现代阿拉果圆盘实验在大学物理中设计与应用

郑洽好,黄瑞轩,校 媛,卢荣德

(1. 中国科学技术大学 少年班学院,安徽 合肥 230026;2. 中国科学技术大学 计算机科学学院,安徽 合肥 230026;3. 中国科学技术大学 临床医学院,安徽 合肥 230026;4. 中国科学技术大学 物理学院,安徽 合肥 230026)

阿拉果圆盘实验是多年来吸引人们的电磁阻尼与驱动的实验之一.该实验展示了电与磁之间的密切关系,阿拉果于1825年为此获得Copley奖,可堪称为19 世纪原创性实验之一:在运动和变化中产生的电磁感应效应[1].阿拉果圆盘实验已在大学物理中提供有效的教学价值.在大学物理入门课程中,一般是先介绍电,再介绍磁.通过证明沿着长导线的电流会在导线周围产生磁场即安培定律,从而引入了磁与电密切相关的观点;法拉第的实验进一步表明,变化的磁通量产生感应电动势[2].大多数工科专业的学生在大学物理入门课程和后续专业基础课程中了解到电磁阻尼与驱动过程.稍后,他们还将在后续专业基础课程中学习电机的特性等.

阿拉果圆盘实验是旋转的磁体在圆盘中感应出电流,从而产生了与磁针或磁体相互作用的磁场,电磁阻尼与驱动效应[1,3]可重复性强.因此,该实验可在大学物理教学中是一个很好的交叉学科应用案例,它衔接了物理和工科专业教育[4,5].由于此实验可使用现代一些电机、电表轻松构建,因此可布置给学生制作项目或在实验室中作为大学物理实验设计与探究.既可为非工科专业学生的大学物理课程中引入电磁概念[5],也可作为课堂演示和设计与制作实验,以激发大学生对科学的兴趣.

阿拉果圆盘实验的数学描述和模拟结果是多学科优质案例[6,7].本文拟用适合于本科生的水平进行定量描述,而相较于其他的阿拉果圆盘实验的不同或改进之处:基于单极电机结构,采用电刷与灵敏电压表的接脚通过槽来限定轨迹,创意设计与制作更便于演示实验并拓展为可定量分析的仪器,以磁针与圆盘转速及其关系探究实验作为案例.为了满足大学物理教学目的,我们还为现代模式的阿拉果圆盘实验选择了可置换不同金属材料圆盘或丝网的便捷模式,利于课堂与实验教学中使用与推广.

1 经典模式的回顾

首先回顾一下经典阿拉果圆盘实验.1825 年,法国的Francois Arago通过图 1 所示实验装置发现了一种神秘的效应,当时称之为“自转磁力”.在实验中,他在圆形铜盘上方借助一根无扭线悬挂了一根磁针,皮带转轮可旋转圆盘.他注意到转动圆盘会影响磁针向同一方向转动.如果圆盘的旋转速度足够快,磁针就会略有滞后且连续旋转[8].

图1 经典的阿拉果圆盘实验装置

在伦敦的查尔斯·巴贝奇 (1792～1871) 和约翰F W 赫歇尔 (1792～1871) 很快注意到了阿拉果的相同现象,他们做了一个反向实验[9].他们通过旋转放置在下方的磁铁来旋转一个保持水平的铜盘,该铜盘绕中心旋转.由于附近磁铁的运动,导电的非磁性材料中产生了某种形式的磁性.勿容置疑,旋转的磁铁在圆盘中感应出电流,从而产生了与磁针或磁铁相互作用的磁场.阿拉果圆盘实验由Faraday将其升华到“电磁感应”理论高度,而罗兰圆盘实验则常用于解释星球自旋的生磁现象,即所谓“发电机”的生磁原理.

2 现代模式的模拟与设计

随着现代技术的发展,直流电机、电刷和电表可便捷获取,因此可对经典阿拉果圆盘实验进行重新设计与制作,简易搭建现代模式的阿拉果圆盘实验装置,便于对其进行深层次探究.

2.1 磁场的模拟

首先模拟外磁场的情况:该实验中,外界磁场为小磁针所产生的磁场,可近似认为是磁偶极子在r处产生磁场,而在r′处圆形载流导线回路可近似为如图2所示的一个磁偶极子,在线径可略导线上,载流导线微元dl′线电流I近似为原电流I0.

图2 等效模型示意图

该z轴方向面积S磁偶极子的偶磁矩μ为

μ=I0S=I0Sez

(1)

该磁偶极子在r处产生磁矢势为A(r),则

(2)

又因为

(3)

所以

(4)

半径R圆盘在柱坐标系(r′,φ′,z)下表示为

r′=R(icosφ′+jsinφ′)

(5)

dl′=dr′=(-isinφ′+jcosφ′)dφ′

(6)

于是球坐标系(r,θ,φ)下表示为

(7)

所以磁矢势为

(8)

式中er、eθ为为基矢.则球坐标系(r,θ,φ)下磁感应强度为

(9)

其中μ0为真空磁导率,磁偶极矩μ是沿z轴方向,如图3所示,利用计算机模拟该磁场的三维立体分布情况.

图3 计算机模拟该磁场的三维立体分布散点图

2.2 感应电流的产生

如图4(a)所示铜圆盘可分割成无数个铜圆环,从而探究其产生感应电流[9].由于小磁针磁场是轴对称分布,穿过圆盘磁通量Φ保持不变,感应电动势ε为

图4 构建的模型及积分示意图

(10)

因无感应电动势出现,即

ε=∮E·dl′=0

(11)

说明无涡旋电场E出现,与实验结果不符合.

可将圆盘近似分解为无数个铜棒,每个铜棒上都有感应电动势产生,其中某个与磁铁夹角α的铜棒离小磁针r处产生的感应电动势为

(12)

其中B(r,α)为小磁针在(r,α)处的磁感应强度,r′为铜棒离转心的位矢.该式表明:某铜棒上有且仅有磁感线穿进(穿出), 因此感应电流也是一侧流入一侧流出的.可认为转速为ωt圆盘变速过程是准静态的,即每个阶段有一个固定的角速度ω0,即

ωt≡ω0

(13)

故如图4(b)所示某铜棒,有

|Δε(r,α)|≠0

(14)

为此可说明确有沿着径向流动电流,且径向电流产生的磁场在水平方向上的分量都是同向的,从而对小磁针产生了一个转动力矩,使小磁针发生了旋转.根据巴比奇和赫歇尔发现的铜盘割裂效果,可推测圆盘的真实结构应当是上面两种情况的叠加.半径R铜圆环既然不参与感应电流的形成,而参与导体回路的形成,在这个模型中也是至关重要的.

下面可定量计算感应电动势Δε(r,α),计算过程中用到的物理量,如图4(c)所示.

(15)

图5 (a) 圆盘中某棒上电势随r的分布曲线; (b) 圆盘中某一棒的电动势随α变化的模拟曲线

2.3 转动力矩及转速

将电动势近似为均匀分布,可简化模型为无限长导线,即一段长为h′铜棒所产生磁场磁感应强度

(16)

其中Re是材料电阻,由磁荷观点,可得到位于rmag转动力矩

(17)

这仅是正下方一根铜盘产生的效应,若要考虑到其他铜盘共同的效应,μ为磁偶极矩,则应计算一个复杂的积分.但是该积分结果形式与ΔM相同,可以X代替积分因子,总的力矩形式上记为

(18)

由前面对感应电动势的计算,可知当小磁针性质、位置不变时,感应电动势仅与圆盘角速度ω和所处位置α有关.若考虑一侧的电动势总和,也要涉及到一个复杂的角度积分,且形式也不改变,则该力矩表达式为

M=Zωeθ

(19)

Z是常系数,可得运动方程:

(20)

这里设ωt是小磁针的转速,J是小磁针的转动惯量.为考虑之后的运动,可用相对运动的观点,可得适用于全程运动方程:

(21)

该方程表明,小磁针角速度ωt的变化始终落后于圆盘角速度ω变化(在准静态过程下),说明电磁感应理论能正确地说明小磁针的滞后效应.

3 现代模式实验装置的制作与应用

基于以上模拟分析,有2种简捷设计与制作.

3.1 单极电机结构的制作

单极电机的结构可抽象为如图6所示的电路.在理想的对称情况下,两侧支路将通过相等电流I,外界磁场为B(r)是非均匀的,在矢径r0处产生的磁场为B(r0),这个磁场将对该处电流元产生一个安培力,其大小为

图6 (a) 单极电动机的构造; (b) 基于Python实现的磁偶极子磁场平面分布; (c) 单极电机结构装置的制作

dF(r0)=Idl′×B(r0)

(22)

由于两侧电流方向相同,而磁力线对称分布,由矢量的运算反对称性,这个磁场在两侧产生的安培力大小相等、方向相反,其表征力为FA.这2个安培力对半径为R线圈产生同方向的转动力矩M=R×FA,因此可驱动线框旋转.

在现实情况下,由于存在摩擦力与阻力矩Mf,这个力矩与转速相关,当2M接近于Mf时,根据转动定律

Jα=2M-Mf

(23)

其中J是线圈的转动惯量,可知线圈的转速将趋于稳定.该过程因为产生焦耳热而消耗电池能量,线圈转速会逐步减弱,而在稳定后较短时间内仍可认为线圈做匀速圆周运动.由于搭建单极电机的材料除磁铁外都不具有磁性,实验所用电池,除了两端电极之外不含金属导体,因此对原磁场产生的影响可略.

所用电池参数显示,正常短路电流约在6～12 A,由安培环路定理,该电流I在r处产生磁场为

(24)

这个磁感应强度在10-3m内将衰减至10-3T.实验前用精密高斯计测得磁铁在电机所处空间范围内所产生磁感应强度约为10-1～10-2T ,因此电流产生磁场对原磁场的分布影响在建模时也可略.

不妨把磁铁看成磁偶极子,可用磁荷的观点,可类推出磁偶极子r处的磁感应强度B表达式为

(25)

用计算机模拟可得出这个磁场分布,如图6(b)所示.设线圈半径为R,线圈离磁体高度为H,其中的电流为I,则在柱坐标系中一侧线框受到力矩为

(26)

其中

合力矩为M,由

Jβ=2M-Mf

(27)

其中Mf为摩擦力与阻力产生的力矩,联立可给出转动加速度β.

实验过程中无竖直方向安培力存在,由于摩擦力存在.因此可认为

(28)

摩擦力矩近似为常量,因此转速ω的线圈将做加速运动.受电磁感应等效应的影响,B和导线中I要发生变化.当β=0时,开始做匀速转动.

3.2 实验装置的制作与探究

根据前面的实验,基于单极电机结构利用阿拉果圆盘可制作电磁感应演示仪.如图7(a)所示,用塑料盒将马达、可置换不同材料的圆盘和传动装置封装,灵敏电压表和圆盘用电刷连接.实验时,电源开启,此时磁针与旋转的圆盘相对运动,圆盘内形成径向电流,可观察到灵敏电压表发生偏转,可定量验证电磁感应现象.电刷与灵敏电压表的接脚通过槽来限定轨迹,还以转速表、转速调节器定量验证可置换不同材料的阿拉果圆盘相对磁场运动时,定量检测其径向电流.实验装置示意如图7(b)所示.

图7 (a) 演示模型图; (b) 实际实验装置图

以磁针与圆盘转速及其关系探究实验作为案例,如表1数据.

表1 磁针与圆盘转速的实验数据(圆盘转速为ω0,磁针转速为ωt,单位rad/min)

如图8所示磁针转速拟合曲线ωt=ω0(1-e-1.03t)说明磁针转动滞后特点,即磁针会跟随着圆盘转动,但稍有落后.考虑到实际过程中还存在空气阻力与电刷的摩擦力及其扭转张力影响,从而圆盘设定转速也有局部小范围偏低.从实验结果来看,铜盘转速局部抖动对磁针转速几乎没影响,所以设定转速的铜盘(图中虚线)可使磁针异步转动.

图8 磁针与圆盘转速及其关系的实验曲线

在建模时曾推测,阿拉果圆盘可置换不同模式的丝网模型[9].若要深层次探究,可尝试制作不同材料丝网模型,用不同材料的丝网模型来置换阿拉果圆盘,用灵敏电压表检测各种现象是否出现,以此来验证可能出现的非恒定的阻尼与驱动效应.

4 结束语

本文回顾了阿拉果圆盘在经典模式下的工作原理,将其简化为旋转圆盘和磁针的效果.我们描述了径向感应电流驱动过程,这是大学物理入门课程中的典型问题之一.通过求解电流的安培定律,我们发现运动方程似乎是涡流驱动效应[10].根据所获得的结果,置换不同材料的丝网模型进行验证,我们可拓展为一种用于定量分析不同材料的丝网中径向电流分布的实验仪器.

对于现代模式的阿拉果的圆盘实验,我们使用了简捷的设计来传递安培定律、法拉第定律、直流电机、电刷和转速计的核心概念.实践表明,使用相对运动可显著提高阿拉果圆盘的效果.电机具有非常快的响应时间[10].在现代模式的阿拉果圆盘实验中,它们被用作快速直观的便携式演示,并且由于电机是许多工业设备的关键部件,为后续课程可持续学习提供有益的教学价值.许多工科学生在课程中会遇到工业设计中的电机.因此,现代阿拉果圆盘实验是大学物理教学的一个交叉学科案例,因为它结合了物理学和电气工程的概念,适合于大学物理教学中推广应用.