)}·

整理得

2(cosθ0-cosθ)=

(cosθ0-cosθ)2cos2θ(m2-m1)}·

将式(1)代入上式得

(m1-m2)cos3θ-(3m1+m)cosθ+

该方程的解即为脱离时的角度.

5 方程解讨论

恒成立

CPⅢ三角高程测量是建立在CPⅢ平面测量的基础之上，采用的是平面测量网型。由CPⅢ平面网釆集的数据经过计算得到CPⅢ三角高程测量的间接高差数据。根据式(2)可以求出相邻两个棱镜之间的间接高差，在测量工作中，保证每个棱镜至少被3个不同的自由设站观测3次，确保为CPⅢ三角高程测量提供了大量的多余观测值，为数据的对比提供基础，同时CPⅢ三角高程测量短视距的性质又为数据精度提供了保障。图3为CPⅢ平面测量数据经过计算转化为间接高差的过程示意图。

第四，要进一步推进体制机制创新。为解决投融资难的问题，鼓励和支持西部地区的政府采取政府注入资本金、土地储备和盘活资产存量，组建规范的投融资公司，搭建平台扩大水利投融资渠道。通过招标投标和承包制来吸引社会资金或外资投入水利设施建设。深化水管体制改革，完善工程水价，还有电价、用地政策，还有税收优惠等方面的政策，以保证建成的水利工程能够确实良性运行。刚才提到的“最后一公里”问题，要在统一规划的基础上，通过财政的补贴，引导农民积极参与工程和水利建设。还有一点要强调的，西部地区一定要把节水放在首位，要加强需求侧管理，建成节水型社会。

T(cosθ0)=

设函数

291 冠心病患者 PCSK9 基因 D320N 位点多态性及其临床意义 张明明，赵 培，于悦卿，张翠改，高 伟，李 芳

当原水水质出现异常恶化时，可通过芬顿高级氧化措施，确保后续生化处理的稳定性。水质状况正常时，来水可仅通过芬顿反应池体，而不需要投加芬顿试剂。芬顿出水进入USAB（升流式厌氧反应器）处理，通过厌氧反应将大分子有机物分解为小分子有机物，厌氧出水选用“脱氮+生物接触氧化”进行好氧处理，小分子有机物进一步被分解。接触氧化池出水进入二沉池进行泥水分离，二沉池上清液自流进入清水池暂存并排放。污水工艺系统产生的污泥排入污泥浓缩池进行污泥收集浓缩，浓缩后的污泥进一步进行机械脱水处理。脱水后污泥可外运处理处置。

若m1≤m2,T′(x)<0恒成立,故此时在其定义域范围内有且仅有一个零点.

若m1>m2,T(x)在实数范围内先增后减再增,若满足左区间函数大于零,右区间函数小于零的情况,则这个区间也只能存在一个零点.

综上,T(x)在其定义域范围内有且仅有一个零点.代入一元三次方程通解公式加以处理可得以下结论:

(1)当m2>m1时,脱离角度

θ=arccos

(2)当m2

(3)当m2=m1时,脱离角度

6 总结

用GeoGebra将本文和参考文献的脱离方程分别绘制出来,其中cosθ0=1,m1=20 kg,m2=1 kg,m=30 kg,图2中实线是前者,虚线是后者,可以看到用这两种方程求零点实际上是等价的,本方程很大程度上简化了参考文献的脱离方程,并且给出了任意情况下脱离角度的求解公式,使得这类问题的处理非常方便.

图2 结果对比图