基于“三教”理念的跨学科“情境―问题”教学探索——以“指数函数的概念”为例

张琳玲，冉胜利，张转周

（1.贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550025；2.遵义师范学院数学学院，贵州 遵义 563006）

随着基础教育课程改革的深入，学科的交叉与融合成为一个必然的趋势。通过数学学科与其他学科的融合，创设跨学科情境，发展跨学科思维，促进学生数学核心素养的提升。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》指出：“数学教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学核心素养”。[1]可见，创设教学情境与提出数学问题对发展学生数学核心素养有着不可或缺的作用。但是实际课堂中存在情境不够真实、有时浮于表面、问题不深刻、流于形式等现象，不能有效促进学生理解性学习和激发学生解决问题的热情。为此，以“指数函数的概念”内容为例，谈谈对开展跨学科“情境―问题”教学的几点认识与思考。

一、“三教”理念与跨学科“情境―问题”教学

吕传汉教授[2]提出在数学教学中教思考、教体验、教表达（简称“三教”）的教育理念，尝试用“三教”引领“情境―问题”教学，培养学生的数学核心素养。“教思考”，即“想数学”，关注学生的数学思维活动，促进学生思辨能力的发展；“教体验”，即“做数学”，关注学生的数学活动体验，促进学生个体经验的获得；“教表达”，即“说数学”，关注学生的数学语言表达，促进学生的思维活动。[2]

跨学科“情境―问题”教学是在“情境―问题”教学模式的基础上，对情境外延做拓展，即基于其他学科背景进行情境创设并提出问题，情境内容蕴含着数学本质，需要学生转换思维方式和分析视角，建立起跨学科情境与数学问题之间的桥梁，从而打破学科之间的壁垒，丰富学生的直接体验和发展学生数学核心素养。

跨学科“情境―问题”教学是“三教”理念的重要载体，而“三教”理念引领跨学科情境的创设。所以，基于“三教”理念的跨学科“情境―问题”教学旨在激发学生学习的主动性和参与度[3]，帮助学生运用多个学科观念思考和解决问题，使学生深入思考、深刻体验、精准表达，进而强化学科理解，达到“活知识”与“活技能”。

二、教学案例分析

立足双新课程，根据人教版新教材关于函数主题的编排顺序和《普通高中数学课程标准（2017 年版）》[1]关于指数函数的学习要求，基于“三教”理念创设跨学科情境开展“指数函数的概念”的教学，更新教育观念，促使学生转变学习方式。

（一）创设情境——深入思考，把握数学本质

创设情境旨在激发学生兴趣和确定问题解决的方向。因此，跨学科情境的创设应当紧扣数学知识的本质，其难点在于如何从其他学科中汲取合适的情境，并引导学生从数学的角度思考和解读情境，将跨学科情境问题转化为与数学知识本质相契合的数学问题。

典故 少年：“读书有什么妙法？”

陶渊明：“学习并没有什么妙法，只有笨法子，必须下苦功，勤学则进，辍学则退！”

名言 勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。——陶渊明

设计意图：教师以讲述陶渊明劝学典故创设跨学科情境，此情境与该年龄段学生的实际想法相吻合，能激发学生的思维活力，主动参与学习并融入情境中去，让学生置身于“少年”角色，使学习者角色化，深入思考“读书妙法”的问题，理解情境的内涵。

思考1 你能从数学的角度解读陶渊明先生的劝学名言吗？

问题1 如果每天进步1%，进步结果y 与天数x 的关系是什么？

问题2 如果每天退步1%，退步结果y 与天数x 的关系是什么？

请同学们思考并填入表1：

表1

设计意图：学生在初步感知了情境的内涵和名言警句的含义之后，教师再抛出问题，引导学生变化思路，从数学的角度思考问题，能更好地把握其数学本质，抽象数学关系式，发展数学抽象的核心素养。学生通过问题1 和问题2 的指引，尝试完成表格，在填写表格的过程中感受进步结果与退步结果的变化趋势。同时，两句名言的内涵也正好与指数函数的变化相呼应，反映出不同底数的指数函数变化趋势，为后续指数函数的图像与性质的学习做铺垫。学生从语文和数学的学科角度思考问题并表述自己的想法，发展跨学科思维。

（二）形成概念——类比讨论，抽象本质属性

概念的形成需要学生对情境充分体验后再对问题进行辨别，接着类化共同属性和抽象本质属性，最后概括形成概念并符号化。这是知识的发生发展过程，学生需要基于已有的知识经验不断反复地对问题进行分析与判断，类比推理，从而建构新旧知识的联系。

讨论1 上述两个关系式中，变量y是变量x的函数吗？

讨论2 它们与幂函数的区别是什么？它们在结构上有什么共同特征？

设计意图：学生经历了“填表”之后，组织学生小组讨论，教师稍加提示，便能得出关于“勤学”与“辍学”的两个数学关系式并清晰快速地确定两者皆为函数。此时学生已经将晦涩的古诗词抽象为数学关系式，鉴于幂函数与指数函数在知识点和结构上有一定的关联，引导学生将二者作比较，得出关系式的异同，再对其结构进行分析并得出结构的共同特征。

思考2 为使函数应用更广泛，当x 取全体实数时，底数的取值范围有限制吗？

思考3 你能类比幂函数的定义，归纳概括指数函数的概念吗？

设计意图：“讨论”与“思考”环环相扣、层层递进、不断深入。指数函数底数的取值范围的讨论是教学难点之一，对定义域的范围进行扩充，逐步引导学生发现其限制范围，为完善定义做好铺垫，加深对分类讨论思想方法的理解。学生通过类比的方法自主概括出指数函数的概念，在类比的过程中组织和规范语言，进而让学生学会用数学语言表达。

（三）回归情境——尝试表达，提升文化素养

情境的作用并不只是简单地引入课题，学生应当是在情境中学有所悟，悟有所得。学生基于情境得到相应的数学知识与模型后，应再次回归于情境之中加以应用，即强调学生的数学表达。学生在表达中思辨、深化理解，以思考推动自己主观体验与感受。

问题3 当x=365 时，请分别求出两个函数的函数值。

设计意图：学生尝试计算结果，在具体的计算中比对表格发现两个函数的变化趋势，一个函数值是在不断地增大，另一个在不断地减小，从而确定“进步”与“退步”两者之间的巨大差异，在具体操作中感受数学所刻画的客观事实。

问题4 结合你的计算结果，谈一谈你对陶渊明劝学名言的理解。

设计意图：学生将具体的函数值与晦涩的古诗词相对应起来，即用数学的语言表达世界，可以更加深刻地理解其含义，并结合数学与语文的学科特征表达自己的观点，增强孜孜不倦的学习信念，丰富文化素养。

（四）动手实践——加深体验，巩固概念理解

根据教材“阅读与思考”栏目中“放射性物质的衰减”这一阅读材料设计跨学科相关的典型例题，学生用跨学科思维解决问题，进一步促进数学思维的发展。通过数学活动进行猜想与操作，体验从具体到抽象的过程，感悟其中蕴含的思想方法和知识本质，丰富学生的数学活动经验，感受数学的现实意义。同时引导学生对数学知识进行应用，自主构建认知结构，加深对概念的理解，发展数学抽象与数学建模的核心素养。

例1 生物死亡后机体内原有的碳14 含量会按比例衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设计意图：放射性物质碳14 含量的衰减是物理现象，其含量变化是指数函数的典型例题，题目中信息量较大，概念较多，当学生初步形成了对指数函数概念的理解之后再进行探究，能较为清晰地分析出该题目的问题结构和抽象出数学模型，感受指数函数的科学价值。

活动与猜想 一张纸，将之对折，厚度变为原来的两倍，假设一张纸的厚度约为0.1 毫米，不断对折后其厚度会发生什么变化？（教师播放视频：纸张对折103 次，厚度将超过宇宙；同时展示相关数据：对折次数、纸的层数）

问题5 在折纸活动中，蕴含着函数模型，同学们能不能从中提炼出函数关系呢？

问题6 观看视频，这个函数值有什么特征呢？

问题7 在折纸活动中，折叠后纸的面积也会随之变化，其中蕴含的函数模型同学们知道是什么吗？

设计意图：指数函数的变化速率也是指数函数的一大特征，纯粹的数字并不能给学生带来直观的感受与体验，学生通过折纸实验和观看视频感受指数函数的变化速率，再次经历数学抽象与数学建模的过程，加深对指数函数特征的体验和理解。

（五）升华理解——落实三教，浸润思想德育

跨学科情境的创设融入了其他的学科观念，让学生在充分思考、深刻体验过后感受问题的多面性以及学科之间的关联性。学生的感悟并不仅限于数学感悟，更应该是多学科理念与思维方式的获得以及思维品质的提升。

问题8 本节课我们是怎样学习指数函数的概念？从中你悟到了什么道理？

名言 勤学则进，辍学则退。——魏晋陶渊明

不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。

——战国荀子《劝学》

设计意图：在巩固指数函数的概念和数学思想方法的同时，让学生回顾学习方式并抒发从中感悟到的道理，谈一谈自己的学习心得。最后，教师借助《劝学》名言警句寄语学生，升华理解，浸润德育教育，帮助学生感悟“勤学”与“辍学”的区别，端正学生的学习态度，树立正确的学习信念，感悟脚踏实地、勤奋刻苦才是学习的唯一途径，提升学生文化素养。

三、结语

在数学教学中，创设问题情境的一个重要任务就是促进学生在数学学习中的思维参与。教师应注重角色由“主导”到“支架”的转变，创设问题情境，引导学生真实性参与[3-5]。以陶渊明劝学典故创设跨学科情境开展教学，让学生基于两种学科观念分析问题，不仅帮助学生建构了两个形象具体的指数函数模型，为后续图象与性质的学习打下基础，也让学生真正地融入情境中进行体验、思考和表达，既传递了正确的学习观念，又让学生感受到数学的文化价值以及学科之间的联系。基于“三教”理念的跨学科“情境―问题”教学强调多学科理念的同步渗透，问题情境的创设关键在于找到学生在情境中的落脚点，将情境与学生关联起来，让学生在情境中体验，在问题中思考，在感悟中表达。