走进直观想象下的高考图象试题——以2022、2023高考试题为例

王慧娴

(江苏省启东市东南中学,江苏 启东 226200)

《普通高中数学课程标准(2017版2022修订)》中提出数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.其学科核心素养是育人价值的集中体现,数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数学分析[1].下面将结合近两年的高考图象试题,梳理下直观想象对图象试题解题的作用.

1 案例展示

直观想象是指通过观察和感知来理解和解释数学概念、定理、图象和公式的过程.图象是高中数学重要内容之一,其优点是借助图象的几何直观性来阐明与数之间某种关系.这类题目在高考中层出不穷,其考查多以应用为主,主要体现在数形结合上.考查方式多以小题出现,重在培养考生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化.

1.1 直观想象下的识图

在直观想象下,识图是指通过观察和理解图象内容来识别物体、场景或概念的能力.这种能力是我们大脑中视觉皮层的功能,使我们能够将视觉信息转化为有意义的认知.高考中的图象试题主要表现是建立形与数的联系,利用给出图形结合题目中的信息解决问题.那么读懂图象就是解决问题的关键.

图1 例1函数图象

图2 例2函数图象

图3 圆与抛物线示意图

通过上面的题目我们可以发现,识图可从以下四个方面入手:(1)预处理——函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;通过定义域、值域也就是确定了函数图象的大致框架.(2)特征提取——函数的单调性,判断图象的变化趋势.通过函数的单调性确定图象的发展走向.(3)模式匹配——函数的奇偶性,判断图象的对称性.即通过函数的奇偶性确定图象的整体性.(4)语义推理——函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

教师在教学中应注重培养学生的图形感知能力和空间想象能力,让学生能够快速准确地识别各种图形的特征和属性.具体而言,可以通过以下几个方面来培养学生的识图能力:(1)强化基本图形知识的掌握.学生需要掌握各种基本图形的定义、性质和特征,如点、线、面、角、圆等.只有掌握了这些基本图形,才能更好地进行后续的图形辨认和处理.(2)加强图形变换的训练.学生需要熟悉各种图形的变换方式,如平移、旋转、缩放等,并能够灵活运用这些变换方式来解决问题.(3)培养观察力和想象力.学生需要具备较强的观察力和想象力,能够通过观察和想象来识别和处理各种图形.

1.2 直观想象下的用图

直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,因此在解题中我们要学会用图.用图,就是在解题过程中,根据题目的内容,画出图形,帮助考生直观认识问题,使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化.

例3(2023·天津)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为6.

例4(2023·上海卷)空间中三个点A、B、C满足AB=BC=CA=1,在空间中任取2个不同的点,使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点,则不同的取法有种.

例5(2023·新课标全国I卷)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.

通过上面的题目我们可以发现,在解题过程中,数形结合是用图的重要体现.数形结合是一种非常重要的策略,这种策略的核心理念是将抽象的数学概念和具体的图形形象相结合,以便更好地理解和解决问题.通过将问题转化为图形,我们可以直观地观察和分析问题的性质,从而找到解决问题的关键所在.同时,我们还可以通过绘制图形来展示解决方案,使得解题过程更加清晰和易于理解.

教师在教学中应注重培养学生的图形运用能力和问题解决能力,让学生能够在实际问题中灵活运用所学的知识.具体而言,可以通过以下几个方面来培养学生的用图能力:(1)强化图形与数量关系的联系.学生需要了解各种图形与数量之间的关系,如面积、周长、体积等,并能够将这些关系应用到实际问题中.(2)加强图形与函数关系的联系.学生需要了解各种图形与函数之间的关系,如直线方程、曲线方程等,并能够将这些关系应用到实际问题中.(3)培养综合运用能力.学生需要具备较强的综合运用能力,能够将所学的各种知识有机地结合起来,解决复杂的实际问题.

1.3 直观想象下的译图

利用图形表述、分析数学问题,建立形与数的联系.译图,就是根据给出图象,要求考生根据图形读出解决问题所需要的信息,使问题得到解决.

例6(2023·天津)函数f(x)的图象如图4所示,则f(x)的解析式可能为( ).

图4 函数f(x)的图象

图5 函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象

通过上面的题目我们可以发现,译图,即图形的翻译,是将一个几何图形表示的内容解读出来.总之,直观想象在高中数学中具有重要作用,它可以帮助学生更好地理解和掌握译图这一概念,提高学生的解题能力和创新能力.

教师在教学中应注重培养学生的图形表达能力和文字描述能力,让学生能够清晰准确地表达自己的思路和解题过程.具体而言,可以通过以下几个方面来培养学生的译图能力:(1)强化图形语言的应用.学生需要熟练掌握各种图形语言的表达方式,如几何语言、向量语言等,并能够将其应用到实际问题的解决过程中.(2)加强文字描述的能力.学生需要具备较强的文字描述能力,能够清晰准确地描述自己的思路和解题过程.(3)培养逻辑思维能力.学生需要具备较强的逻辑思维能力,能够理清思路、分析问题、推导结论,并能够用简洁明了的语言表达出来.

2 总结

高考图象试题为我们的教学提供了丰富的启示.这些试题不仅仅是对学生图象知识的检验,更是对我们教学方法和策略的反思.首先,它们强调了图象在高中数学教学中的重要性.图象是数学的一种直观表达方式,它能够帮助学生更好地理解抽象的概念和复杂的问题.因此,教师应该重视图象的教学,将图象融入到课堂教学中,使学生在实践中掌握图象的知识.其次,高考图象试题要求学生具备较强的空间想象能力和几何直觉.这就要求我们在教学过程中注重培养学生的空间观念和几何思维能力.教师可以通过设计一些富有创意和趣味性的课堂活动,激发学生的学习兴趣,提高他们的空间想象和几何直觉.此外,高考图象试题还关注学生的综合运用能力.这意味着我们在教学过程中不仅要教授图象知识,还要引导学生学会将图象知识与其他知识相互联系,形成系统的知识体系.教师可以通过组织学生进行小组讨论、合作研究等活动,培养学生的综合运用能力.最后,高考图象试题还提醒我们关注学生的个体差异.每个学生的学习能力和兴趣都有所不同,因此在教学过程中,我们应该关注每个学生的特点,因材施教,帮助他们找到适合自己的学习方法和策略.同时,教师还应该关注学生的心理健康,给予他们充分的关爱和支持,帮助他们建立自信,克服学习中的困难和挑战.

总之,高考图象试题为我们的教学提供了宝贵的启示.我们应该从中汲取经验教训,不断改进和完善教学方法和策略,为培养具有创新精神和实践能力的高素质人才作出贡献.