2023年新高考全国Ⅱ卷第21题解题思路分析及推广

【摘 要】解析几何定值、定点问题的求解过程中经常会遇见一类非对称结构的代数式，如λx1+μx2，x1/x2，λx1x2+x1/μx1x2+x2，x1x2+x1－2x2/x1x2+x1+x2等，借助2023年新高考全国Ⅱ卷第21题的探究谈谈如何利用韦达定理对其进行化简，提高学生的运算素养.【关键词】圆锥曲线；非对称结构;韦达定理

直线与圆锥曲线相交问题中，很多时候都是联立直线与曲线方程，利用韦达定理对一些对称结构（形如x1x2，x1+x2等）的代数式进行化简、消元.2023年新高考全国Ⅱ卷第21题是一道非对称结构的圆锥曲线定值问题，如何利用韦达定理对这种非对称结构的代数式进行化简呢，本文从几个思路进行分析、求解并推广，希望起到抛砖引玉的作用［1］.

1 试题回顾

（2023年新高考全國Ⅱ卷第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与直线NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

参考文献

［1］陈崇荣，袁琴芳.2021年八省联考卷第7题解法探究及推广[J].理科考试研究，2021（07）：5-9.

［2］董双双，杨倩.一道高考题引发的关于齐次化应用的思考[J].中学数学杂志，2022（11）：20-24

作者简介 陈崇荣（1978—），男，福建龙岩人，中学一级教师，市学带培养对象；主要从事高考试题研究及中学课堂教学研究；发表数学论文40余篇，参编高考复习指导书《2017高考数学经典题型与变式》.