课堂自然生成 学生必然成长

尹雪山

［摘 要］“生长数学”是特级教师卜以楼提出的教学主张，它强调数学教学要培育思维“生长”的“种子”。教师要教给学生具有生长力的数学，以回归教育本质、反哺生命成长和彰显数学力量。

［关键词］生长数学；核心素养；几何定理

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）20-0011-03

著名数学教育家波利亚说过：“学习任何东西的最佳途径是由自己去发现。”这句话用在几何定理的推导及应用上尤为贴切，学生要想灵活运用几何定理就必须自己去了解它的来龙去脉，去发现它的本质与内涵。在教学中发现部分学生为了应付解题而将更多的时间花在了几何定理的应用上，并不注重对几何定理的推导。平面几何是训练学生几何直观素养和逻辑推理能力的重要载体，如果在几何教学中教师没有让学生深层次地理解几何定理的由来而过多地将时间花在几何定理的应用上，将不利于学生学科核心素养的发展以及思维能力的培养。那么如何让几何定理教学变得更加顺畅，让几何定理自然生成呢？下面笔者结合自己设计的一节公开课谈谈具体做法。

一、几何定理教学的一些问题

（一）定理推导走过场

教师在教学时只注重定理的应用，而忽略了定理的推导，从而导致学生机械化应用定理，当题目稍微复杂或者稍作变式时就会无从下手。因此，在教学时教师应该注重引导学生对定理进行推导，使学生深层次理解定理。

（二）定理理解不深刻

当教师以“定理公式＋例题”的模式对学生进行训练后，学生大多记下了定理的文字表述，但没有了解其来龙去脉和本质内涵，导致学生无法灵活应用定理，或在应用定理时容易出现表述不完整的情况。

（三）学生应用定理不灵活

在解题时，学生虽然已经掌握了定理的本质但是不能灵活应用其解决问题，甚至有的学生认为定理与问题关联不大，导致解题时未选用定理，究其原因：一是没有深刻领悟定理的本源，二是缺乏对定理的相关变式训练。

二、教学片段及分析

“三角形内角和定理”是苏科版七年级下册第十二章中的内容，纵观整个初中数学教材，这部分内容是学生在初中阶段学习到的涉及利用辅助线证明定理的首节课，为后续多边形的内角和与外角和定理的证明做好铺垫，有着承上启下的作用。下面以“三角形内角和定理”的教学为例进行分析。

片段1：情境引入

师：同学们，阿基米德看到木块浮在水上，于是发现了浮力定律；牛顿被树上掉下的苹果砸了一下，从而发现了万有引力定律。所以在生活中，许多结论其实是已经存在的客观事实，而人们通过探索，发现其内在原理，用科学理论解释现象后归纳形成定理，并将定理应用于实际生产生活中，最终造福人类。

师：三角形的内角和是多少度呢？

生（全体）：180°。

师：为什么？

师：大家还记得小学时我们是如何证明三角形内角和为180°的吗？（出示一张三角形纸片）

学生提供了多种思路。如拼一拼，剪下三角形的三个角，然后将它们拼在一起，看拼出来的是不是平角；量一量，用量角器分别量出三个角的度数，然后加在一起看是不是180°。

师：平角的度数是180°，我们已学的知识点中，还有哪些地方出现了180°呢？

学生回顾以前所学知识，很容易想到在“平行线性质”一节中出现了“两直线平行，同旁内角互补”。

教学分析：让学生回顾小学时对三角形内角和的探索思路，既照顾了大部分学生，又让一部分学生有了小小的成就感，并且让学生对三角形内角和的探索回归到了“源头”，即用拼图法这一思路作为證明三角形的内角和为180°的“方向”。有了“源头”和“方向”，学生在后续的证明中才可以尽量避免思维“卡壳”。本环节的设计贴合学生认知的最近发展区，用适当的引导做铺垫，保障后续对定理探索的自然生成。

片段2：探索研究

教师提前发放给学生形状及大小相同的三角形卡纸和剪刀，引导学生进行如下操作：将三角形纸片的三个角剪下来，并在每个角涂上不同的颜色。

问题1：将三角形的三个角搬到一起，你有哪些搬法？

学生一一分享不同的拼法，总结出拼角的核心就是将三个角的顶点搬到一起。

问题2：在纸片上我们可以将三个角搬到一起，如果是在平面图形上，又该如何将三个角搬到一起呢？

学生提供多种方法，如用量角器测量两个角的度数，然后再利用量角器作出这两个已知大小的角并将它们画在第三个角两侧；用尺规作图法作三角形中两个已知角，并将它们放在第三个角两侧。

师：接下来要证明什么呢？

生：只要证明所作的两个角的两边在一条直线上即可。

师：怎么证明在一条直线上？

师：我们刚才的操作过程是先“搬角拼角”，然后想办法证明拼出来的角是平角，这个方法在证明拼出来的角是平角时无法进行下去，我们能不能调换一下顺序，先构造平角然后再“搬角”呢？

问题3：在平面图形中如何构造平角？

生：画一条直线就可以出现平角。

问题4：我们可以通过添加适当的辅助线构造出我们需要的图形，在三角形中如何具体地构造辅助线并将三角形中的两个角搬到一起呢？

生：如图1，作BC延长线CD，过点[C]作CE∥AB。

师：你能说说这样做的目的吗？

生：先构造出180°的平角，然后再来搬角。

师：如何实现“搬角”呢？

生：根据“两直线平行，同位角（内错角）相等”，在操作中通过画平行线构造出等角。

师：接下来只要证什么就行了？

生：证明[∠ACD] 等于[∠A]与[∠B]两个角的和。

问题5：问题2和问题3中的搬角思路有何区别？你有哪些解题经验？

学生说出自己的想法：问题2是先搬角再证明组成的角是180°，但是行不通。问题3是先构造180°的角再搬角，可以完成证明。通过构造适当的辅助线可以将新问题转化为熟悉的问题，最终将新问题解决，所以在解决问题时要抓住本质。本题的核心是构造180°的角和等角，然后再进行搬角。

问题6：还有没有其他的辅助线构造法？

生：如图2所示，过点A 作DE∥BC。

生：如图3所示，过点A 作AD∥BC。

问题7：刚才的几种方法有什么共同点？

生：都是将三角形中的某个角的顶点搬到另一个角的顶点处。

问题8：刚才的方法都是将某个角的顶点搬到另一个角的顶点处，如果将三个角的顶点都搬到其他位置呢？

学生展示出多种方法：

如图4所示，过点D作DE∥BC，DF∥AC。

如图5所示，过点O作DE∥AC，FG∥BC，HI∥AB。

如图6所示，过点O作OD∥BC，OE∥AB，FG∥AC。

图4是将几个角的顶点搬到三角形的边上，图5是将几个角的顶点搬到三角形的内部，图6是将几个角的顶点搬到三角形的外部。

抓住问题的本质，我们就可以灵活多样地采取多种方法解决问题。

教学分析：在引导学生解决问题后，继续引导学生“反思”论证方法，并抓住问题本质，让学生自行探索出更多的方法。本环节中一系列层层递进的提问设计，体现了新课标中的“基本方法”和“基本活动经验”思想。通过师生总结，最终归纳出解决这一问题的通法，培养了学生归纳总结的能力。

片段3：定理剖析

问题：三角形内角和定理的条件和结论分别是什么？对于结论，我们可以进行怎样的转化？转化后有什么用？

生：定理的条件是“在一个三角形中”，结论是“这个三角形的三个内角和为180°”。如果是在[△ABC]中，那么就可以得到[∠A+∠B+∠C=180°]。

师：[∠A+∠B+∠C=180°]还可以转化为什么形式？

学生给出多种转化形式：[∠A=180°-∠B-∠C]；[∠A=180°-（∠B+∠C）]；[∠A+∠B=180°-∠C]。

师：这些公式有什么用？

生：知道三角形中两个角的度数就可以求出第三个角的度数；知道三角形中两个角的和也可以求出第三个角的度数；知道一个角的度数也可以反推出另外两个角的度数之和。

教学分析：对定理的深入剖析常被忽略，教师在教学时往往探索完定理就转入例题训练，对定理本质不进行深挖和外延，导致学生解题时出现思维“卡壳”。让学生互相提问解题，既增加了学生之间的互动，也提高了学生的课堂参与度。在本环节中，学生的思维得到了训练，对定理的不同变式有了进一步的认识，在解决各类以不同形式呈现条件的问题时能做到游刃有余。

片段4：变式训练

为了深化学生对定理的理解，需要通过一系列变式训练优化学生的认知。

例题：如图7所示，[△ABC]的角平分线[BD]、[CE]相交于点[P1]，[∠A=70°]，求[∠BP1C]的度数。

变式1：如图7所示，[△ABC]的角平分线[BD]、[CE]相交于点[P1]，[∠A=α°]。（1）求[∠BP1C]的度数；（2）直接写出[∠BP1C] 与 [∠A] 的关系。

变式2：如图8所示，[△ABC]的角平分线[BD]、[CE]相交于点[P1]，[∠1]和[∠2]的角平分线相交于点[P2]，直接写出[∠BP2C]与[∠A]的数量关系。

师：我们都知道，在解决问题时，主要有两种思路，一个是从条件出发向着结论层层推进，另一个是从结论出发逆向推导去寻找结论所需要的条件，例题及变式中要求[∠BP1C]的度数，你想用哪种思路？

该提问中，例题的条件清晰，思维量不大，无论是正向还是逆向都很好解決。变式1是在例题的基础上将[∠A]的度数从特殊变为一般，变式2则是在变式1的基础上进一步平分三角形的两个内角。当题目条件变得复杂，从已知条件入手解题时方向不明确，可以从问题出发，逆向推导。

教学分析：课堂上对定理的证明与深度剖析是学生建构知识体系的重要一步，基础牢固了才能解决问题。一节课的时间有限，如何在有限的时间内提高学生对定理的应用水平显得尤为重要。本环节设置了一道例题和两道变式训练题，从特殊到一般，从简单的图形到复杂的图形，如果课堂时间充裕，教师可以进一步拓展提问：“如果此时对三角形的两个内角进行[n]等分，[∠BPnC]与[∠A]的关系又是什么？”用难度由浅入深的几道题目引导学生深入感悟本节课的知识点，这符合学生的思维特点，也能让学生的逻辑推理能力进一步提升。

课堂教学的出发点与落脚点就是让学生经历数学知识的生成过程。在教学中，教师既要及时抓住教学契机，引导学生思考，又要关注课堂探索的过程；既要让学生积累经验，又要让学生提升数学素养，形成数学思维。

一节课的时间有限，教师面对考试升学压力时往往会将注意力放在公式化套用解题上，而不愿意将课堂时间过多地放在定理论证上。但从学生发展以及后续书本上涉及的更高难度的几何知识的角度看，教师必须将几何定理证明的第一课上透，为学生掌握后续复杂的几何知识点奠定基础。

［   参   考   文   献   ］

［1］  卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景［J］.江苏教育，2017（11）：33-35.

［2］  卜以楼.生长数学：数学教学的理性回归：第七期《中国数学教育》名师讲堂“生长数学”主题网络研讨记［J］.中国数学教育（初中版），2017（9）：2-8.

［3］  王亚权.注重积累，学会联想，善于反思：凑好数学解题的“三部曲”［J］.中学数学教学参考，2022（1）：12-15.

（责任编辑 黄桂坚）