借假设之法 悟解题之理

陶军华 彭进武

“利用抽象的‘1解决实际问题”是人教版数学六年级上册第三单元的例7。本课时旨在借助估测、假设、迁移应用等方法，引导学生找出题目背后的数量关系，得出解决工程问题的基本策略。

一、借助估测，感受解决问题的合理性

工程问题中有三个重要的量，分别是工作时间、工作效率和工作总量，理清这三个量的内涵以及它们之间的关系至关重要。笔者通过估测活动，引导学生感受解决工程问题的合理性。

上课伊始，笔者先用课件呈现题目：“一条长3600米的道路，甲队平均每天修300米。甲队修完全程需要多少天？”出示题目后，笔者设疑：“题中涉及的几个量有着怎样的数量关系？如何解答？一名学生回答：“题中的数量关系是‘工作总量÷工作效率＝工作时间，列式‘3600÷300=12（天）解答。”接着，笔者将上题变式为“一条长3600米的道路，甲队平均每天修300米，乙队平均每天修200米。如果两队同时从两端开工合修，多少天能修完？”另一名学生回答：“这道题列式为‘3600÷（300+200）=7.2（天）。”然后，笔者将上题变式成例7：“一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？”学生阅读后，笔者让学生估测结果，一名学生说：“我估计两队合修时间为（12+18）÷2=15（天）。”另一名学生反驳：“不对。因为甲队单独修只要12天，所以两队合修的时间不可能大于12天。”笔者总结：“没错，两队合修的时间不可能超过它们单独修所用的时间。”

经历了估测过程，学生不仅对结果有了初步判断，初步感知到问题的解决是否合理，而且能体会到解题的基本思路，为深入探究工程问题的解决方法奠定了基础。

二、借助假设，感悟解决问题的多样性

工程问题的解决需要我们透过各种现实生活中的表象，找出隐藏其中的数量关系。教师引导学生尝试用假设的方法解决实际问题，感悟解决工程问题方法的多样性。

课堂上，笔者引导学生进一步分析例7的条件和问题。学生结合已有经验，发现例题中只有“如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完”的已知信息，好像缺少某个条件，似乎无法解答。笔者顺势指明思考方向：请以小组为单位，假设一个具体数来表示这条道路的长，再尝试解答，并完成如下学习报告单。

学习报告单

假设这条道路长____________；

甲队每天修：____________；

乙队每天修：____________；

两队合修，每天修：____________；

两队合修需要的天数：____________。

学生在小组中讨论假设的方法，并交流解题过程的结果，讨论出如下4种假设方法。第一种方法，假设道路长3600米，则甲队每天修“3600÷12＝300”米，乙队每天修“3600÷18＝200”米，两队合修，每天修“300+200＝500”米，所以，两队合修需要“3600÷500=7.2”天。第二种方法，假设道路长36千米。则甲队每天修“36÷12＝3”千米，乙队每天修“36÷18＝2”千米，两队合修，每天修“3+2＝5”千米，所以，两队合修需要“36÷5=7.2”天。第三组学生商讨后提出第三种方法，假设道路长18千米，则甲队每天修“18÷12＝1.5”千米，乙队每天修“18÷18＝1”千米，两队合修，每天修“1.5+1＝2.5”千米，所以，两队合修需要“18÷2.5=7.2”天。这时，还有学生提出“假设道路长是1，则甲队每天修[1/12]，乙队每天修[1/18]，两队合修，每天修‘[1/12]+[1/18]＝[5/36]，所以，两队合修需要‘1÷[5/36]=7.2天。”这种假设也成立。

笔者总结：“无论假设道路总长是多少，算出来的总天数都是相同的，即两队合修需要的时间与道路总长是多少没有直接关系。这是因为问题中的什么量是不变的？”学生再次交流、讨论后明确：虽然我们假设的这条道路的总长是不同的，但是两队每天修的长度占这条道路总长的几分之一是不变的，即甲队每天修这条道路的[112]、乙队每天修这条道路的[118]是不变的，所以合修需要的时间也不会变。笔者再次总结：“对于工程问题，把‘一条道路抽象成‘1来解决问题，计算比较简便。抽象的‘1既可以是‘一项工程‘一条水渠，也可以是‘一批货物‘一池水等。”

最后，笔者引导学生依次验证上述解决问题的方法。第一小组代表说：“因为（3600÷12+3600÷18）×7.2=3600（米），3600米与我们假设的总长是相等的，所以，我们组的作答正确。”第二小组代表接着说：“因为（36÷12+36÷18）×7.2=36（千米），36千米与我们组假设的总长一样，所以，我们组的作答也是正确的。”“因为（[1/12]+[1/18]）×7.2＝1，1与假设的总长一样，所以，我们组的作答同样正确”，第四小组代表补充。

教师通过引导学生假设道路总长，把抽象的问题具体化，使复杂的数量关系简单化。

三、借助应用，感知解决问题的一致性

工程问题的题型很丰富，包括行程问题、泄洪问题、做工问题等。笔者充分运用教材提供的素材，设计了以下三个比较活动，引导学生感知不同类型的工程问题之间的内在联系。

活动一：交流比较，辨析相同点

笔者用课件呈现教材第41页的“做一做”，引导学生发现“变中有不变”。

一批货物，只用甲车运，6次能运完；只用乙车运，3次能运完。如果两辆车一起运，多少次能运完这批货物？

一名学生回答：“这道题中除了‘一批货物与例题中的‘一条道路都可以用抽象的‘1表示这一点相同，还有两车每天运的货物占这批货物的几分之一与例题中的条件也有一致性，所以，这道题应列式‘1÷（[1/6]+[1/3]）=2（次）解答。”

活动二：讨论比较，体验相似处

笔者接着呈现教材第42页第7题。

甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时。两车同时分别从A城市和B城市出发，相向而行，几小时后相遇？

学生经过比较、讨论后回答：“甲、乙两车几小时行驶完全程与例题中不同的施工队几天可以把路修完是相似的，所以，這道题与例题中的数量关系也相似，应列式‘1÷（[1/2]+[1/3]）＝1.2（小时）解答。”

活动三：引导比较，感知可比性

最后，笔者呈现教材第43页第8题。

某水库准备打开泄洪口调节水位。只打开A口，8小时可以完成任务；只打开B口，6小时可以完成任务。如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？

一名学生回答：“水库中水的总量相当于道路的总长，不同的泄洪口几小时把水放完相当于不同的施工队几天把路修完，所以，这道题的数量关系与例7也是一致的，应列式‘1÷（[1/8]+[1/6]）＝[24/7]（小时）解答。”

经历以上比较活动，学生把工程问题的解题策略迁移到做工问题、相遇问题、泄洪问题中，认识到解决问题策略的一致性。

（作者单位：应城市杨岭镇中心小学）

责任编辑  张敏