SV波入射下相邻半圆凸起地形地震响应分析

丁海平,张如艳,于彦彦

(苏州科技大学 江苏省结构工程重点实验室,江苏 苏州 215011)

0 引言

地震波在不规则地形中传播时由于波的聚焦、衍射、散射和波型转变等因素,与平坦地面条件相比,不规则地形对地震动的幅值、频率和持续时间等地震动特性均有很大影响。根据震后的调查结果,山体上、下的建(构)筑物的震害有显著的差异。在国内的一些重要的地震中,如1966年云南东川地震、1970年云南通海地震和1988年云南澜沧-耿马地震,均发现山包上房屋的破坏程度普遍比周围平地的严重[1-3]。在国外的地震中也发现类似的现象,如1985年智利地震[4]、1995 年希腊 Egion 地震[5]、1999年希腊雅典地震[6]、2009年意大利地震中均发现山脊/山丘上的建筑物严重受损[7]。另外,强震记录也反映了山顶峰值加速度的明显偏大的现象,在1971年圣费尔南多6.4级地震[8]中,记录到的靠近 Pacoima 大坝的山脊顶部的峰值加速度为1.25g;而在1994年的北岭地震[9]的 Tarzana 山地上更是记录到了1.78g的峰值加速度。我国曾在自贡西山公园从山脚到山顶安装了7个基岩场地强震台阵,在2008年的四川汶川特大地震中记录到的峰值加速度呈现出从山脚到山顶逐渐增大的趋势[10]。除此之外,大量研究人员还采用物理模型大量计算分析了山脊地形的地震动特性,研究了各种因素对加速度、反应谱和谱比等参数的放大影响[11-17],如入射波波型、入射波角度、地震波波长、地形倾斜角等。在上述采用数值模拟方法的研究中,主要考虑的是单个凸起山脊模型,而对于多个凸起地形的场地效应,研究相对较少[18-20]。

本文将采用有限元数值方法,同时选取多次透射公式(multi-transmitting formula,MTF)[21]作为人工边界,计算分析SV波入射下单个半圆形凸起地形和2个相邻半圆形凸起地形的地震响应。根据已有研究成果可以发现,当采用不同的地震波入射进行时程分析时,地表地震动峰值的分布将出现很大差异[22-24],很难得到一般规律,因此本文主要对频域结果——凸起地形地表谱放大系数β进行分析,比较了不同入射波频率、不同入射角度和相邻2个半圆凸起间距的影响,同时还讨论了相邻2个半圆形凸起地形对地震响应的相互影响。

1 计算方法

图1为由复杂场地和人工边界构成的有限元分析系统,其运动方程可表示为:

图1 复杂场地示意图

(1)

式中:M质量矩阵;C为阻尼矩阵;K为刚度矩阵;P为外力矢量。

图2 一维波动模型的人工边界附近节点编号

(2)

(3)

由于MTF模拟的是外行波,其表达式为:

us=u-ur

(4)

式中:us为散射波位移;u为全波场位移;ur为参考波场的位移(一般地,底边界的参考波场采用输入场,而左右侧边界的参考波场取自由场)。

令多次透射式(2)中u0=us,0,将us=u-ur代入式(2)中,则

(5)

2 方法精度验证

文献[13]曾给出了凸起地形的边界元/有限元混合解答,本文取相同的计算模型(图3)用于验证本文计算方法的正确性。该计算模型的大小为400 m×200 m,半圆形凸起地形的半径a=50 m,介质密度ρ=1500 kg/m3,剪切波速Cs=500 m/s,泊松比μ=1/3。

图3 方法验证模型

在半圆凸起的两侧地表各选取25个观测点,凸起表面取23个观测点。在脉冲波(见文献[13])作用下,可得到这些观测点的位移时程响应,对这些时程进行傅里叶变换得到傅里叶幅值谱,并计算与入射波脉冲波的傅里叶幅值谱的比值,就可得到地表各点的频域响应结果-谱放大系数β。图4给出了水平和竖直方向本文的计算结果与文献[13]结果(入射角θ=0°,无量纲频率η=1)的比较,二者吻合很好,本文的计算方法可行。

图4 本文方法的计算结果与文献[13]的比较

3 输入波

模型底部入射脉冲波采用如式(6)δ函数形式[25]:

(6)

图5 输入脉冲波及其傅里叶振幅谱

(7)

式中:λ为计算考虑的入射波最短波长;Cs为土介质的剪切波速;fcut为入射波的截止频率。

复杂场地地震响应的运动解析解一般用无量纲频率的谱比(或称谱放大系数)表示,而无量纲频率可定义为:

(8)

式中:a为凸起地形的圆弧半宽;cs为土层剪切波速。当入射波为谐波时,f为入射波频率,当入射波为时程时,f由时程傅里叶变换获得。

由于根据傅里叶谱得到的是对应于实际频率f的谱放大系数,需要转换为无量纲频率下的结果。根据本文计算模型中圆弧凸起半宽a与剪切波速cs,无量纲频率η与实际频率f对应关系由式(8)可得,如表1所示。

表1 本文模型的无量纲频率与实际频率的对应关系

4 计算模型与分析

本文假定的计算模型由一均匀弹性且各向同性半空间及相邻2个半圆凸起组成,如图6所示,模型尺寸为600 m×200 m,其中半圆凸起的半宽a=50 m,取网格大小为1.25 m。模型A的坐标原点设在左侧半圆的圆心,该模型用于分析右侧半圆凸起对左侧半圆凸起的影响;模型B的坐标原点设在右侧半圆的圆心,用于分析左侧凸起圆弧对右侧凸起圆弧的影响。模型A和模型B均假定了3种不同的凸起间距,分别为L=a、2a和3a。当模型A中去掉右边凸起,或模型B中去掉左边凸起,则退化为单个凸起模型,如图3所示。2个模型的土层剪切波速cs=500 m/s、密度ρ=1500 kg/m3,泊松比μ=1/3。

图6 计算模型

根据模型A和模型B的计算结果,讨论分析不同入射角度θ,不同入射波频率η,以及不同半圆凸起间距L等因素对相邻凸起SV波放大特征的影响。

4.1 右侧半圆凸起对左侧半圆凸起的影响

假定SV波分别以不同入射角度θ=0°、15°、30°输入模型A,可以得到模型A地表各个点的时程曲线。图7～图9给出了图6模型A中点1～点4对应3种不同凸起间距L的时程,反映了右侧凸起对左侧凸起表面和邻近点的影响。从图中可以发现,凸起间距L越小,右侧凸起的影响越大,且随着角度的增大而增大。

图7 θ=0°时模型A左侧凸起地表观测点时程

图8 θ=15°时模型A左侧凸起地表观测点时程

图9 θ=30°模型A左侧凸起地表观测点时程

由于输入的是时程较短的脉冲波,当左侧凸起的点1～点4出现波动峰值时,右侧凸起产生的反射波还没有到达,这4个点的峰值并没有变化,但波形变复杂。对模型A左侧凸起表面、邻近点的位移时程和入射脉冲波分别进行傅里叶变换,在频域内进行进一步比较。图10～图12给出了无量纲频率分别为η=0.25、0.5、0.75、1、2、4的谱放大系数β。从图10～图12中的谱放大系数β值可以看出,右侧凸起对左侧凸起的影响很大,特别是在|x/a|≤1.0范围内,只有单个左侧凸起模型的谱放大系数β与相邻2个凸起模型的左侧凸起的谱放大系数β差别很大,该差异显然是由右侧凸起造成。不同的无量纲频率η、不同的入射角度θ和不同的凸起间距L,对谱放大系数β的影响也不相同。例如,当取η=0.75,θ=0°,x/a=-0.8时,单个凸起的β=1.31,而对应的凸起间距L=a时的β=1.86,由于右边凸起的存在,谱放大系数β值增大了0.41倍;当η=0.25,θ=30°,x/a=0时,单个凸起的β=7.65,而对应的凸起间距L=2a时的β=9.04,谱放大系数β值增大了0.18倍;当η=0.5,θ=0°,x/a=-0.9时,单个凸起的β=1.17,而对应的凸起间距L=3a时的β=2.26,谱放大系数β值增大了0.93倍。

图10 θ=0°时模型A左侧凸起地表位移谱放大系数

图11 θ=15°时模型A左侧凸起地表位移谱放大系数

同时,也有很多情况,由于右边凸起的存在,|x/a|≤1.0范围内的谱放大系数β值变小了。例如,当η=0.25,θ=0°,x/a=0时,单个凸起的β=4.50,而对应的凸起间距L=a时的β=3.57,由于右边凸起的存在,谱放大系数β值减小了0.21倍; 当η=0.5,θ=0°,x/a=0时,单个凸起的β=2.24,而对应的凸起间距L=2a时的β=1.62,谱放大系数β值减小了0.28倍; 当η=0.5,θ=30°,x/a=0时,单个凸起的β=2.41,而对应的凸起间距L=3a时的β=1.62,谱放大系数β值减小了0.33倍。

根据图10～图12的谱放大系数β值,很难得到不同入射角度θ,不同入射波频率η,以及不同半圆凸起间距L等因素对左侧凸起表面各点的频谱放大的影响规律,但有一个现象比较明显:当η>1.0时,对于相同的入射角度θ和入射波频率η,不同的凸起间距L的谱放大系数β的差别很小,且随着η的增大,不同的凸起间距对谱放大系数β的影响越小,当η=4.0时,凸起间距L对谱放大系数β几乎没有影响。根据凸起地形半宽a,土层介质剪切波波长λs,土层剪切波速cs和无量纲频率η的关系,对这一现象进行进一步分析可以发现:无量纲频率η=1.0时,对应的波长为100 m,正好等于凸起地形的宽度(半宽a=50 m),而η越大,则对应的λs越小。因此,当输入波波长大于凸起地形的宽度时,右侧凸起对左侧凸起的影响几乎可以忽略。

4.2 左侧半圆凸起对右侧半圆凸起的影响

本节主要讨论分析SV波入射情形下相邻2个山脊(图6模型B)的左侧凸起对右侧凸起表面和邻近点的地震响应影响,图13～图15给出了点5～点8对应3种不同的凸起间距L的时程曲线。从图中可以发现,凸起间距L越小,对右侧凸起的影响越大,且随着角度的增大而增大。另外,由于右侧凸起在波传播的前进方向,左侧凸起对右侧凸起的影响与右侧凸起对左侧凸起的影响有很大区别,即点5～点8这4个点的峰值变小了。随着入射角度的增大,凸起间距L越小,峰值变小的程度越大。进一步在频域内进行比较,下面同样给出了无量纲频率分别为η=0.25、0.5、0.75、1、2、4的结果。

图13 θ=0°时模型B右侧凸起地表观测点时程

图14 θ=15°时模型B右侧凸起地表观测点时程

图15 θ=30°时模型B右侧凸起地表观测点时程

从图16～图18中的谱放大系数β值可以看出,左侧凸起对右侧凸起的影响很大,不同的入射角度θ,不同的无量纲频率η和不同的凸起间距L,对谱放大系数β的影响也不相同。例如,当η=0.5,θ=15°,x/a=0时,单个凸起的β=2.30,而对应的凸起间距L=a时的β=2.97,因为左侧凸起的存在,谱放大系数β值增大了0.29倍;当η=0.5,θ=30°,x/a=0时,单个凸起的β=2.41,而对应的凸起间距L=2a时的β=3.63,谱放大系数β值增大了0.62倍;当η=0.75,θ=15°,x/a=0时,单个凸起的β=1.22,而对应的凸起间距L=3a时的β=1.88,谱放大系数β值增大了0.54倍。

图16 θ=0°时模型B右侧凸起地表位移谱放大系数

图17 θ=15°时模型B右侧凸起地表位移谱放大系数

图18 θ=30°时模型B右侧凸起地表位移谱放大系数

同样,根据图中的谱放大系数β值,很难得到不同入射角度θ,不同入射波频率η,以及不同半圆凸起间距L等因素对右侧凸起表面各点的频谱放大的影响规律,但与右侧凸起对左侧凸起表面的地震响应影响的特点相似,当输入波波长小于凸起地形的宽度时,其对右侧凸起|x/a|≤1.0范围内且η>1.0的谱放大系数β的影响不大。二者也有不同的地方,左侧凸起对右侧凸起影响的频带范围要宽一些,以η=2.0,θ=30°为例,根据图12,在|x/a|≤1.0范围内,凸起间距L对左侧凸起的影响已经很小了,但图18中反映出的凸起间距L对右侧凸起的影响明显要大一些。此外,左侧凸起对右侧凸起左脚点附近-2.0≤x/a≤-1.0范围内的影响也较明显。

4.3 Kobe波和脉冲波入射下的地表响应比较

由于不同地震波入射下得到的地表加速度峰值等地震动响应的分布规律存在差异,但得到的频域谱放大系数规律是一致的,所以常常可以采用脉冲波输入的形式进行复杂场地地表放大系数的研究。本节选择了图6中模型A在脉冲波和Kobe波(见图19)垂直(θ=0°)入射下的地表响应的部分计算结果,比较不同输入波的地表放大效应。

图19 Kobe波加速度和位移时程

图20给出了Kobe波垂直入射下点1～点4对应3种不同的凸起间距L的时程,反映了右侧凸起对左侧凸起表面和邻近点的影响。从图中可以发现,相对地,凸起间距L越小,右侧凸起的影响越大(特别是4号点),与输入脉冲波的情形类似。进一步在频域内进行比较:图21是模型A(L=2a)左侧凸起地表位移谱放大系数,实线为脉冲波输入下的放大系数,即图10中蓝色点线,点线为Kobe波输入下的左侧凸起地表位移谱放大系数。从图中可以发现,不同的输入波,得到的谱放大系数是一致的。

图20 Kobe波入射下不同凸起间距左侧凸起地表观测点时程(模型A,θ=0°)

图21 脉冲波和Kobe波入射下模型A(L=2a)左侧凸起地表位移谱放大系数比较(θ=0°)

5 结论

本文采用有限元数值方法计算了SV波入射下相邻半圆形凸起地形的放大效应。讨论分析了不同入射角度θ,不同入射波频率η,以及不同半圆凸起间距L等因素对相邻2个半圆凸起相互间的不同影响,得到如下结论:

1)与单个半圆凸起模型的地表时程相比,右侧凸起对左侧凸起表面各点的时程峰值的影响不大,这与本文输入时程较短有关,同时也与右侧凸起左脚点的反射波不强有关,但波形变化明显;而左侧凸起对波动前进方向的右侧凸起的影响较大。

2)对于不同的入射角度θ和不同的入射波频率η情形,不同的凸起间距L对相邻半圆凸起的谱放大系数β的主要影响范围出现在η≤1.0内,但规律性似乎不明显。当η>1.0时,对于相同的入射波频率和入射角度,不同的凸起间距的谱放大系数β的差别很小,且随着η的增大,不同的凸起间距L对谱放大系数β的影响减小。这一临界频率ηcr=1.0与土层剪切波速cs和凸起地形的宽度2a相关。当输入波波长大于凸起地形的宽度(即输入波频率大于临界频率)时,相邻凸起的地形影响可以不予考虑。

3)左侧凸起对波动前进方向的右侧凸起表面各点的谱放大系数β的影响,比右侧凸起对左侧凸起表面各点的影响大,同时影响的频段范围也稍大。