基于空间信息表征的勾股模糊集空间距离测度

王嘉丽, 江文奇, 陶希闻

(南京理工大学经济管理学院, 江苏 南京 210094)

0 引 言

1965年,Zadeh教授提出了模糊集理论,可以较好地处理模糊环境下的决策问题[1]。1986年,Atanassov教授采用包含隶属度和非隶属度参数的直觉模糊集刻画模糊信息,在处理模糊性和不确定性等方面比传统的模糊集更具灵活性和实用性[2-4]。作为直觉模糊型多准则决策的重要环节,直觉模糊集的距离测度会对多准则决策信息的合成产生影响,逐步成为研究热点。近年来,很多学者从不同视角提出了距离测度模型,如海明距离测度[5-6]、区间模糊距离测度[7-8]、基于相似度的距离测度[9-12]、基于理想解的模糊距离测度[13-14]、几何距离测度[15-17]、熵权法交叉距离测度[18-19]等,较好地支撑了直觉模糊多准则决策模型构建。部分学者还将直觉模糊集转化为直角模糊集三角形(隶属度和非隶属度)[20-21]、质心直角模糊集三角形(隶属度、非隶属度和犹豫度)[22]或等腰三角形[23-24]。根据上述文献可知,模糊集是由多个参数同时表示的信息集,目前的研究主要集中在二维平面进行距离测度,二维平面的有限空间难以准确表达多个参数的决策信息。若是利用空间模型来表达模糊集的决策,则可以容纳更多的决策信息,从而保证决策结果的准确性。

鉴于现有直觉模糊集中关于隶属度、非隶属度和犹豫度的定义及其特性(如隶属度和非隶属度之和小于1)可能无法表征不确定性信息的缺陷[2],Yager等提出了勾股模糊集,重新给出了隶属度与非隶属度之间的关系,给出了自信度和自信度方向、方向夹角等参数,较好地涵盖了评估信息和表达了不确定性信息[25-27],勾股模糊集中隶属度与非隶属度之和可以大于1,相对于直觉模糊集扩大了决策信息的范围,容纳更多的决策信息[28-29]。针对勾股模糊集的距离测度,部分学者采用了不同的参数设计测度模型,如Wan等[30]考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度3个参数;Li等[31]考虑了隶属度、非隶属度、自信度和自信度方向4个参数;Zeng等[32]考虑隶属度、非隶属度、犹豫度、自信度、自信度方向5个参数;Zhou等[33]考虑隶属度、非隶属度、夹角角度、自信度和自信度方向5个参数等。但是以上涉及到勾股模糊集不同参数的距离测度中,仍然没有有效考虑勾股模糊集相对于直觉模糊集扩大的决策领域,不能较好地描述勾股模糊集的信息空间,也无法体现距离测度数值对决策结果的影响。

总体上看,勾股模糊集表征形式能较好地展现模糊评价信息。尽管提出了多种勾股模糊集的距离测度,但仍然局限在直觉模糊集的可行域内求解,没有充分考虑隶属度与非隶属度之和大于1的可行域范围,存在丢失决策信息导致决策结果不准确的情况。为此,本文在充分考虑勾股模糊集的具体特征基础上,构建包括隶属度、非隶属度、犹豫度、自信度4个参数的空间几何体,进而设计满足勾股模糊集特有性质和距离测度性质的空间距离测度模型,应用研究说明了其在可行域范围内可保持更大信息空间的优势特性。

1 勾股模糊集表征

为了描述勾股模糊集的特征,本节先给出直觉模糊集概念,进而引出勾股模糊集,并比较两者之间的差异。

定义 1[2]直觉模糊集。A={x,〈μA(x)〉,〈vA(x)〉|x∈X}。对任意x∈X,μA(x)+νA(x)≤1,μA(x)、vA(x)∈[0,1]。μA(x)和νA(x)为x对A的隶属度和非隶属度,称πA(x)=1-μA(x)-νA(x)为其犹豫度。

假定两个直觉模糊集A1=A(μA1,νA1),A2=A(μA2,νA2),满足性质:A1⊆A2,当且仅当μA1≤μA2,νA1≥νA2,∀A∈X;A1=A2,当且仅当μA1=μA2,νA1=νA2。

假定MA1和MA2分别是A1和A2的记分函数,HA1和HA2分别是A1和A2的精确函数。MA1=μA1-νA1,MA2=μA2-νA2;HA1=μA1+νA1,HA2=μA2+νA2。则有:若MA1MA2,则A1>A2;若MA1=MA2,有HA1HA2时,A1>A2。

图1 勾股模糊集和直觉模糊集的空间对比

如果P1=P(μP1,νP1),P2=P(μP2,νP2),P=P(μP,νP)是论域X上的3个勾股模糊集,则有:P1∪P2=P(max{μP1,υP1},min{μP1,υP1}),P1∩P2=P(min{μP1,υP1},max{μP1,υP1})。

2 基于空间坐标的勾股模糊集距离测度设计

2.1 现有勾股模糊集距离测度方法分析

假设有3个勾股模糊集p1=(μp1,νp1)、p2=(μp2,νp2)、p3=(μp3,νp3),基于μp、νp、πp、rp、dp、θp6个参数。本文列举几种主要的距离测度函数,表示如下。

Wan等[30]使用3个参数μp、νp、πp进行距离测度。由图1可知,没有考虑勾股模糊集中隶属度和非隶属度之和大于1的情况:

Li等[31]使用4个参数μp、νp、rp、dp进行距离测度,没有考虑犹豫度对距离测度的影响,当隶属度和非隶属度为线性关系而犹豫度为非线性的情况下,可能出现d(x,y)=d(x,z)+d(y,z)的反直觉情况。

Zeng等[32]使用5个参数μp、νp、πprp、dp进行距离测度,虽然考虑了犹豫度对距离测度的影响,但是有一些情形仍不能很好地区分。例如,考虑3个勾股模糊集p1=(0.96,0.22),p2=(0.08,0.23),p3=(0.07,0.4),有p1≥p2≥p3,可知d(p1,p2)≤d(p1,p3)。利用Zeng等[32]的距离测度方法d(p1,p2)=0.689,d(p1,p3)=0.685。有d(p1,p2)>d(p1,p3),与距离的基本性质不符。

Zhou等[33]使用5个参数μp、νp、rp、dp、θp进行距离测度,同样没有考虑犹豫度的影响,而出现同Li等[31]一样违反距离基本性质的情况。

Zeng等[32]和Zhou等[33]虽然考虑了犹豫度,添加了参数dp、θp,该参数是由μp、νp构建,但没有证明是否存在同一个参数多次使用的问题。且上述4种距离测度中存在没有考虑μp+νp>1的情况。

2.2 新的勾股模糊集的距离测度设计

根据上述方法的分析,本文采用空间几何体表征勾股模糊集和利用空间质心构建新的距离测度模型。其中,本文空间距离测度模型中考虑了隶属度、非隶属度、犹豫度、自信度4个勾股模糊集的有效参数。隶属度、非隶属度、犹豫度代表勾股模糊集本身的犹豫模糊特性,自信度保证了勾股模糊集扩展的空间。隶属度表示决策对属性评价的支持度,非隶属度表示对属性评价的不支持度,而犹豫度则是对属性评价保持中立态度,既不支持,也不反对。自信度表示的是勾股模糊集相对于直觉模糊集扩展的信息空间,也是勾股模糊集特有的性质。该距离测度模型中增加的犹豫度和自信度充分表达了勾股模糊集的特有性质,是勾股模糊集间距离测度的关键参数。有效考虑了空间信息量的变化,可以容纳更多合理的参数并涉及勾股模糊集相对于直觉模糊集拓展的部分。

图2 不考虑自信度的空间几何体

图3 考虑自信度的空间几何体

定义 4设A、B为论域X={x1,x2,…,xn}上的两个勾股模糊集,a和b分别为A和B的两个勾股模糊集,a=(μA(xi),νA(xi)),b=(μB(xi),νB(xi)),xi∈X,1≤i≤n。基于图3的信息表征,定义a和b几何质心的距离为

(1)

通过空间信息量的变化情况选择有效参数,规避了参数缺失或信息重复使用的情况,并且包含了更多的决策信息,简化了计算过程并提高计算效率。

3 基于空间坐标的勾股模糊集距离测度特性分析

3.1 距离测度基本性质

通常,勾股模糊集的距离测度满足以下性质。

性质 1非负性0≤d(x,y)≤1。

性质 2对称性d(x,y)=d(y,x)。

性质 3三角不等式特征d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)。

本文在现有3种性质的基础上再增加2个特质。

性质 4d(x,y)=0,当且仅当x=y,且πx=πy=0。

性质 5x≥y≥z,∀d(x,z)≥d(x,y),d(x,z)≥d(y,z)。

证明依据勾股模糊集的性质和式(1),非负性显然成立。性质1得证。

由于

即满足对称性,性质2得证。

针对性质3,对任意实数ak和bk,k=1,2,…,n,按照Cauchy不等式,可知:

d(x,z)+d(y,z)

性质3得证。

针对性质4,因为d(x,y)=0⟺μx=μy,νx=νy,πx+πy=0⟺x=y且πx=πy=0,得证。

针对性质5,根据性质3的证明,同理可得x≥y≥z,∀d(x,z)≥d(x,y),得证。

证毕

从距离测度本身看,满足上述五条性质即可。为了更好地进行勾股模糊集之间的距离判断,可以将其距离测度特性加以扩展。由于性质5要满足x≥y≥z,则μx≥μy≥μz,νx≥νy≥νz,∀d(x,z)≥d(x,y)。这种强假设关系在实际生活中很难成立,很多勾股模糊集不满足上述假设,无法直接判断勾股模糊集的大小。

3.2 距离测度扩展性质

在勾股模糊集无法使用隶属度和非隶属度直接判断大小时,本文有效拓展记分函数、精确度函数、贴进度函数、标量函数、相对距离等5种判断勾股模糊集大小的方法,进而提出了多种勾股模糊集距离定义的拓展性质,并用来验证所提出的距离测度方法的有效性。

扩展性质 1基于记分函数和精确函数的距离判断

若Mx≤My≤Mz有d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z);Mx=My=Mz,Hx≤Hy≤Hz,有d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z)。

证明因为Mx=My=Mz,Hx≤Hy≤Hz,由性质1可知,x≤y≤z,所以d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z)。

证毕

扩展性质 2基于贴进度函数的距离判断

证明由贴进度的性质可知,若Cx≤Cy≤Cz,∀x≤y≤z,则根据性质5可知,得证。

证毕

扩展性质 3基于标量函数的距离判断

证明由标量函数的性质可知,若Vx≤Vy≤Vz,∀x≤y≤z,则根据性质5可知,得证。

证毕

扩展性质 4基于相对距离的距离判断

证明由相对距离的性质可知,若Rx≤Ry≤Rz,∀x≤y≤z,则根据性质5可知,得证。

证毕

4 勾股模糊集距离测度的比较分析和应用

为了更好地表征本文提出的空间质心距离测度的优势,针对上述特性进行比较分析。鉴于采取理想化和极端化的评价值(如(1,1),(1,0))等在模糊集值使用连乘运算的集结过程中会忽略其他偏好信息的现状,故研究一般情形下的反直觉问题则更加具有普遍性。

4.1 基本特性和拓展性质比较分析

假设表1中a,b,c分别表示3个勾股模糊集,勾股模糊集下方两行括号中的数值分别表示d(a,b),d(a,c),d(b,c),对比文献的反直觉情况用粗体表示。√表示满足对应的性质,×表示不满足对应性质。

表1 基本性质及扩展性质的比较分析

基本性质中,现有文献都满足性质1、性质2和性质4这3条性质,本文仅分析性质3和性质5。性质3的反直觉例子中,勾股模糊集的隶属度和非隶属度均为线性关系,但犹豫度均为非线性关系,可能忽略了犹豫度的存在或者在集结转换过程中造成了犹豫度的信息损失。如图4所示,如果将其投影到二维平面中,只考虑隶属度和非隶属度,忽略犹豫度后则三点为线性关系,从而导致结果不合理。因此,二维平面无法容纳更多的信息空间,影响决策信息的完整性。在空间中考虑犹豫度避免了因信息损失导致的决策失误。

图4 立体空间投影到二维平面的3个点

性质5及拓展性质1～拓展性质4的反直觉例子中,分别有Ma≤Mb≤Mc,Ca≤Cb≤Cc,Va≤Vb≤Vc,Ra≤Rb≤Rc,∀a≤b≤c,但在4个对比文献中均有d(a,b)≥d(a,c)或d(c,b)≥d(a,c)的不合理情况出现,导致无法正确区分多个点之间的距离。

4.2 模式识别比较分析

运用模式识别验证所提方法的有效性。假设d22和d23两种距离测量方法中权重ωi=1/3,i=(1,2,3)。通过距离判断样本属于哪一模式,距离越小模式越接近。设P1,P2,P3表示论域X=[x1,x2,x3]上的3种模式A1,A2,A3。

P1={(μ11,ν11),(μ12,ν12),(μ13,ν13)}

P2={(μ21,ν21),(μ22,ν22),(μ23,ν23)}

P3={(μ31,ν31),(μ32,ν32),(μ33,ν33)}

根据距离测度将未知模式的样本P分类到模式A1,A2,A3中

P={(μ1,ν1),(μ2,ν2),(μ3,ν3)}

两个勾股模糊集之间的距离计算如下:

d(P,Pj)=

j=1,2,…,m;i=1,2,…,n

(2)

本文列举了4个模式识别的例子,如表2所示,例1中除文献[30]的结果以外,d(P,P1)更小,样本P更接近P1。而文献[30]的判断结果是更接近P2,结果与一般性存在一定的差异。例2～例4中文献[31]、文献[32]、文献[33]也有与例1相同的情况存在。根据模式识别的对比分析可知,对比文献中在一定的条件下不能准确地判断样本所属的模式。而本文提出的距离测度方法可以有效地克服现有方法的不足,完善了勾股模糊集的距离测度和模式识别问题。

表2 模式识别的对比分析

4.3 应用——医疗诊断

根据Vlachos等[37]医疗诊断问题中提出的问题进行分类。有一组诊断结果分别是Q={Q1(病毒热),Q2(疟疾),Q3(伤寒),Q4(胃问题),Q5(胸部)},症状S={S1(温度),S2(头痛),S3(胃痛),S4(咳嗽),S5(胸痛)}。但Vlachos等[37]的数值是基于直觉模糊集,本文对数据进行调整使其满足勾股模糊集的特性。假设一名患者的所有症状P都可以由以下勾股模糊集表示:

P={(S1,0.5,0.6),(S2,0.6,0.1),(S3,0.2,0.8),
(S4,0.6,0.1),(S5,0.1,0.6)}

每个诊断Qi(i=1,2,3,4,5)可以被视为与所有症状相关的勾股模糊集,如下所示:

Q1={(S1,0.3,0.9),(S2,0.3,0.5),(S3,0.1,0.7),
(S4,0.4,0.3),(S5,0.1,0.7)}
Q2={(S1,0.8,0.5),(S2,0.2,0.6),(S3,0.0,0.9),
(S4,0.7,0.0),(S5,0.1,0.8)}
Q3={(S1,0.5,0.6),(S2,0.6,0.1),(S3,0.0,?0.9),
(S4,0.7,0.0),(S5,0.1,0.9)}
Q4={(S1,0.4,0.9),(S2,0.2,0.4),(S3,0.8,0.0),
(S4,0.2,0.7),(S5,0.2,0.7)}
Q5={(S1,0.4,0.7),(S2,0.0,0.8),(S3,0.2,0.8),
(S4,0.2,0.8),(S5,0.8,0.1)}

通过诊断的结果将病人的病情分类。与之前的模式识别类似,根据式(2)得到最小值,从而推导出患者P的正确诊断。根据式(1)和式(2),可以获得以下结果:

可知d(P,Q1)的值最小,即患者的诊断结果与Q1(病毒热)最接近。通过医疗诊断的案例可知,本文提出的勾股模糊距离测度可以对不同模式进行有效划分。

5 结束语

本文根据勾股模糊集本身的有效参数构建勾股模糊集空间几何体,考虑了勾股模糊集相对直觉模糊集扩大的部分,构造了一种以勾股模糊集表征的空间距离测量方法,解决了勾股模糊集中多个参数的距离测度问题。不仅证明该方法满足距离的定义,还提出了多种拓展性质用以判断勾股模糊集的距离(进一步推广到其他形式的模糊环境中,扩大了模糊集的应用范围),并应用于处理模式识别问题。表1的对比结果表明,本方法可以有效克服对比文献中距离测度的缺点;表2的对比结果表明,在处理模式识别问题时本方法优于对比文献中所提出的方法。

本文提出的距离测度方法主要集中在模糊冲突测度方面,在未来的研究中,可以扩展到模糊属性之间的动态相关性,并且在复杂的模糊大数据环境中考虑群体共识。例如,利用自适应的动态决策方法确定模糊多属性群体评价、如何保证大数据背景下信息损失最少等,以增强所提出方法的灵活性和实际应用能力。