以空间向量为“工具”，快速解答立体几何问题

陈涛祖

空间向量是解答数学问题的常用“工具”.在解答立体几何问题时，灵活运用空间向量这个“工具”，可将问题转化为空间向量运算问题，这样不仅能拓宽解题的思路，还能有效地提升解题效率.下面结合实例，谈一谈如何运用空间向量解答立体几何中的角度、距离以及位置关系问题.

一、空间角问题

空间角问题主要有异面直线所成的角问题、直线与平面形成的角问题、二面角问题.求解立体几何中的角度问题，通常要用到夹角公式[cosn1，n2=n1?n2n1?n2].这就要先根据几何体的特征，建立合适的空间直角坐标系；然后求出各条直线的方向向量、平面的法向量；再根据夹角公式进行求解.

首先根据正方体的特征，以顶点D为原点，三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系；然后根据正方体的特征以及三垂线定理，可推出[A1O⊥平面C1BD]、[C1O⊥平面A1BD]，即可将[A1O、C1O]看作两个平面的法向量，根据夹角公式求得其夹角.运用空间向量法求解立体几何問题，可使抽象的立体几何问题变得具象化.

二、空间距离问题

空间距离问题主要有求两点之间的距离、求点到直线的距离、求点到平面的距离、求直线与平面之间的距离、求平面与平面之间的距离.一般地，在建立直角坐标系后，通常可直接运用两点之间的距离公式求两点之间的距离；通过作点到直线的垂线，求点到直线的距离；通过法向量，求点到平面的距离、求直线与平面之间的距离、求平面与平面之间的距离.若平面的斜线的方向向量为[n1]，平面的法向量为[n2]，则点到平面的距离为[d=n1cosn1，n2=n1?n2n2].

我们先根据正三棱柱的特征，建立空间直角坐标系，并求得各个点的坐标以及平面[A1BD]的法向量[AB1]；然后利用数量积公式求点[C]到平面[A1BD]的距离.在建立空间直角坐标系时，往往要根据题意和图形寻找垂直关系，如直线之间的垂直关系、直线与平面之间的垂直关系，以确定坐标轴.

三、空间位置关系问题

空间位置关系主要是指点、线、面之间的位置关系，如平行、垂直、包含、重合等.运用空间向量求解空间位置关系问题，一般需在建立空间直角坐标系后，求得各个点、向量的坐标，并根据向量之间的关系进行判断.一般地，已知[a、b]为直线a、b的方向向量，[n]为平面[α]的法向量，若[a//b]，则两条直线平行或重合；若[a⊥b]，则两条直线互相垂直；若[a//n]，则直线a与平面[α]垂直；若[a⊥n]，则直线a与平面[α]平行，或直线a在平面[α]内.

例4.在四棱锥[P-ABCD]中，平面[PAD⊥]平面[ABCD]，[PA⊥PD]，[PA=PD]，[AB⊥AD]，[AB=1]，[AD=2]，[AC=CD=5].那么在棱[PA]上是否存在点[M]，使[BM//]平面[PCD]，若存在，求出[AMAP]的值；若不存在，请说明理由.

用空间向量解答空间位置关系问题，需熟练掌握并运用向量运算法则以及共线定理，根据向量之间的平行、垂直关系判断点、线、面之间的位置关系.

总之，运用空间向量解答空间角、空间距离、空间位置关系问题，只需建立合适的空间直角坐标系，通过空间向量运算即可求得问题的答案，能有效地提升解题的效率.