初中数学例题变式教学的实践与认识

朱加鹏

【摘要】初中数学课堂教学依赖于例题，教师应该注重例题的设计与精心改编，避免例题教学功能单一.例題变式能够让例题教学的功能大为增强，对培养学生的学习能力和数学核心素养十分有利，所以教师要明确和掌握例题变式的策略及技巧.基于此，文章结合现有的研究及实践成果，探究初中数学例题变式教学的可行之策，为初中数学教师提供些许建议.

【关键词】初中数学；例题；例题变式

初中数学例题变式中要遵循三大原则，即系统性原则、目的性原则、深入性原则.在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的指导下，初中数学的教师们更关注学生的数学核心素养培育，同时关注习题讲评、例题变式教学，取得了不错的教学成效.例题变式教学面临一些较问题，大部分教师奉行简单的“拿来主义”，在例题变式中没有深入思考、预设追问、精心改编，导致例题变式教学未能达到理想目标.教师要不断丰富的教学经验，在初中数学例题变式教学过程中注重自我思考和自我反思，例题变式的功能完善，能够给学生更多的启发和有效训练.

一、初中数学例题变式的优势

教师通过初中数学例题变式教学，可以取得良好的教学效果，其优势非常值得肯定.首先，例题变式教学会拓展新问题，借助新问题可以培养学生的数学思维，且进一步提高思维的广度与深度.在基于“新问题”的例题变式中，基本问题和新问题之间有紧密关联，比如两者具有层层递进的关系，新问题是基于基本问题向外延展而形成的，也正是因为如此，所拓展的新问题能够促使学生的思维朝着纵深方向发展，进一步体悟到知识类比、数形结合等数学思想的用法.教师如果长时间进行例题变式教学，一定可以开阔学生的解题思路，提升学生解题速度与能力.

其次，例题变式设计时，教师可以隐藏掉例题中的某一条件，如此设计，有助于发展学生的发散式思维.当例题中的某一条件被隐藏，例题的题意可能会变化或完全改变，此时虽然解题难度增加，但却可以有效激发学生的探究兴趣和解题兴趣.长时间做“隐去某一条件”的例题，学生的思维会具备发散性，也会形成严谨的学习态度.

再次，在例题变式设计中，教师通过改变其中的某一个条件，有助于培养和发展学生的逻辑思维，促进逻辑思维的严密性.教师将例题中的某一个条件或多个条件改变之后，学生难以觉察，从而更认真地审题和思考，可以潜移默化地培养审题能力、逻辑思维.教师要注意一点，即例题变式设计要始终遵循学生的当前水平，不应该超出学生当前的学习能力、认知水平及解题能力，避免做徒劳的例题变式教学.

最后，教师在初中数学例题变式设计中，可将例题的条件、结论互换，这样的题型可以培养学生的逆向思维.以初中数学的几何证明题为例，教师应该将逆向思维法的技巧传授给学生.比如，在证明“某两条边相等”时，教师可以叮嘱学生只需要证明某两个三角形相等，再比如，证明“三角形全等”时，叮嘱学生思考证明缺少的条件需要怎样做辅助线.基于这样的思考，学生在解题时可以将过程顺利写出.

二、初中数学例题变式的常见形式

（一）一题多变

借助“一题多变”的题型，可以有效发展学生的数学思维，促进思维的灵活性.在一题多变中，教师要努力借助例题帮助学生全方位、广视角和多层次地认识数学问题，达到“做一题会一类”的效果.如，这样一道例题，“？ABCD中，已知DE=BG，AF=CH，那么如何求证EG和HF互相平分？”如图1所示.在例题变式设计中，教师可以设计三种题型.

第一，给出具体问题及条件，即？ABCD的对角线是AC，BD，已知AC，BD交于点O，且EF过点O分别和AB、CD相交，交点分别是E，F，请求证OE=OF.如图2.

第二，如果GH⊥BD，GH分别交AD，BC于点G，H，此时将BG、DH连接起来，所形成的四边形BGDH是什么样的四边形？如图3.

第三，观察图2，大胆地说一说哪些线段连接起来可以形成哪一些新的平行四边形？为了提高例题变式教学的针对性，教师可以直接给学生呈现如图4.

（二）一题多问

在一道例题中，教师可以围绕例题的本质提出较多问题，引领学生进行深度思考，促使认知不断提高与深化.以苏教版八年级上册“全等三角形”为例，教师可以在复习课上对学生进行例题变式教学.例题是“在△ABC中，已知AB=AC，△ABC的角平分线是BD，CE，现在求证BD=CE”，在一题多问的设计中，教师可以提出四个问题.第一，是否可以用不同的方法求证BD=CE.第二，若原问题的已知条件不变，能获得哪些结论呢？第三，如果要证明同样的结论，那么可以试着改变哪些已知条件呢？第四，请你可以试着对例题进行精心改编，甚至是可以改变图形，编出新问题并解决.除此之外，为切实锻炼学生的数学思维，教师可以将“一题多问”的设计机会留给学生，引领学生进行自主学习和深度学习.比如，以苏教版八年级下册“平行四边形的判定”为例，教师可以给学生提这样的问题，即“有一个对角线相等的四边形，现在将四条边中点顺次连接起来，你们能说一说所得到的四边形是什么四边形吗？”在此基础上，教师可以鼓励学生结合自身情况设计题目，且应该是围绕着给出的问题进行例题变式设计.

（三）一题多解

在初中数学例题教学中，教师要避免学生形成思维定式，而是应该确保思维具有灵活性和发散性，避免思维方式的千篇一律.毋庸置疑，很多的初中数学例题并不是只有一种解答方法，教师应该多让学生进行“一题多解”的训练，在此过程中发展学生的思维求异性.有这样的一道例题：△ABC和△ADE等腰三角形，点D和点E都在BC上，已知AB=AC，AD=AE，求证BD=CE.一些学生运用了“等腰三角形底边上的三线合一”这一性质，顺利求证出BD=CE，部分学生运用了“三角形全等的判定定理”，得出△ABD≌△ACE，或者是得出△ABE≌△ACD，最后都可以得出BD=CE.除此之外，还有学生尝试用“等腰三角形是轴对称图形”这一性质进行解题.总而言之，为激发学生“一题多解”的意识及思维，教师要给学生足够的鼓励和支持，引领学生在解题时擅长换一种思维或角度进行思考，积极地寻找不同的解决方法.学生长时间参与在“一题多解”的训练中，数学思维一定可以变得发散、灵活且富有创新性.

（四）多题一解

在初中数学例题的设计中，有较多的例题虽然条件和求证的结论有所不同，但卻可以借用同一种方法或思路进行解题，即“多题一解”.在引导学生做多题一解的数学题时，教师要善于引导学生进行归纳总结，发现和厘清其中的规律，为后续的解题奠定坚实的基础，同时达到训练解题思维深刻性的效果.以苏教版八年级下册“相似三角形”为例，教师应重点培养学生用相似三角形的知识解决生活中问题的能力.首先，教师可以给学生设计有关于相似三角形知识的题，即“在△ADE中，已知∠DAE=120°，DE上的两点分别是B和C，△ABC是一个等边三角形，请你证明三条线段BC，CE，BD有什么样的关系？”在这一道例题中，学生需要在解题过程中将BC分别用AB，AC替代，同时通过运用相似三角形的相关知识，得出一个结论：BC2=BD×CE.待学生顺利解答题目之后，教师可以对题目进行变形处理，再设计出一道证明题，并要求学生通过思考独立完成.比如，“在△ADE中，已知∠DAE=120°，DE上的两点分别是B和C，△ABC是一个等边三角形，现在求证BC2=BD×CE”.两道题目本质上是相似或相同的，解题时的思路也是一样的.学生通过做题，既可以加深对相似三角形知识的理解，又可使解题思维具备深刻性.

三、初中数学例题变式教学的策略

（一）进行简单的改编

在初中数学例题变式设计中，为了让例题变式教学面向全体学生，确保每位学生获得相应的良好发展，教师应该把握好“简单改编”这一要求.所讲的简单改编是指教师不改变例题的考查方向、设问意图，而是简单改变例题中的数据及字母，如此可以确保学困生参与其中.

比如，在苏教版八年级上册“一次函数”的例题教学中，有这样的一道例题，即一次函数y=（k-2）x+（3-b），如果y和x之间具有增大而增大的关系，那么k和b的取值范围是什么？如果一次函数的图像和y轴的交点位于y轴的负半轴，那么k和b的取值范围是什么？基于此，教师可以对例题进行简单的改编，即“一次函数y=（3m-2）x+（1-n），如果y和x之间具有增大而增大的关系，那么m，n的取值范围是什么？如果一次函数的图像和y轴的交点位于y轴的正半轴，那么m，n的取值范围是什么？”在例题变式教学中，教师可以先给学生讲解例题，帮助学生理解“一次函数的图像及其性质”这一知识内容，使学生积累成功经验再进行变式，在此基础上所设计的题目只是简单换了字母及数据，所有学生都可以正确做题，对学困生、中等生及优等生均是有利的，均可以达到巩固强化的效果.

（二）注重“置换”设问

所讲的“置换”设问，是指将例题的条件与结论交换，从而得到新的题目.比如“两直线平行，同位角相等”是学生解题的重要性质，反过来也可以用“同位角相等，两直线平行”这一性质，如此便可以称之为“置换”设问.比如，这样的例题.Rt△ABC中，∠C和∠B分别是90°，60°，可得出BC∶AB的关系为（ ）.在例题变式教学中，教师可以设计这样的题目：在Rt△ABC中，已知∠C是90°，且AB=2BC，那么如何求证∠A=30°.如果班级学生的整体水平较高，则教师可以继续进行例题变式，提出这样的题目：在Rt△ABC中，已知∠C和∠A分别是90°，30°，现在取AB的中点为点D，并连接CD，请证明AB=2CD.学生通过解答教师所设计的三道题目，可以对“直角三角形的重要性质”这一知识点有深刻的理解，思维和解题能力都可以得到训练.

（三）适时增设铺垫

在苏教版的初中数学教材上，一些例题难度较大，学生在做题时明显感到压力，难以取得良好的成效.针对于此，在例题变式教学过程中，教师可以采用“增设铺垫”这一方法.其中“增设铺垫”，是指教师结合例题适当的增设条件或问题，从而让学生在做题过程中没有太大的难度.有这样的一道例题：等腰直角三角形ACD，边是AD，AC，CD，以三条边为直径画半圆，可因此形成2个月形图案，如图5所示即DHCF、AGCE，现在求证DHCF和AGCE的面积之和可以和Rt△ACD的面积相等.可以看出，这一题目对学生的解题能力有较高的要求，对于此，教师可以适时增设铺垫，比如，可以设计这样两个问题，一是假设AD=4，那么可以求出三个半圆的面积之和吗？第二，假设AD是等于m，是否在表达DHCF和AGCE的面积之和时用含m的式子.第二道题目促使学生可以列出含m的式子表达DHCF和AGCE的面积之和，并因此确定出DHCF和AGCE的面积之间有什么样的数量关系，后续的解题可以确定出思路，解题的难度可以因此降低.

结束语

教师应该十分重视初中数学例题变式教学，且要让例题变式教学的启迪性、科学性处于不断提高的状态，以求帮助学生有效学习，助力学生数学核心素养的形成.通过分析论述可知，初中数学例题变式教学主要有四种类型，即一题多变、一题多问、一题多解、多题一解，且中考常常考查与之相关的解题能力，所以教师应该多引领学生做常见四种类型的例题.除此之外，初中数学例题变式教学要尽量面向班级的每一名学生，向每名学生渗透解题方法和解题思路，助力每名学生有效学习与健康发展.要想实现以上所述的目标，教师们今后在初中数学例题变式设计中要坚持做到深入思考和精心改编.

【参考文献】

[1]许凤花.关于数学课堂例题选取与教学的思考[J].试题与研究，2022（02）：5-7.

[2]许道娒.“变式教学活动”在初中数学例题教学中的组织设计[J].教育界，2020（27）：50-51.

[3]温晓辉.初中数学教学中变式教学的分析[J].当代家庭教育，2019（25）：93.

[4]蒋丹，徐大成.浅谈初中数学“几何例题”的变式教学[J].试题与研究，2020（18）：190.

[5]胡梅香.浅谈变式教学在初中数学教学中的运用[J].考试周刊，2019（47）：93.